Leggi di Fick

Le leggi di Fick sono equazioni di diffusione differenziali alle derivate parziali non lineari che descrivono le variazioni di densità e concentrazione nei materiali in cui sono in atto fenomeni di diffusione. Prendono il nome dal fisiologo tedesco Adolf Fick che per primo le sviluppò nel 1855.

Un esempio pratico di diffusione può essere quello di una goccia di caffè in una tazza di latte. La legge di Fick viene anche utilizzata nello studio del trasporto di materia attraverso membrane biologiche.

Qualsiasi grandezza scalare immersa in un fluido che si muove con velocità v è sottoposta ad un moto browniano, ovvero ad una diffusione spaziale e temporale nel fluido stesso. Detta Q la grandezza che si diffonde, la legge che regola questa diffusione è:

$\frac{\partial Q}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla Q=\nu\Delta Q$

Le leggi di Fick

Prima legge di Fick

Vale se la concentrazione $\, \phi$ della specie diffondente non varia nel tempo. In tal caso si dice che ci troviamo in condizioni stazionarie. L'equazione, in forma differenziale, è:

$J = - D \frac{\partial \phi}{\partial x}$

che descrive il flusso J lungo la direzione x. D è detto diffusività o coefficiente di diffusione; dipende strettamente dall'ambiente in cui è immerso il fluido ed indica la rapidità di propagazione. Il segno negativo è giustificato dal fatto che il flusso va da una concentrazione più alta ad una più bassa.

Nel caso si parli della legge suddetta in due o tre dimensioni è necessario l'utilizzo dell'operatore $\nabla$, gradiente che generalizza la prima derivata. Si ottiene così la seguente relazione:

$J=- D\nabla \phi$.

Seconda legge di Fick

La seconda legge di Fick descrive il processo di diffusione di un fluido immerso in un ambiente, ed indica quando la concentrazione nel volume materiale di riferimento varia nel tempo. L' equazione posta nella forma differenziale è

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\,\!$

in cui:

• $\,\phi$ rappresenta la concentrazione che ha per dimensioni [mol m^-3]
• $\, t$ è il tempo [s]
• $\, D$ è il coefficiente di diffusione, che ha per dimensioni [m² s^-1].

Essa descrive la variazione nel tempo della concentrazione del fluido. La variazione di concentrazione è funzione del tempo e dello spazio; in questa forma la legge esprime la variazione della concentrazione solo nella direzione x, per il caso bidimensionale la relazione diventa:

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\left ( \frac{\partial ^2 \phi}{{\partial x}^2} + \frac{\partial ^2 \phi} {{\partial y}^2} \right ).$

L'espressione in forma del tutto generale, in due o più dimensioni può essere scritta utilizzando l'operatore nabla (o gradiente) $\nabla$, ottenendo:

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\,\nabla^2\,\phi\,\!$

che è analoga all'equazione della diffusione del calore.

Se il coefficiente non è costante, ma dipende dalle coordinate e/o dalla concentrazione, la seconda legge di Fick diventa:

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \nabla \cdot (\,D\,\nabla\,\phi\,)\,\!$

che può essere ulteriormente generalizzata nell'Equazione di Smoluchowski. Nel caso in cui $\,\phi$ sia costante nel tempo si ottiene l'equazione di Laplace, le cui soluzioni sono delle armoniche per esempio armoniche sferiche o armoniche cilindriche. L'equazione sarà dunque nella forma:

$\nabla^2\,\phi =0\!$.

Esempio di diffusione in una sola dimensione: lunghezza di diffusione

Un semplice caso di diffusione in funzione del tempo t in una dimensione (per esempio scegliendo l'asse x) $n(x,t)$ con una condizione al bordo $x=0$ pari ad $n(0)$ è data da:

$n \left(x,t \right)=n(0)$ $\mathrm{erfc} \left(\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{4Dt}}\end{matrix}\right)$.

dove erfc è la funzione errore complementare. La grandezza $\sqrt{(4Dt)}$ è chiamata lunghezza di diffusione e fornisce una misura di quanto lontano possa propagarsi la densità in direzione x in funzione del tempo t.

Dipendenza dalla temperatura del coefficiente di diffusione

Il coefficiente di diffusione a differenti temperature è spesso esprimibile, con margini di errore generalmente accettabili, dalla relazione:

$D = D_0\cdot e^{-\frac{E_{A}}{R\cdot T}},$

dove:

• $\, D$ è il coefficiente di diffusione
• $\, D_0$ è il coefficiente massimo di diffusione (a temperatura infinita)
• $\, E_A$ è l'energia di attivazione per la diffusione
• $\, T$ è la temperatura assoluta misurata in kelvin
• $\, R$ è la costante dei gas.

Un'equazione in questa forma è conosciuta come equazione di Arrhenius.

Bibliografia

• R. Byron Bird; Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot, Enzo Sebastiani (a cura di), Fenomeni di trasporto, Milano, Casa editrice ambrosiana, 1979. ISBN 88-408-0051-4

Voci correlate

• Adolf Fick
• Coefficiente di diffusione
• Moto browniano
• Reazione-diffusione
• Scambio di materia
• Equazione di continuità
• Equazione di Smoluchowski
• Equazione di Nernst-Planck

Collegamenti esterni

• I trasporti attraverso le membrane biologiche
• La rappresentazione della legge di Fick in forma discreta

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