Legge di Stokes

Forze agenti su di una sfera in un fluido: spinta idrostatica (per il principio di Archimede) F_d e la forza di gravitàF_g.

La legge di Stokes del 1851 esprime la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds minore di 1, ovvero:

$F_d=-6\pi\eta r v\,$

dove F è la forza di attrito viscoso, η è il coefficiente di viscosità, r è il raggio della sfera e v è la velocità della sfera rispetto al fluido. Se il numero di Reynolds è superiore all'unità la legge diviene quadratica.

Ma dato che una sfera immersa in un fluido è sottoposta alla forza di gravità, alla forza di attrito viscoso del fluido e alla spinta di Archimede, ottenne che la sfera raggiungeva una condizione di equilibrio per cui la sfera si muove a velocità costante.

Infatti in condizioni di equilibrio la risultante delle seguenti forze è nulla:

$F_d + F_A + F_g = 0\,$

dove:

• $F_d$: la forza di resistenza del mezzo (Legge di Stokes)
• $F_A$: la spinta idrostatica (principio di Archimede)
• $F_g$: la forza di gravità

La legge di Stokes è basata sul fatto che quanto più il liquido è viscoso, tanto più è bassa la velocità di una sfera lasciata cadere liberamente nella sua massa. Ma una sfera che cade all’interno di un liquido solo per gravità, ad un certo istante del suo percorso acquista una velocità costante, e ciò si verifica quando la resistenza opposta dalla viscosità del liquido è esattamente bilanciata dalla spinta gravitazionale. Anche le dimensioni delle particelle sono importanti: più sono piccole, minore è la velocità di sedimentazione (o affioramento); però, una loro dimensione eccessivamente ridotta comporta un sensibile aumento della superficie specifica complessiva della massa dispersa e quindi un aumento di instabilità.

La velocità ($v$) della sfera, una volta raggiunta la condizione di equilibrio, è data dalla seguente formula:

$v = \frac{2}{9}\frac{\left(\rho_s - \rho_f\right)}{\eta} g\, r^2$

• $\rho_s$: densità della sfera
• $\rho_f$: densità del fluido
• $\eta$: coefficiente di attrito viscoso del fluido
• $g$: accelerazione gravitazionale
• $r$: raggio della sfera

Dimostrazione

Le condizioni di partenza considerate da Stokes furono la presenza di una sfera immersa in un fluido e sottoposta ad una forza di gravità $F_g$:

$F_g=mg\,$

• $m$: massa
• $g$: accelerazione gravitazionale

La sfera è tuttavia sottoposta anche all'attrito del fluido viscoso, $F_d$, che è dato da:

$F_d=-6\pi\eta r v\,$

• $pi$: pi greco
• $\eta$: coefficiente di attrito viscoso
• $r$: raggio della sfera
• $v$: velocità della sfera
• Il segno è negativo perché l'attrito del fluido ha direzione opposta alla forza di gravità.

Ed infine la sfera è sottoposta anche all'azione della spinta di Archimede, $F_A$, dato che è immersa in un fluido:

$F_A=-dgV\,$

• $d$: densità del fluido
• $g$: accelerazione gravitazionale
• $V$: volume del corpo immerso
• Il segno è negativo perché la spinta di Archimede ha direzione opposta alla forza di gravità.

La somma vettoriale (che tiene conto dei versi delle forze) di queste tre forze è sempre nulla e permette di ottenere la formula della legge di Stokes, dalla quale si ricava la velocità della sfera in condizioni di equilibrio raggiunto.

Voci correlate

• Viscosità
• Aerodinamica
• Fluidodinamica
• Numero di Reynolds
• Relazione di Einstein–Smoluchowski

Collegamenti esterni

• Pagina dedicata alla spiegazione della legge di Stokes - Galenotech.org

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