Derivata materiale

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In meccanica del continuo, la derivata materiale, anche detta derivata convettiva, derivata sostanziale o derivata lagrangiana, descrive il tasso di variazione di una qualche quantità fisica associata ad un elemento di materia soggetto ad un campo vettoriale dipendente da spazio e tempo. Si tratta di una forma di derivazione simile alla derivata totale, e talvolta ne prende il nome. Ad esempio, il campo vettoriale può essere la velocità delle particelle di un fluido (velocità di flusso), e la quantità fisica considerata la sua temperatura.

La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la descrizioni euleriana e lagrangiana di una deformazione continua, e viene utilizzata spesso in fluidodinamica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Questo tipo di derivazione descrive il trasporto di una quantità scalare o vettoriale con una velocità di deriva \mathbf u (\mathbf x, t). La derivata materiale di un campo scalare \varphi (\mathbf x, t) è definita come:

\frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla \varphi

dove \nabla \varphi è il gradiente di \varphi, e la derivata parziale \partial \varphi / \partial t è detta derivata euleriana (derivata del campo rispetto al tempo in una posizione fissata).

La derivata materiale di un campo vettoriale \mathbf a (\mathbf x, t) è data da:

\frac{D\mathbf a}{Dt} = \frac{\partial \mathbf a}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf a

dove \nabla \mathbf a è la derivata covariante di \mathbf a.

Il termine "derivata convettiva" è utilizzato sia per indicare la derivata materiale D\varphi/Dt o D\mathbf a/Dt, sia per indicare la derivazione \mathbf {u}\cdot\nabla \varphi o \mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf a delle sole componenti spaziali.

L'effetto dei termini indipendenti dal tempo è detto talvolta avvezione per il caso scalare e convezione per il caso vettoriale.

La derivata totale rispetto a t è invece espressa attraverso la regola della catena:

\frac{d}{d t}(\varphi(\mathbf x, t)) = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \varphi \cdot \frac{d \mathbf x}{d t}

Il vettore:

\frac{d \mathbf x}{d t} = \left(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}\right)^T

descrive la velocità di un oggetto lungo un determinato cammino \mathbf x (t) nello spazio. se:

\frac{d \mathbf x}{d t} = \mathbf v

solo in questo caso la derivata totale coincide con la definizione di derivata materiale data sopra. Se inoltre d \mathbf x/d t = 0 (cioè la posizione è costante) la derivata totale temporale diventa la derivata parziale temporale nella posizione (stazionaria) \mathbf x.

Coordinate ortogonali[modifica | modifica sorgente]

In un sistema di coordinate ortogonali, la componente j-esima della convezione è data da:[1]

[\mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u}]_j = 
\sum_i \frac{v_i}{h_i} \frac{\partial u_j}{\partial q^i} + \frac{u_i}{h_i h_j}\left(v_j \frac{\partial h_j}{\partial q^i} - v_i \frac{\partial h_i}{\partial q^j}\right)

in cui:

h_i=\sqrt{g_{ii}}

con g_{ii} il tensore metrico.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Eric W. Weisstein, Convective Operator, MathWorld. URL consultato il 22 luglio 2008.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, pp. 72–73, ISBN 0-521-66396-2.
  • (EN) K. E. Trenberth, Climate System Modeling, Cambridge University Press, 1993, p. 99, ISBN 0-521-43231-6.
  • (EN) G. Emanuel, Analytical fluid dynamics, second, CRC Press, 2001, pp. 6–7, ISBN 0-8493-9114-8.
  • (EN) G.J. Sussman, J. Wisdom e M.E. Mayer, 1.6 How to Find Lagrangians in Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press.
  • (EN) Ira M. Cohen e Pijush K Kundu, Fluid Mechanics, 4ª ed., Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9.
  • (EN) Michael Lai, Erhard Krempl e David Ruben, Introduction to Continuum Mechanics, 4ª ed., Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]