Parallelepipedo

Parallelepipedo
Tipo	Prisma
Facce	Parallelogrammi
Elementi:  · Facce  · Spigoli  · Vertici	6 12 8
Valenze vertici	3

In geometria solida, il parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi. L'ampiezza degli angoli formati dalle sue facce può variare; quando gli angoli sono retti (formando un rettangolo per ogni faccia) si parla di parallelepipedo rettangolo.

Definizione

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente in uno dei modi seguenti:

• un prisma la cui base è un parallelogramma;
• un esaedro le cui facce sono tutti parallelogrammi;
• un esaedro con tre coppie di facce parallele.

In geometria analitica, usando i vettori, è possibile definire il parallelepipedo come l'insieme

$\{l \mathbf a + m \mathbf b + n \mathbf c\ |\ 0\leq l,m,n\leq 1 \}$

determinato da tre vettori $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ linearmente indipendenti nello spazio euclideo tridimensionale, indicato con $\R^3$. Questi vettori coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.

Tre vettori $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ definiscono un parallelepipedo. Il volume è dato dal determinante di questi tre vettori. Oppure dal prodotto fra l'area del parallelogramma di base e dell'altezza $h$.

Volume

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza $h$ fra il piano contenente tale faccia e quello contenente la faccia opposta.

In geometria analitica, se il parallelepipedo è determinato da tre vettori:

$\begin{align} \vec a &= (a_1,a_2,a_3) \\ \vec b &= (b_1,b_2,b_3) \\ \vec c &= (c_1,c_2,c_3) \end{align}$

il volume è il valore assoluto del prodotto triplo

$\vec a \cdot ( \vec b \times \vec c)$

o equivalentemente, del determinante

$\det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}.$

Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, il volume diverrà quindi il prodotto aritmetico delle lunghezze dei tre lati.

Un parallelepipedo rettangolo

Proprietà

Il parallelepipedo è un poliedro in cui ogni faccia è un poligono dotato di simmetria centrale, ed è quindi uno zonoedro. Le facce opposte sono parallelogrammi posti su piani paralleli.

Casi particolari

Un parallelepipedo le cui facce sono parallelogrammi particolari ha nomi più specifici:

• un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
• un romboedro è un parallelepipedo le cui facce sono rombi;
• un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati.

Ciascuna di queste tipologie può essere definita in modo differente:

• un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo in cui gli angoli diedrali sono tutti retti;
• un romboedro è un parallelepipedo i cui spigoli hanno tutti la stessa lunghezza;
• un cubo è un parallelepipedo regolare.

Voci correlate

• Cubo

Altri progetti

• Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Parallelepiped in MathWorld

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