Fenomeni di trasporto

I fenomeni di trasporto sono meccanismi di trasporto di quantità fisiche che presentano analogie nella loro natura a livello molecolare, nella loro descrizione come modello matematico e nella loro occorrenza nei processi di produzione industriale, biologici, agricoli od agroalimentari, e meteorologici.

Alcune discipline che sottendono il soggetto dei fenomeni di trasporto sono:

• fluidodinamica, che riguarda il trasporto di quantità di moto;
• trasmissione del calore, che riguarda il trasporto di energia termica;
• scambio di materia, che riguarda il trasporto di massa;
• elettrochimica, che riguarda il trasporto di trasporto di carica elettrica.

Questi meccanismi di trasporto elementari sono replicati in scala macroscopica nelle operazioni unitarie, il cui sfruttamento a livello industriale viene realizzato attraverso impianti chimici o impianti ove si realizzino trasformazioni fisiche.

Modelli matematici per i fenomeni di trasporto

I tre meccanismi di trasporto possono essere descritti a livello molecolare da tre leggi analoghe tra loro: la legge di Newton, la legge di Fourier e la legge di Fick.

Legge di Newton

Per approfondire, vedi la voce Fluidodinamica.

Moto laminare tra due pareti, in cui è evidenziato lo sforzo e l'effetto di variazione della velocità del fluido.

La legge di Newton esprime la correlazione tra la pressione applicata ad una parete che chiude da una parte un fluido e la variazione di velocità a distanza crescente dalla parete stessa. Se lo sforzo è diretto lungo l'asse x, si verifica che la velocità lungo l'asse y decresce, quindi:

$\tau_{yx}= - \mu \frac{\partial v_x}{\partial y}$.

dove:

• τ_xy è lo sforzo (espressa in Pa nel SI) per una forza applicata lungo x su una superficie perpendicolare all'asse y;
• v_x è la velocità lungo x (espressa nel SI in m/s);
• μ è la viscosità (espressa in Pa·s).

La stessa legge può essere interpretata come il flusso di quantità di moto diretto lungo y e dovuto ad un gradiente di velocità tra i diversi "piani" via via più distanti dalla pareti: letta in questa modo la legge descrive come ad una variazione imprevista dell'energia cinetica del sistema si oppone un flusso di quantità di moto atto a sopperire la variazione in corso. Questo costituisce il primo fenomeno di trasporto e la viscosità è pertanto anche detta proprietà di trasporto. Nello spazio tridimensionale, la legge diventa:

$\tau= - \mu \nabla v$

Legge di Fourier

La legge di Fourier in una dimensione (x) caratterizza lo scambio termico (q) tra due sorgenti attraverso la superficie di scambio A.

Per approfondire, vedi le voci Scambio di calore e Conduzione termica.

La legge di Fourier asserisce che si instaura un flusso di calore q diretto in direzione opposta ad un gradiente di temperatura e proporzionale ad esso attraverso la costante di proporzionalità k, detta conducibilità termica. In termini matematici:

$q = - k \nabla T$

L'interpretazione della legge nell'ottica dei fenomeni di trasporto vede quindi nella conducibilità termica la proprietà di trasporto.

Legge di Fick

Per approfondire, vedi le voci Scambio di materia e Leggi di Fick.

La legge di Fick afferma che in presenza di un gradiente di concentrazione, un flusso di materia J viene indotto in direzione ad esso opposta e proporzionale ad esso attraverso la costante di proporzionalità D, detta coefficiente di diffusione. In termini matematici:

$J = - D\nabla \C$

La proprietà di trasporto è dunque la diffusività e la grandezza oggetto di trasporto è in questo caso la materia (con riferimento alle moli).

Analogie tra i fenomeni di trasporto

Analogia tra le equazioni di trasporto

La velocità di trasporto, sia essa riferita al trasporto di calore, di materia o di quantità di moto, è esprimibile dal rapporto tra una forza spingente e una resistenza al trasporto. Nei tre casi elencati, la forza spingente è rispettivamente il gradiente di temperatura, il gradiente di concentrazione, e il gradiente di velocità.

Considerando il caso semplice del trasporto lungo una direzione x, le tre equazioni di trasporto elencate (legge di Newton, legge di Fourier e legge di Fick) possono essere espresse da un'unica equazione:

$\psi_x = - \delta \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)$

in cui:

• $\psi_x$ è il flusso (di calore, di materia o di quantità di moto) lungo la direzione x;
• $\delta$ è la diffusività (di calore, di materia o di quantità di moto);
• $\psi$ è la concentrazione (di calore, di materia o di quantità di moto).

Analogie tra i gruppi adimensionali

Anche tra i gruppi adimensionali che descrivono le condizioni del trasporto delle tre quantità (calore, materia e quantità di moto) sussistono forti analogie. In particolare, la seguente tabelle mette a confronto in risalto l'analogia tra trasporto di calore e trasporto di materia:

Trasporto di calore			Trasporto di materia
gruppo adimensionale	formula	significato fisico	gruppo adimensionale	formula	significato fisico
Fattore di Colburn	$J_H = Nu Re^{-1} Pr^{-1/3}$ $= \frac{h}{\rho c_p v} \left( \frac{c_p \mu}{k} \right)^{2/3}$	...	Fattore J di materia	$J_M = Nu_{AB} Re^{-1} Sc^{-1/3}$ $= \frac{k_x}{\rho c v} \left( \frac{\mu}{\rho D_{AB}} \right)^{2/3}$	...
Numero di Prandtl	$Pr = \frac{c_p \mu}{k}$	rapporto tra diffusività di quantità di moto e diffusività di calore	Numero di Schmidt	$Sc = \frac{\nu}{D_{AB}}$	rapporto tra diffusività di quantità di moto e diffusività di materia
Numero di Nusselt	$Nu = \frac{h D}{k}$	rapporto tra trasferimento convettivo e conduttivo di calore	Numero di Sherwood	$Sh = \frac{k_c D}{D_{AB}}$	rapporto tra trasferimento convettivo e diffusivo di materia
Numero di Grashof	$Gr = \frac{\rho^2 g \beta \Delta T D^3}{\mu^2}$	rapporto tra forze di sollevamento e forze viscose	Numero di Grashof di materia	$Gr_{AB} = \frac{\rho^2 g \zeta \Delta x_A D^3}{\mu^2}$	...
Numero di Peclet	$Pe_H = Re Pr$ $= \frac{v D}{(k / \rho c_p)}$	rapporto tra trasporto di calore convettivo e trasporto di calore conduttivo	Numero di Peclet di materia	$Pe_M = Re Sc$ $= \frac{v D}{D_{AB}}$	...
Numero di Stanton	$St = \frac{Nu}{Re Pr}$ $= \frac{h}{\rho c_p v}$	...	Numero di Stanton di materia	$St_{AB} = \frac{Sh}{Re Sc}$ $= \frac{k_x}{c v}$	...
Numero di Graetz	$Gz = \frac{m^* c_p}{k L}$	...	Numero di Graetz di materia	$Gz_{AB} = \frac{m^*}{\rho L D_{AB}}$	...

Grazie alle analogie esistenti tra i diversi gruppi adimensionali, è possibile conoscere la soluzione di un problema a partire da un problema analogo, ad esempio possiamo ricavare il coefficiente di scambio di materia riconducendoci ad un problema analogo di scambio di calore.

Bibliografia

• Robert Byron; Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2^a ed. (in inglese), New York, Wiley, 2005. ISBN 0-470-11539-4
• Frank P. Incropera; David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6^a ed. (in inglese), Wiley, 2006. ISBN 0-471-45728-0
• C.J. Geankoplis, Transport processes and separation process principles, 4^a ed. (in inglese), 2003.
• S. Chapman; T.G. Cowling, The mathematical theory of nonuniform gases (in inglese), Cambridge, Cambridge University Press, 1939.
• J.O. Hirschfelder; Charles Francis Curtiss, Robert Byron Bird, Molecular theory of gases and liquids (in inglese), New York, Wiley, 1954.
• L.D. Landau; E.M. Lifshitz, Fluid mechanics (in inglese), Londra, Pergamon Press, 1959.
• V.G. Levich, Physicochemical hydrodynamics (in inglese), Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1962.

Voci correlate

• Analogia (fisica)
• Bilancio
• Chimica delle interfasi
• Gruppo adimensionale
• Operazione unitaria
• Trasporto di carica elettrica

Altri progetti

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Collegamenti esterni

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