Tensore energia impulso

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Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia impulso, anche detto tensore energia momento, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate ad un campo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore energia impulso è il tensore T^{ik} del secondo ordine che fornisce il flusso della componente i-esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie S_k con coordinate x_k costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso P^i, e dunque:[1]

P^i = \alpha \int T^{ik} dS_k

dove \alpha è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano x^0 = cost si ha l'impulso in tre dimensioni:

P^i = \alpha \int T^{ik} dV

con dV l'elemento di spazio tridimensionale e dVdt il volume contenuto in dS_k.

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

\frac {\partial T_i^k }{\partial x^k}=0

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, ed in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo è significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:[1]

T^{ik} = T^{ki}

e la componente temporale è la densità di massa relativistica \rho, cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

T^{00} = \rho

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie x^i è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:[1]

T^{0i} = T^{i0}

Le componenti spaziali di  T^{ik} rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie x^k. In particolare,  T^{ii} rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre  T^{ik} rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

S = \int \lambda \left(q, \frac {\partial q}{\partial x^i}, t \right)dVdt = \int \lambda d\Omega

dove \lambda è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume dV, funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero \delta \mathcal{S}=0, e quindi:[2]

\delta S = \frac {1}{c} \int \left(\frac {\partial \lambda }{\partial q}\delta q + \frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^i})}\delta \frac {\partial q}{\partial x^i} \right) d\Omega = \frac {1}{c} \int \left[\frac {\partial \lambda }{\partial q}\delta q + \frac {\partial }{\partial x^i} \left(\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^i})}\delta q \right) - \delta q \frac {\partial }{\partial x^i} \frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^i})} \right] d\Omega =
 =0

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac {\partial }{\partial x^i}\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^i})} - \frac {\partial \lambda}{\partial q}=0

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

\frac {\partial \lambda}{\partial x^i} = \frac {\partial \lambda}{\partial q}\frac {\partial q}{\partial x^i} + \frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^k})} \frac {\partial }{\partial x^i} \left(\frac {\partial q}{\partial x^k} \right)

si ottiene:

\frac {\partial \lambda}{\partial x^i} = \frac {\partial }{\partial x^k} \left( \frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^k})} \right) \frac {\partial q}{\partial x^i} + \frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^k})} \frac{\partial }{\partial x^k} \left( \frac {\partial q}{\partial x^i} \right) = \frac {\partial }{\partial x^k}  \left( \frac {\partial q}{\partial x^i} \frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^k})} \right)

Dato che \frac {\partial \lambda}{\partial x^i} = \delta_i^k \frac {\partial \lambda}{\partial x^k}, si definisce il tensore energia impulso come:

T_i^k = \frac {\partial q}{\partial x^i}\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^k})} -  \delta_i^k \lambda

in modo che l'espressione assume la forma:

\frac {\partial T_i^k }{\partial x^k}=0

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:[3]

\int \frac {\partial T_i^k }{\partial x^k} d\Omega = \alpha \int T^{ik} dS_k = P^i

dove P^i è il quadrimpulso del sistema e \alpha un termine costante che si pone solitamente pari a 1 / c: la relazione stabilisce che P^i si conserva.

Conservazione dell'energia[modifica | modifica wikitesto]

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità \partial T_i^k / \partial x^k =0 si hanno le espressioni:[1]

\frac {1}{c}\frac {\partial T^{00} }{\partial t}  + \frac {\partial T^{0\alpha} }{\partial x^\alpha} =0 \qquad \frac {1}{c}\frac {\partial T^{\alpha 0} }{\partial t}  + \frac {\partial T^{\alpha \beta} }{\partial x^\beta} =0

Integrando l'equazione a sinistra sul volume V ed utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:[4]

\frac {\partial }{\partial t} \int T^{00} dV  = -c \int \frac {\partial T^{0\alpha} }{\partial x^\alpha} dV = -c \int T^{0\alpha}df_\alpha

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume V, il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie d \mathbf f = (f_x,f_y,f_z). In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'anaolga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore degli sforzi elettromagnetico.

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo piatto come:[5]

T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]

dove F^{\mu\nu} è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita è:

T^{\mu\nu} =\begin{bmatrix} \frac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ 
S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ 
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}

dove \vec{S} è il vettore di Poynting, \eta_{\mu\nu} il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

\eta_{\mu\nu}\! = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

e \sigma_{ij} il tensore degli sforzi di Maxwell:[6]

\sigma_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j   + \frac{1}
{{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1}
{2}\left( {\varepsilon_0 E^2  + \frac{1}
{{\mu _0 }}B^2 } \right)\delta _{ij}

Si noti che c^2=\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} dove c è la velocità della luce.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b c d Landau, Lifshits, Pag. 111
  2. ^ Landau, Lifshits, Pag. 109
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 110
  4. ^ Landau, Lifshits, Pag. 113
  5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 114
  6. ^ Landau, Lifshits, Pag. 115

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
  • Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
  • Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
  • Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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