Equazioni di bilancio

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Motivo: mi sembra corretto come matematica, ma di che "dispositivi" parla? dai riferimenti a portatori, ricombinazione e campo elettrico probabilmente si riferisce al "gas" di elettroni e lacune nei semiconduttori. Segnalazione di Sergio Ballestrero (msg) 14:37, 16 mar 2008 (CET)

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Le equazioni di bilancio o equazioni di conservazione sono direttamente derivate dall'equazione di Boltzmann (Boltzmann Transport Equation o BTE), e sono introdotte per semplificare la risoluzione di quest'ultima.

Molto spesso infatti risulta difficile trovare direttamente le soluzioni della BTE e si ricorre all'utilizzo di queste equazioni che permettono di conoscere il numero di elettroni, la loro quantità di moto media e la loro energia media. Le informazioni che si ottengono grazie alle equazioni di bilancio sono molte meno di quelle che si avrebbero risolvendo la BTE, ma molto spesso sono sufficienti per l'analisi dei dispositivi. Le equazioni di bilancio sono costituite da una serie infinita di equazioni; questa serie subirà un troncamento, e proprio da come avviene il troncamento si avranno diversi gradi di accuratezza. In generale quindi l'analisi e la simulazione dei dispositivi viene effettuata tramite la risoluzione delle equazioni di bilancio.

[modifica] Formulazione delle equazioni di bilancio

Per ottenere tali equazioni si parte dalla scrittura di una quantità generica $n φ$ , dipendente dalla funzione di distribuzione sotto forma di sommatoria:

$n_\phi =\sum_{p} \phi(p)\;f(r,p,t)$

e si cerca l'equazione di bilancio per $n φ$ . Partendo dall'equazione BTE, posso moltiplicarla per $\frac{\phi(p)}{\Omega}$ e introdurre la sommatoria rispetto a p, per ritrovare con semplici passaggi matematici l'equazione di bilancio cercata:

$\frac{\partial n_\phi(r,t)}{\partial t}=-\nabla\cdot F_\phi + G_\phi - R_\phi+ S_\phi$

in cui sono state introdotti i termini:

$F_\phi =\frac{1}{ \Omega}\sum_{p}\phi(p)v\;f$
flusso associato a $n φ$
$G_\phi=-q E \frac{1}{ \Omega}\sum_{p}\nabla_p \phi(p)f$
termine di generazione (∝ campo elettrico E)
$R_\phi=\frac{1}{ \Omega}\sum_{p}\phi(p)\frac{\partial f}{\partial t}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_\mathrm{collisioni}$
termine di ricombinazione dovuto alle collisioni
$S_\phi=\frac{1}{ \Omega}\sum_{p} \phi(p)s(r,p,t)$
incremento o decremento di $n φ$ dovuto alla creazione o ricombinazione dei portatori

La quantità $n φ$ assume un significato diverso a seconda della funzione $φ(p)$ ; ad esempio se vogliamo calcolare l'equazione di bilancio per la densità dei portatori, la quantità di moto e l'energia assumiamo rispettivamente $φ(p) = 1$ , $φ(p) = p$ , $φ(p) = E (p)$ .

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[modifica] Formulazione delle equazioni di bilancio

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