Numero di Prandtl

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Il numero di Prandtl, abbreviato spesso con Pr, è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica:

Pr = {{\nu \over \alpha}} = {{\mu c_p \over k}}

in cui (relativamente al corpo in esame):

Si ottiene adimensionalizzando l'equazione energetica di Navier Stokes:

(per tutti i fluidi) : D h = - \nabla \cdot \mathbf q + \mu \tau : \nabla v,

in cui (relativamente al corpo in esame):

  • D h è la derivata materiale temporale dell'entalpia volumica ( dimensionalmente [J/(m ^ 3)] = [Kg /(m s^3)] )
  • \mathbf q è l'emittanza termica, che rientra nel termine trasmissivo ( dimensionalmente [W/(m ^ 2)] = [Kg /(s^3)] )
  • μ è la viscosità dinamica ( dimensionalmente [Pa s] = [Kg/(m s)] )
  • τ : ∇v è la dissipazione ( dimensionalmente [W] )

cioè dalla definizione di calore specifico a pressione costante e nel campodi validità della legge di Fourier, : \rho c_p \dot T = \nabla \cdot (k\nabla T) + \mu \tau : \nabla v, in cui (relativamente al fluido in esame):

Questa per diventa: \rho c_p \dot T = k \nabla^2 T + \mu \tau : \nabla v, in cui (relativamente al fluido in esame):

cioè isolando la derivata materiale e supponendo conducibilità uniforme: \dot T= \alpha \nabla^2 T + \frac{\nu}{c_p} \tau : \nabla v, in cui (relativamente al fluido in esame):

Adimensionalizzando ora T' = \frac{T-T_0}{\nabla^2 T} e \nabla' = L \nabla risulta che: (\mathbf v \cdot \frac{\nabla'}{L} + \frac{\partial}{\partial t}) T'\nabla^2 T = \alpha \frac{\nabla' ^2}{L^2} T'\nabla^2 T + \frac{\nu}{c_p} \tau : \nabla v,

perciò: (\frac{L}{\alpha}\mathbf v \cdot \nabla' + \frac{\partial}{\partial (\frac{\alpha}{L^2} t)}) T' = \nabla' ^2 T' + \frac{\nu}{\alpha}   \frac{L^2}{c_p \nabla^2 T}\Phi,

ma (\tau : \nabla v)'=\frac{L^2}{c_p \nabla^2 T} \tau : \nabla v è un adimensionale:

quindi l'equazione diventa \frac{d'T'}{d't'} = \nabla' ^2 T' + Pr \, (\tau : \nabla v)'

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

  • circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
  • tra 100 e 40.000 nel caso degli oli motore;
  • circa 0,015 per il mercurio.
  • circa 7 per l'acqua (a 20 °C)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]