Tensore energia impulso

Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia impulso, anche detto tensore energia momento o tensore stress energia, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate ad un campo.

Definizione

Il tensore energia impulso è il tensore T^αβ del secondo ordine che fornisce il flusso della componente α-esima della quantità di moto attraverso una superficie con coordinate x^β costanti.
In relatività generale, la quantità di moto è il quadrimpulso, ed il tensore energia impulso è simmetrico,

$T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha} \!.$

Il tensore energia impulso soddisfa l'equazione di continuità

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$

La quantità

$P^{\nu} = \int d^3x T^{0\nu}$

rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore energia impulso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni spaziotemporali. Nella relatività generale, questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Una cosa da notare è che nello spaziotempo curvo, l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale. Questo è semplicemente l'assunto che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Componenti

La componente temporale del tensore energia impulso è la densità di massa relativistica, cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

$T^{00} = \rho. \!$

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie xⁱ è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:

$T^{0i} = T^{i0}. \!$

Le componenti $T^{ik} \!$, con i e k che variano da 1 a 3, rappresentano il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie x^k . In particolare $T^{ii} \!$ rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre T^ik rappresenta lo sforzo di taglio.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Per approfondire, vedi la voce Tensore degli sforzi elettromagnetico.

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo piatto come:

$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,.$

dove F^μν è il tensore elettromagnetico.
La forma matriciale esplicita è:

$T^{\mu\nu} =\begin{bmatrix} \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\ S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}$,

dove $\vec{S}$ è il vettore di Poynting, $\eta_{\mu\nu}\!$ il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

$\eta_{\mu\nu}\! = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

e σ_ij il tensore degli sforzi di Maxwell:

$\sigma_{ij} = \epsilon_0 E_i E_j + \frac{1} {{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1} {2}\left( {\epsilon_0 E^2 + \frac{1} {{\mu _0 }}B^2 } \right)\delta _{ij}$.

Si noti che $c^2=\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0}$ dove c è la velocità della luce.

Bibliografia

• Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005
• Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007
• Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925

Voci correlate

• David Hilbert
• Principio cosmologico
• Principio di relatività
• Principio di conservazione
• Galileo Galilei
• Albert Einstein

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Tensore energia impulso

Collegamenti esterni

• Relatività su Open Directory Project (Segnala su DMoz un collegamento pertinente all'argomento "Relatività")
• (EN) Testo della teoria della relatività di Einstein
• (EN) Progetto Beyond Einstein della NASA
• (EN) Gravitazione quantistica a loop
• (EN) Reflections on Relativity — Un completo corso on line sulla Relatività.
• Un'introduzione alla Teoria della Relatività di A. Amadori - L. Lussardi
• Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica, V. Moretti, università di Trento

Portale Relatività: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di relatività