Numero di Prandtl

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Per un fluido viscoso, il numero di Prandtl (abbreviato spesso con Pr) è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica:

Pr = {{\nu \over \alpha}} = {{\mu c_p \over k}}

in cui (relativamente al fluido in esame):

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle[senza fonte], per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Spiegazione teorica[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

 \rho D_t h = - \nabla \cdot \mathbf q + \tau : \nabla u,

in cui (relativamente al corpo in esame):

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando l'equazione dell'energia di Navier Stokes, ovvero quella per un fluido viscoso. Il corpo continuo che segue la legge di Stokes e la legge di Fourier:

\rho c_p D_t T = \nabla \cdot (k \nabla T) + \mu \nabla^2 u,

in cui (relativamente al corpo in esame):

nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

\rho c_p D_t T = k \nabla^2 T + \mu \nabla^2 u,

ovvero:

D_t T= \alpha \nabla^2 T  + \frac{\nu}{c_p} \nabla^2 v,

in cui (relativamente al fluido in esame):

Adimensionalizzando ora T' = \frac{T-T_0}{\nabla^2 T} e \nabla' = L \nabla risulta che:

(\mathbf u \cdot \frac{\nabla'}{L} + \frac{\partial}{\partial t}) T'\nabla^2 T = \alpha \frac{\nabla' ^2}{L^2} T'\nabla^2 T + \frac{\nu}{c_p} \nabla^2 v,

perciò: (\frac{L}{\alpha}\mathbf u \cdot \nabla' + \frac{\partial}{\partial (\frac{\alpha}{L^2} t)}) T' = \nabla' ^2 T' + \frac{\nu}{\alpha}   \frac{L^2}{c_p \nabla^2 T}\Phi,

ora (\mu \nabla^2 \mathbf u)'=\frac{L^2}{c_p \nabla^2 T} \nabla^2 u è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione dell'energia di Navier Stokes diventa:

D_t'T' = \nabla' ^2 T' + Pr \nabla'^2 u'

Valori tipici[modifica | modifica wikitesto]

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

  • circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
  • tra 100 e 40.000 nel caso degli oli motore;
  • circa 0,015 per il mercurio.
  • circa 7 per l'acqua (a 20 °C)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]