Parallelepipedo

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Parallelepipedo
Parallelepipedo
Tipo Prisma
Forma facce Parallelogrammi
Nº facce 6
Nº spigoli 12
Nº vertici 8
Valenze vertici 3

In geometria solida, il parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi. L'ampiezza degli angoli formati dalle sue facce può variare; quando gli angoli sono retti (formando un rettangolo per ogni faccia) si parla di parallelepipedo rettangolo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente in uno dei modi seguenti:

In geometria analitica, usando i vettori, è possibile definire il parallelepipedo come l'insieme

\{l \mathbf a + m \mathbf b + n \mathbf c\ |\ 0\leq l,m,n\leq 1 \}

determinato da tre vettori \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c linearmente indipendenti nello spazio euclideo tridimensionale, indicato con \R^3. Questi vettori coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.

Tre vettori \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c definiscono un parallelepipedo. Il volume è dato dal determinante di questi tre vettori. Oppure dal prodotto fra l'area del parallelogramma di base e dell'altezza h.

Volume[modifica | modifica sorgente]

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza  h fra il piano contenente tale faccia e quello contenente la faccia opposta.

In geometria analitica, se il parallelepipedo è determinato da tre vettori:

\begin{align}
\vec a &= (a_1,a_2,a_3) \\
\vec b &= (b_1,b_2,b_3) \\
\vec c &= (c_1,c_2,c_3)
\end{align}

il volume è il prodotto triplo

\vec a \cdot ( \vec b \times \vec c)

o equivalentemente, del determinante

 \det \begin{bmatrix}
        a_1 & b_1 & c_1 \\
        a_2 & b_2 & c_2 \\
        a_3 & b_3 & c_3
 \end{bmatrix}.

Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, il volume diverrà quindi il prodotto aritmetico delle lunghezze dei tre lati.

Un parallelepipedo rettangolo

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Il parallelepipedo è un poliedro in cui ogni faccia è un poligono dotato di simmetria centrale, ed è quindi uno zonoedro. Le facce opposte sono parallelogrammi posti su piani paralleli.

Casi particolari[modifica | modifica sorgente]

Un parallelepipedo le cui facce sono parallelogrammi particolari ha nomi più specifici:

  • un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
  • un romboedro è un parallelepipedo le cui facce sono rombi;
  • un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati.

Ciascuna di queste tipologie può essere definita in modo differente:

  • un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo in cui gli angoli diedrali sono tutti retti;
  • un romboedro è un parallelepipedo i cui spigoli hanno tutti la stessa lunghezza;
  • un cubo è un parallelepipedo regolare.

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