Quadrimpulso

Nella relatività ristretta, il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè è un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla linea d'universo di una particella, cioè tangente alla sua traiettoria nello spaziotempo. Come ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa la velocità della luce.

Definizione

Data una particella con velocità $\mathbf v=(v_x,v_y,v_z)$, il corrispondente quadrimpulso dato da:

$p^\mu= \begin{pmatrix} E/c \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p^0 \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3 \end{pmatrix} := m u^\mu = \gamma m \begin{pmatrix} c \\ v^x \\ v^y \\ v^z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma mc \\ \gamma p^x \\ \gamma p^y \\ \gamma p^z \end{pmatrix}$

dove $u^\mu=(u^0, u^1, u^2, u^3)$ sono le componenti della quadrivelocità, $m$ è la massa a riposo, $\gamma$ è il fattore di Lorentz, $\mathbf v=(v^x, v^y, v^z)$ e $\mathbf p=(p^x, p^y, p^z)$ gli usuali vettori tridimensionali velocità e quantità di moto, e c è la velocità della luce. Le componenti spaziali di $p^\mu$ sono dunque le componenti della quantità di moto classica $\mathbf p$ moltiplicata per il fattore $\gamma$.

Derivazione

Sia $x^\mu=(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z)$ il quadrivettore posizione, che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il sistema del laboratorio. Differenziando si ha:

$\mbox{d} x^\mu= \begin{pmatrix} c\mbox{d}t \\ \mbox{d}x \\ \mbox{d}y \\ \mbox{d}z \end{pmatrix}$

Il tempo proprio è il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli:

$(\mbox{d} \tau)^2 := -\frac{(\mbox{d}s)^2}{c^2}= -\frac{\eta_{\mu \nu} \mbox{d}x^\mu \mbox{d}x^\nu}{c^2}= \frac{1}{c^2}({c^2\mbox{d}t^2-\mbox{d}x^2-\mbox{d}y^2-\mbox{d}z^2})=\mbox{d}t^2 \left( 1-\frac{(v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2}{c^2} \right) =\frac{\mbox{d}t^2}{\gamma^2 }$

dove $\eta_{\mu \nu}$ indica il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski, utilizzando la segnatura $(-,+,+,+)$. Si ha pertanto:

$\mbox{d} \tau = \frac{\mbox{d}t}{\gamma} \qquad \mbox{d}t = \gamma \mbox{d} \tau$

Il tempo proprio è una grandezza che permette di parametrizzare la traiettoria di un corpo, in quanto è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz (poiché $(\mbox{d} \tau)^2$ è proporzionale a $(\mbox{d} s)^2$).

La quadrivelocità è data da:

$u^\mu=\frac{\mbox{d} x^\mu}{\mbox{d}\tau}$

ed utilizzando la formula di derivazione composta può essere espressa in funzione dell'ordinaria velocità $\mathbf v$:

$u^\mu:= \frac{\mbox{d}x^\mu}{\mbox{d}\tau}=\frac{\mbox{d} x^\mu}{\mbox{d}t}\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}\tau}=\gamma \frac{\mbox{d} x^\mu }{\mbox{d}t}= \gamma \begin{pmatrix} c \\ v^x \\ v^y \\ v^z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z \end{pmatrix}$

La quadriquantità di moto è dunque definita, similmente al corrispettivo classico, come il prodotto tra la quadrivelocità e la massa a riposo $m$ del corpo.

Conservazione dell'energia

L'energia di una particella è definita come la velocità della luce moltiplicata per la componente temporale del quadrimpulso $(p^0 = \gamma mc , \mathbf p = \gamma m \mathbf u)$, ovvero:

$E=\gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

ed è una quantità che dipende dalla velocità $|\mathbf u|=u$. Analizzando lo scattering elastico tra due particelle identiche, ed espandendo in serie di Taylor per piccoli angoli l'energia del sistema, si giunge a dimostrare che se l'energia si conserva allora:

$E(u) = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} + E(0) - mc^2$

Si tratta dell'estensione relativistica dell'energia cinetica, più una quantità di energia costante pari a $E(0)=mc^2$, che rappresenta l'energia a riposo della particella, interpretabile come quell'energia che la particella ferma possiede per il fatto di avere massa.

La velocità è espressa in termini del quadrimpulso con la relazione:

$\mathbf u = \frac{c^2 \mathbf p}{E}$

e dal fatto che la quantità:

$(p^0)^2 - \mathbf p \cdot \mathbf p = (m c)^2$

è invariante, segue che:

$E = \sqrt{c^2 p^2 + m^2 c^4}$

Norma quadra

Nello spaziotempo di Minkowski la norma di un quadrivettore è un'invariante di Lorentz:

$\| \mathbf p \|^2=p^\mu p_\mu =m^2\gamma^2 (-c^2+((v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2))=-m^2 \frac{c^2}{c^2-v^2} (c^2-v^2)=-m^2c^2.$

In modo equivalente:

$-\|\mathbf{P}\|^2 = - P^\mu P_\mu = - \eta_{\mu\nu} P^\mu P^\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2c^2$

Il risultato è prevedibile considerando il fatto che i quadrivettori velocità hanno norma quadrata $-c^2$ e il quadrimpulso è un quadrivettore velocità per uno scalare $m$. La norma quadrata negativa implica che i quadrivettori velocità e impulso siano di tipo tempo, e cambiando il segno alla segnatura $(+,-,-,-)$ la norma quadra cambia di segno.

Conservazione del quadrimpulso

La conservazione del quadrimpulso nei sistemi isolati è uno dei principi fondamentali della dinamica relativistica. Esso include, per basse velocità, le leggi classiche della conservazione dell'energia e della quantità di moto: si conserva l'energia totale, pari a $p^0 c$ e si conserva la quantità di moto del sistema, pari alle componenti spaziali del quadrivettore.

Se la massa non cambia, il prodotto interno nello spaziotempo di Minkowski tra il quadrimpulso e la relativa quadriaccelerazione $A^\mu$ è nullo. Infatti, l'accelerazione è proporzionale alla derivata del quadrimpulso rispetto al tempo proprio, divisa per la massa della particella, e pertanto:

$P^{\mu} A_{\mu} = \eta_{\mu\nu} P^{\mu} A^{\nu} = \eta_{\mu\nu} P^{\mu} \frac{d}{d\tau} \frac{P^{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} \|\mathbf{P}\|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} (-m^2c^2) = 0$

Si noti che la massa a riposo può non conservarsi, mentre si conserva la massa relativistica. Per esempio, durante un urto tra particelle subatomiche, se due particelle di masse a riposo uguali $m$ che viaggiano l'una a $0.5c$ e l'altra in senso opposto a $0.66 c$ si fondono nell'impatto in una sola particella, questa viaggerà ad una velocità pari a $0.127c$ e avrà una massa $M = 2.476 m$, ben maggiore della somma delle masse iniziali. D'altra parte, la somma delle due masse relativistiche, pari ciascuna a $1.154m$ e $1.342m$ fornisce direttamente per la massa relativistica della particella risultante $2.496 m$, correttamente pari alla massa a riposo moltiplicata per il fattore di Lorentz relativo (circa 1.0081).

Bibliografia

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• (EN) Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957. ISBN 0-471-60839-4 See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
• (EN) Carmeli, Moshe, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977. ISBN 0-07-009986-3 A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• (EN) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-53927-7 An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• (EN) Hall, G. S., Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004. ISBN 981-02-1051-5 See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• (EN) Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0 See also the online version. URL consultato in data July 3. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• (EN) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition) An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• (EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-853446-9 See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Voci correlate

• Algebra di Lie
• Composizione delle velocità
• Gruppo unitario
• Gruppo ortogonale
• Quadrivettore
• Quadrivelocità
• Quantità di moto
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria della relatività
• Trasformazioni galileiane
• Trasformazione di Lorentz

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