Legge di Stokes

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Forze agenti su di una sfera in un fluido: spinta idrostatica (per il principio di Archimede) Fd e la forza di gravitàFg.

La legge di Stokes del 1851 esprime la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto laminare rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds minore di 104. Tale legge può essere espressa nel modo seguente:

F_d = -6\pi\mu r v

dove F_d è la forza di attrito viscoso, \mu è la viscosità, r è il raggio della sfera e v è la velocità relativa tra fluido e sfera. Se il numero di Reynolds è superiore all'unità la legge diviene quadratica.

Ma dato che una sfera immersa in un fluido è sottoposta alla forza di gravità, alla forza di attrito viscoso del fluido e alla spinta di Archimede, ottenne che la sfera raggiungeva una condizione di equilibrio per cui la sfera si muove a velocità costante (detta velocità terminale di caduta).

Infatti in condizioni di equilibrio la risultante delle seguenti forze è nulla:

F_d + F_A + F_g = 0

dove:

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La legge di Stokes è basata sul fatto che quanto più il liquido è viscoso, tanto più è bassa la velocità di una sfera lasciata cadere liberamente in tale liquido. Ma una sfera che cade all'interno di un liquido solo per gravità, ad un certo istante del suo percorso acquista una velocità costante, e ciò si verifica quando la resistenza opposta dalla viscosità del liquido è esattamente bilanciata dalla spinta gravitazionale. Anche le dimensioni delle particelle sono importanti: più sono piccole, minore è la velocità di sedimentazione (o affioramento); però, una loro dimensione eccessivamente ridotta comporta un sensibile aumento della superficie specifica complessiva della massa dispersa e quindi un aumento di instabilità.

La velocità relativa di equilibrio (u) è data dalla seguente relazione:

u = \frac{2}{9}\frac{\left(\rho_s - \rho_f\right)}{\mu} g\, r^2

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Le condizioni di partenza considerate da Stokes furono la presenza di una sfera immersa in un fluido e sottoposta ad una forza di gravità F_g:

F_g = mg

dove:

La sfera è tuttavia sottoposta anche all'attrito del fluido viscoso, F_d, che è dato da:

F_d=-6\pi\mu r u

dove:

  • \pi: pi greco;
  • \mu: viscosità;
  • r: raggio della sfera;
  • u: velocità del fluido rispetto alla sfera;
  • il segno è negativo perché l'attrito del fluido ha direzione opposta alla forza di gravità.

Infine la sfera è sottoposta anche all'azione della spinta di Archimede, F_A, dato che è immersa in un fluido:

F_A=-\rho_f g V

dove:

In condizioni di equilibrio l'accelerazione è nulla e quindi:

6\pi\mu r u= mg-\rho_f gV
6\pi\mu r u= \rho_s V g-\rho_f gV
6\pi\mu r u= Vg(\rho_s  -\rho_f )

con :\rho_s densità della sfera

poiché il volume della sfera V è

 V=\frac {4 \pi r^3} {3}

sostituendo si ha:

6\pi\mu r u= \frac {4 \pi r^3} {3}(\rho_s  -\rho_f )g
3\mu u= \frac {2 r^2} {3}(\rho_s  -\rho_f )g
  u= \frac {2 r^2} {9\mu}(\rho_s  -\rho_f )g

La somma vettoriale (che tiene conto dei versi delle forze) di queste tre forze è sempre nulla e permette di ottenere la formula della legge di Stokes, dalla quale si ricava la velocità della sfera in condizioni di equilibrio raggiunto.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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