Tensore degli sforzi elettromagnetico

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In fisica, il tensore degli sforzi elettromagnetico è il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo piatto il tensore degli sforzi elettromagnetico è definito come:[1]

T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]

dove F^{\mu\nu} è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita è:

T^{\mu\nu} =\begin{bmatrix} \frac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ 
S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ 
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}

in cui \mathbf{S} è il vettore di Poynting, \eta_{\mu\nu} il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

\eta_{\mu\nu}\! = \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

e \sigma_{ij} il tensore degli sforzi di Maxwell:

\sigma_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j   + \frac{1}
{{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1}
{2}\left( {\varepsilon_0 E^2  + \frac{1}
{{\mu _0 }}B^2 } \right)\delta _{ij}

Si noti che c^2=\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} dove c è la velocità della luce.

A partire dalle equazioni di Maxwell si mostra che il tensore degli sforzi elettromagnetico è relazionato con il tensore elettromagnetico e con la quadricorrente dalle seguenti relazioni:

{T^{\alpha\beta}}_{,\beta} + F^{\alpha\beta} J_{\beta} = 0 \qquad \eta_{\alpha \nu} { T^{\nu \beta } }_{,\beta} + F_{\alpha \beta} J^{\beta} = 0

che esprimono la conservazione dell'impulso e dell'energia associati al campo elettromagnetico. Considerando la forza di Lorentz si ha inoltre:

f^{\alpha} = - {T^{\alpha\beta}}_{,\beta}

dove la virgola denota la derivata parziale.

In unità CGS[modifica | modifica sorgente]

Nel sistema sistema CGS si sostituisce \varepsilon_0 con \frac{1}{4\pi} e \mu_0 con 4\pi:

T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} [ F^{\mu\alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]

la cui forma matriciale risulta:

T^{\mu\nu} =\begin{bmatrix} \frac{1}{8\pi}(E^2+B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}

dove il vettore di Poynting prende la forma:

\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi}\mathbf{E}\times\mathbf{B}

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore energia impulso.

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

S = \int \lambda \left(q, \frac {\partial q}{\partial x^i}, t \right)dVdt = \int \lambda d\Omega

dove \lambda è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume dV. L'equazione del moto assume la forma:

\frac {\partial }{\partial x^i}\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^i})} - \frac {\partial \lambda}{\partial q}=0

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Se si definisce il tensore energia impulso come:

T_i^k = \frac {\partial q}{\partial x^i}\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial q}{\partial x^k})} -  \delta_i^k \lambda

il teorema della divergenza consente di trasformare l'equazione di continuità:[2]

\frac {\partial T_i^k }{\partial x^k}=0

nell'integrale di flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:

\int \frac {\partial T_i^k }{\partial x^k} d\Omega = \alpha \int T^{ik} dS_k = P^i

dove P^i è il quadrimpulso del sistema e \alpha un termine costante che si pone solitamente pari a 1 / c. La relazione stabilisce che P^i si conserva.[3]

Nel caso l'energia sia quella associata al campo elettromagnetico, la lagrangiana è data da:[4]

 \lambda = -\frac {1}{16}F_{kl}F^{kl}

Si definisce in tale contesto il tensore energia impulso come:

T_i^k = \frac {\partial A_l}{\partial x^i}\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial A_l}{\partial x^k})} -  \delta_i^k \lambda

dove le coordinate generalizzate sono rimpiazzate dalle componenti del quadripotenziale. La variazione di \lambda è:

\delta \lambda = -\frac {1}{4 \pi}F_{ij} \delta \frac {\partial A_l}{\partial x^k}

e si ha quindi che la sua derivata ha la forma:

\frac {\partial \lambda }{\partial ( \frac {\partial A_l}{\partial x^k})} =-\frac {1}{4 \pi}F^{kl}

da cui:

T_i^k =-\frac {1}{4 \pi} \frac {\partial A_l}{\partial x^i}F^{kl} + \frac {1}{16}\delta_i^k F_{lm}F^{lm} \qquad T^{ik} =-\frac {1}{4 \pi} \frac {\partial A_l}{\partial x^i}F^k_l + \frac {1}{16} g^{ik}F_{lm}F^{lm}

Per rendere simmetrico tale tensore si aggiunge la quantità \frac {1}{4 \pi} \frac {\partial A_i}{\partial x^l}F^k_l . Inoltre, dal fatto che non vi sono cariche le equazioni di Maxwell implicano \frac {\partial F^k_l }{\partial x^l}=0, ed in questo modo si ottiene:

\frac {1}{4 \pi} \frac {\partial A_i}{\partial x^l}F^k_l  = \frac {1}{4 \pi} \frac{\partial }{\partial x_l}( A^i F^k_l)

Sfruttando la forma di tensore elettromagnetico:

F_{il}= \partial_{i} A^l - \partial_{l} A^{i}

si giunge all'espressione del tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico:[1]

T^{ik} = \frac {1}{4 \pi}  \left( -F_{il}F^{k}_l + \frac {1}{4} g^{ik}F_{lm}F^{lm} \right)

Leggi di conservazione[modifica | modifica sorgente]

Il tensore degli sforzi elettromagnetico permette di scrivere in modo compatto le leggi di conservazione della quantità di moto e dell'energia elettromagnetica:

\partial_{\nu}T^{\mu \nu} + \eta^{\mu \rho} \, f_{\rho} = 0

dove f_{\rho} è la densità della forza di Lorentz.

La precedente relazione è equivalente alle leggi di conservazione:

\frac{\partial u_{em}}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{S} + \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} = 0
\frac{\partial \mathbf{p}_{em}}{\partial t} - \mathbf{\nabla}\cdot \sigma + \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} = 0

dove u_{em} è la densità di energia elettromagnetica

u_{em} = \frac{\varepsilon_0}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2

e \mathbf{p}_{em} è la densità di quantità di moto elettromagnetica:

\mathbf{p}_{em} = {\mathbf{S} \over c^2}

mentre \rho è la densità di carica elettrica volumica.

La prima legge di conservazione esprime il teorema di Poynting, mentre la seconda la conservazione della quantità di moto elettromagnetica. Se non vi sono presenti le sorgenti del campo l'equazione di conservazione si riduce alla sua espressione omogenea:

\partial_{\nu}T^{\mu \nu} = 0

Se la sorgente è invece un insieme di particelle cariche, allora:

\int_V f_{\rho}  d^3x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} P^{\rho}_{\mathrm {Part}}

dove P^{\rho}_{\mathrm {Part}} è la somma delle quantità di moto di tutte le particelle. Si ha che:

\int_V (\partial_{\nu}T^{\mu \nu} + f_{\rho}) d^3x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ( P^{\rho}_{\mathrm {Campo}} + P^{\rho}_{\mathrm {Part}}) = 0

che è una formulazione equivalente della legge di conservazione dell'energia.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 115
  2. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 110
  3. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 111
  4. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 114

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976. ISBN 88-359-5358-8.
  • (EN) David J. Griffiths,"Introduction to Electrodynamics" pp. 351-352, Benjamin Cummings Inc., 2008
  • (EN) Richard Becker,"Electromagnetic Fields and Interactions",Dover Publications Inc., 1964.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]