Quadrimpulso

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Nella relatività ristretta, il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè è un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla linea d'universo di una particella, cioè tangente alla sua traiettoria nello spaziotempo. Come ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa la velocità della luce.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una particella con velocità \mathbf v=(v_x,v_y,v_z), il corrispondente quadrimpulso è dato da:[1]

p^\mu= 
\begin{pmatrix}
E/c \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p^0 \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3 
\end{pmatrix} := m u^\mu = \gamma m
\begin{pmatrix}
c \\ v^x \\ v^y \\ v^z
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma mc \\ \gamma p^x \\ \gamma p^y \\ \gamma p^z
\end{pmatrix}

dove u^\mu=(u^0, u^1, u^2, u^3) sono le componenti della quadrivelocità, m è la massa a riposo, \gamma è il fattore di Lorentz, \mathbf v=(v^x, v^y, v^z) e \mathbf p=(p^x, p^y, p^z) gli usuali vettori tridimensionali velocità e quantità di moto, e c è la velocità della luce. Le componenti spaziali di p^\mu sono dunque le componenti della quantità di moto classica \mathbf p moltiplicata per il fattore \gamma.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia x^\mu=(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z) il quadrivettore posizione, che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, il sistema del laboratorio. Differenziando si ha:

\mbox{d} x^\mu=
\begin{pmatrix}
c\mbox{d}t \\ \mbox{d}x \\ \mbox{d}y \\ \mbox{d}z
\end{pmatrix}

Il tempo proprio è il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli:

(\mbox{d} \tau)^2 := -\frac{(\mbox{d}s)^2}{c^2}= -\frac{\eta_{\mu \nu} \mbox{d}x^\mu \mbox{d}x^\nu}{c^2}= \frac{1}{c^2}({c^2\mbox{d}t^2-\mbox{d}x^2-\mbox{d}y^2-\mbox{d}z^2})=
=\mbox{d}t^2 \left( 1-\frac{(v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2}{c^2} \right) =\frac{\mbox{d}t^2}{\gamma^2 }

dove \eta_{\mu \nu} indica il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski, utilizzando la segnatura (-,+,+,+). Si ha pertanto:

\mbox{d} \tau = \frac{\mbox{d}t}{\gamma} \qquad \mbox{d}t = \gamma \mbox{d} \tau

Il tempo proprio è una grandezza che permette di parametrizzare la traiettoria di un corpo, in quanto è un invariante sotto trasformazioni di Lorentz (poiché (\mbox{d} \tau)^2 è proporzionale a (\mbox{d} s)^2).

La quadrivelocità è data da:

u^\mu=\frac{\mbox{d} x^\mu}{\mbox{d}\tau}

ed utilizzando la formula di derivazione composta può essere espressa in funzione dell'ordinaria velocità \mathbf v:

u^\mu:= \frac{\mbox{d}x^\mu}{\mbox{d}\tau}=\frac{\mbox{d} x^\mu}{\mbox{d}t}\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}\tau}=\gamma \frac{\mbox{d} x^\mu }{\mbox{d}t}= \gamma
\begin{pmatrix}
c \\ v^x \\ v^y \\ v^z 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z 
\end{pmatrix}

La quadriquantità di moto è dunque definita, similmente al corrispettivo classico, come il prodotto tra la quadrivelocità e la massa a riposo m del corpo.

Conservazione dell'energia[modifica | modifica wikitesto]

L'energia di una particella è definita come la velocità della luce moltiplicata per la componente temporale del quadrimpulso (p^0 = \gamma mc , \mathbf p = \gamma m \mathbf u), ovvero:[2]

E=\gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}

ed è una quantità che dipende dalla velocità |\mathbf u|=u. Analizzando lo scattering elastico tra due particelle identiche, ed espandendo in serie di Taylor per piccoli angoli l'energia del sistema, si giunge a dimostrare che se l'energia si conserva allora:[3]

E(u) = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} + E(0) - mc^2

Si tratta dell'estensione relativistica dell'energia cinetica, più una quantità di energia costante pari a E(0)=mc^2, che rappresenta l'energia a riposo della particella, interpretabile come quell'energia che la particella ferma possiede per il fatto di avere massa.

La velocità è espressa in termini del quadrimpulso con la relazione:

\mathbf u = \frac{c^2 \mathbf p}{E}

e dal fatto che la quantità:

(p^0)^2 - \mathbf p \cdot \mathbf p = (m c)^2

è invariante, segue che:

E = \sqrt{c^2 p^2 + m^2 c^4}

Norma quadra[modifica | modifica wikitesto]

Nello spaziotempo di Minkowski la norma di un quadrivettore è un'invariante di Lorentz:

\| \mathbf p \|^2=p^\mu p_\mu =m^2\gamma^2 (-c^2+((v^x)^2+(v^y)^2+(v^z)^2))=-m^2 \frac{c^2}{c^2-v^2} (c^2-v^2)=-m^2c^2.

In modo equivalente:

-\|\mathbf{P}\|^2 = - P^\mu P_\mu = - \eta_{\mu\nu} P^\mu P^\nu = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2 = m^2c^2

Il risultato è prevedibile considerando il fatto che i quadrivettori velocità hanno norma quadrata -c^2 e il quadrimpulso è un quadrivettore velocità per uno scalare m. La norma quadrata negativa implica che i quadrivettori velocità e impulso siano di tipo tempo, e cambiando il segno alla segnatura (+,-,-,-) la norma quadra cambia di segno.

Conservazione del quadrimpulso[modifica | modifica wikitesto]

La conservazione del quadrimpulso nei sistemi isolati è uno dei principi fondamentali della dinamica relativistica. Esso include, per basse velocità, le leggi classiche della conservazione dell'energia e della quantità di moto: si conserva l'energia totale, pari a p^0 c e si conserva la quantità di moto del sistema, pari alle componenti spaziali del quadrivettore.

Se la massa non cambia, il prodotto interno nello spaziotempo di Minkowski tra il quadrimpulso e la relativa quadriaccelerazione A^\mu è nullo. Infatti, l'accelerazione è proporzionale alla derivata del quadrimpulso rispetto al tempo proprio, divisa per la massa della particella, e pertanto:

P^{\mu} A_{\mu} = \eta_{\mu\nu} P^{\mu} A^{\nu} = \eta_{\mu\nu} P^{\mu} \frac{d}{d\tau} \frac{P^{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} \|\mathbf{P}\|^2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{d\tau} (-m^2c^2) = 0

Si noti che la massa a riposo può non conservarsi, mentre si conserva la massa relativistica (che non è altro che l'energia). Per esempio, durante un urto tra particelle subatomiche, se due particelle di masse a riposo uguali m che viaggiano l'una a 0.5c e l'altra in senso opposto a 0.66 c si fondono nell'impatto in una sola particella, questa viaggerà ad una velocità pari a 0.127c e avrà una massa M = 2.476 m, ben maggiore della somma delle masse iniziali. D'altra parte, la somma delle due masse relativistiche, pari ciascuna a 1.154m e 1.342m fornisce direttamente per la massa relativistica della particella risultante 2.496 m, correttamente pari alla massa a riposo moltiplicata per il fattore di Lorentz relativo (circa 1.0081).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 537
  2. ^ Jackson, Pag. 537
  3. ^ Jackson, Pag. 536

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
  • (EN) Carmeli, Moshe, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
  • (EN) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
  • (EN) Hall, G. S., Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
  • (EN) Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0. See also the online version. URL consultato il 3 luglio. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
  • (EN) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1, (Dover reprint edition). An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
  • (EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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