Rinormalizzazione

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Nella teoria quantistica dei campi, nella meccanica statistica e nella teoria delle strutture geometriche auto-similari, la rinormalizzazione è un insieme di tecniche per trattare gli infiniti che emergono nel calcolo delle quantità fisiche.

Quando si descrivono lo spazio e il tempo come entità continue, la costruzione di certe teorie quantistiche e statistiche risulta mal definita. Per trattarle correttamente è necessario definire con attenzione un opportuno limite continuo. In questo limite esistono delle relazioni non banali fra i parametri che descrivono la teoria a grandi scale e distanze rispetto a quelli che descrivono l'andamento della stessa teoria a piccole distanze.

La rinormalizzazione fu sviluppata per la prima volta per rimuovere gli infiniti che emergono negli integrali dello sviluppo perturbativo nell'elettrodinamica quantistica. Inizialmente vista come una procedura sospetta perfino da alcuni dei suoi ideatori, ad oggi è considerata uno strumento autonomo e autoconsistente in molti ambiti della fisica e della matematica.

Rinormalizzazione nelle teoria di campo quantistiche[modifica | modifica wikitesto]

Nelle teorie di campo quantistiche la rinormalizzazione permette di stabilire le relazioni che vi sono fra i risultati delle misure effettuate a differenti scale di lunghezze o equivalentemente di energie.

Nella teoria delle perturbazioni delle teorie di campo quantistiche, la rinormalizzazione si basa sulla ridefinizione delle costanti di accoppiamento e eventualmente anche dei campi in modo da rimuovere le divergenze almeno in una determinata scala di energia considerata.

Le divergenze da eliminare sono contenute negli integrali associati ai diagrammi di Feynman. Questi sono spesso divergenti nel limite ultravioletto, nel limite cioè in cui si includono gli impulsi integrati che tendono ad infinito. Le divergenze vengono prima classificate ed eliminate "brutalmente" mediante una esplicita procedura di regolarizzazione: si procede cioè ad una riformulazione matematica, spesso non fisica, della teoria in modo da rendere gli integrali, e quindi le quantità fisiche osservabili, non divergenti. La rinormalizzazione, quindi, consiste nel preciso modo di rimuovere la regolarizzazione introdotta e tornare alla teoria originaria (limite al continuo) avendo cura di mantenere finiti i valori delle quantità fisiche osservabili.

Una procedura comune di regolarizzazione è quella dell'introduzione di un "cutoff" nei momenti integrati. Si tratta di escludere gli impulsi elevati dagli integrali mediante un estremo di integrazione superiore (il cutoff, appunto) introdotto artificialmente ed arbitrariamente. Le divergenze dell'integrale appaiono quindi come potenze o logaritmi del cutoff e possono essere rimosse ridefinendo ("rinormalizzando") i campi e le costanti d'accoppiamento in maniera che dipendano dal valore del cutoff precisamente, in modo da mantenere finiti i valori delle quantità fisiche osservabili.

L'origine di quantità infinite[modifica | modifica wikitesto]

La presenza di infiniti nei calcoli delle quantità nelle teorie quantistiche è legata strettamente alle caratteristiche delle mutue interazioni fra le particelle e i campi. Ad esempio, anche in meccanica classica, la massa totale m_t di una particella carica di raggio r_e e di massa m_0 dovrebbe includere anche l'energia del campo elettrostatico da essa stessa generato:

m_t = m_0 + \int {1\over 2}E^2 \, dV = m_0 + \int_{r_e}^\infty \frac{1}{2} \left( {q\over 4\pi r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = m_0 + {q^2 \over 8\pi r_e}

Se si considera tuttavia una particella puntiforme, come ad esempio un elettrone, allora r_e \rightarrow 0 e la massa totale m_t risulta irrimediabilmente infinita. Questo risultato paradossale può essere interpretato come il problema della definizione dell'interazione fra il campo elettromagnetico e l'elettrone, quest'ultimo essendo carico genera un campo elettrico ma allo stesso tempo risulta a sua volta influenzato da questo. Tuttavia è possibile considerare che soltanto la massa totale m_t è accessibile agli esperimenti e chiaramente finita, mentre nulla fissa il valore della massa m_0 dell'elettrone preso singolarmente senza il suo campo. In altri termini, è impossibile sperimentalmente e fisicamente separare un elettrone e isolarlo dal campo elettromagnetico che esso stesso genera. Il valore di m_0 risulta quindi libero da ogni vincolo e per risolvere il paradosso si potrebbe fissarlo ad un valore infinitamente negativo tale da bilanciare l'infinita energia positiva del campo elettrostatico. La formalizzazione completa di questa procedura guidò la nascita della rinormalizzazione.

Regolarizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Il primo passo per affrontare gli integrali divergenti e i relativi infiniti che sorgono nel calcolo delle sezioni d'urto e di altre quantità fisiche, consiste nella procedura di regolarizzazione. Con questa procedura si introduce artificialmente nuovi parametri nella teoria, i regolarizzatori, che hanno l'effetto di rendere finiti gli integrali della teoria. Alla fine della procedura di rinormalizzazione questi parametri non fisici devono essere rimossi opportunamente. Per esempio, l'integrale:

\int_0^a \frac{1}{z} dz - \int_0^b \frac{1}{z} dz = ln{(a)} - ln{(b)} + ln{(0)} - ln{(0)} = ln{(a)} - ln{(b)} + \infty - \infty

risulta non definito a causa della sottrazione di quantità infinite. Tuttavia introducendo due parametri \varepsilon_a e \varepsilon_b nei limiti degli integrali:

\int_{\varepsilon_a}^a \frac{1}{z} dz - \int_{\varepsilon_b}^b \frac{1}{z} dz = ln{(a)} - ln{(b)} + ln{(\varepsilon_b)} - ln{(\varepsilon_a)} = ln{\left(\frac{a}{b}\right)} - ln{\left(\frac{\varepsilon_a}{\varepsilon_b}\right)}

il risultato è ben definito. A questo punto i due parametri \varepsilon_a e \varepsilon_b, arbitrariamente introdotti, possono essere rimossi, facendo tendere il loro valore a zero, \varepsilon_a \rightarrow 0 e \varepsilon_b \rightarrow 0, ma imponendo che allo stesso tempo:

\frac{\varepsilon_a}{\varepsilon_b} \rightarrow 1

ottenendo come risultato finale:

\int_{0}^a \frac{1}{z} dz - \int_{0}^b \frac{1}{z} dz = ln{\left(\frac{a}{b}\right)}

Le possibilità per fissare i parametri di regolarizzazione sono numerose, tuttavia in presenza di una procedura consistente non cambiano le previsioni finali che forniscono in relazione ai processi fisici. Le principali tecniche di regolarizzazione sono:

  • Regolarizzazione a "cut-off": solamente i momenti delle particelle minore di \Lambda vengono considerati negli integrali, \Lambda è il parametro di regolarizzazione chiamato "cut-off". Infatti numerose divergenze nelle teorie di campo sorgono quando si considerano particelle con momenti elevati. Ad esempio, l'integrale divergente:
\int \frac{1}{q^4 + c} d^4q \propto \int_{}^\infty \frac{1}{q} dq = \infty
viene regolarizzato in:
\int \frac{1}{q^4 + c} d^4q \rightarrow \int_{}^\Lambda \frac{1}{q} dq = \ln{(\Lambda)}
  • Regolarizzazione su reticolo: lo spazio quadrimensionale continuo viene discretizzato introducendo un passo reticolare a. I campi sono definiti solo su punti discreti. In questo modo gli integrali divergenti risultano regolarizzati come:
\int \frac{1}{q^4 + c} d^4q \rightarrow \int_{}^{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{q} dq = \ln{\left(\frac{\pi}{a}\right)}
  • Regolarizzazione dimensionale: in questo caso gli integrali sullo spazio quadrimensionale, vengono estesi ad un numero arbitrario reale di dimensioni.

Una volta rese finite le quantità fisiche, il passo successivo consiste nel ridefinire le costanti di accoppiamento in modo tale da rimuovere i parametri di regolarizzazione non fisici artificialmente introdotti. Non sempre questo passaggio risulta possibile in modo consistente, in questo caso la teoria viene detta non rinormalizzabile e può essere considerata solo come una approssimazione a basse energie di una teoria più fondamentale rinormalizzabile.

Meccanica statistica[modifica | modifica wikitesto]

La procedura di rinormalizzazione è un utile strumento per cercare di studiare il comportamento dei sistemi critici, cioè il comportamento nell'intorno delle transizioni di fase di liquidi, gas, reticoli di spin magnetici, ecc. In questo caso si è interessati a determinare le relazioni che sussistono quando si osservano i sistemi a scale di grandezze differenti.

Interpretazione[modifica | modifica wikitesto]

I primi costruttori della QED e delle altre teorie di campo erano, solitamente, insoddisfatti della struttura e della formulazione della rinormalizzazione. Sembrava illegittimo sottrarre infiniti dagli infiniti in modo apparentemente arbitrario per ottenere un risultato complessivo finito.

Le critiche di Paul Dirac furono le più accanite[1]. Più tardi, nel 1975, lui disse:

(EN)

« Most physicists are very satisfied with the situation. They say: 'Quantum electrodynamics is a good theory and we do not have to worry about it any more.' I must say that I am very dissatisfied with the situation, because this so-called 'good theory' does involve neglecting infinities which appear in its equations, neglecting them in an arbitrary way. This is just not sensible mathematics. Sensible mathematics involves neglecting a quantity when it is small - not neglecting it just because it is infinitely great and you do not want it! »

(IT)

« Molti fisici sono molto soddisfatti dello stato di cose. Dicono: 'L'elettrodinamica quantistica è una buona teoria e non c'è bisogno di preoccuparcene ancora.' Io devo dire che ne sono molto insoddisfatto, perché questa cosiddetta 'buona teoria' prevede di ignorare degli infiniti che appaiono nelle sue equazioni, e di ignorarli in un modo arbitrario. Questa non è più matematica rigorosa. La matematica sensata prevede di ignorare una quantità quando questa è piccola, non di ignorarla perché è infinitamente più grande di quanto vorresti! »

(Paul Dirac[2])

Un'altra importante critica fu mossa da Richard Feynman. Nonostante il suo ruolo cruciale nello sviluppo dell'elettrodinamica quantistica, lui scrisse nel 1985:

(EN)

« The shell game that we play ... is technically called 'renormalization'. But no matter how clever the word, it is still what I would call a dippy process! Having to resort to such hocus-pocus has prevented us from proving that the theory of quantum electrodynamics is mathematically self-consistent. It's surprising that the theory still hasn't been proved self-consistent one way or the other by now; I suspect that renormalization is not mathematically legitimate. »

(IT)

« Il cuore del gioco a cui noi giochiamo ... è tecnicamente chiamato 'rinormalizzazione'. Ma non importa quanto sia intelligente la parola, è ancora quello che chiamerei una procedura pazza! Dover ricorrere a tale gioco di prestigio ci ha impedito di provare se la teoria dell'elettrodinamica quantistica sia matematicamente auto-consistente. E' sorprendente che la teoria non sia ancora stata dimostrata auto-consistente in un modo o nell'altro; sospetto che la rinormalizzazione non sia matematicamente legittima. »

(Richard Feynman[3])

Mentre la critica di Dirac è basata sulla procedura di rinormalizzazione stessa, la critica di Feynman era molto diversa. Feynman era preoccupato del fatto che tutte le teorie di campo conosciute negli anni '60 avevano la proprietà che le interazioni diventano infinitamente forti a scale di distanza sufficiente piccole. Questa proprietà, chiamata polo di Landau, aveva reso plausibile la possibilità che le teorie quantistiche di campo fossero tutte incoerenti. Nel 1974, Gross, Politzer e Wilczek hanno dimostrato che un'altra teoria quantistica di campo, la cromodinamica quantistica, non ha un polo di Landau. In questo modo la teoria diventa perfettamente consistente a tutte le scale.

Il disagio generale era quasi universale nei testi fino al 1970 e 1980. A partire dagli anni 1970, tuttavia, l'atteggiamento cominciò a cambiare, soprattutto tra i giovani teorici, a causa dei lavori sul gruppo di rinormalizzazione e sulle teorie di campo efficaci, nonostante il fatto che Dirac e vari altri, appartenenti alla vecchia generazione, non avevano mai ritirato le loro critiche. Kenneth G. Wilson e altri hanno dimostrato che il gruppo di rinormalizzazione è utile nella teoria statistica dei campi applicata alla fisica della materia condensata, dove fornisce importanti informazioni sul comportamento del sistema nell'intorno delle transizioni di fase. Nella fisica della materia condensata, esiste un vero e proprio regolatore a piccole scale (chiamato anche "cut-off"): la materia cessa di essere un continuo sulla scala degli atomi. A corte distanze le divergenze dei campi che descrivono la materia condensata non rappresentano un problema filosofico, dal momento che la teoria dei campi è solo una descrizione efficace continua della materia intrinsecamente discreta, una rappresentazione liscia anche delle strutture irregolari e discontinue che emergono a piccole scale. In questo modo non esistono infiniti fisici in quanto il "cut off" è in realtà sempre finito, come la scala tipica in cui la descrizione fornita dalla teoria diventa inconsistente, ed è perfettamente sensato considerare quantità "nude" dipendenti dal cutoff.

Se la teoria quantistica dei campi è sensata anche oltre la lunghezza di Planck (dove potrebbe anche valere piuttosto la teoria delle stringhe o qualcosa di diverso), allora o non ci sono problemi reali nelle divergenze a breve distanza nella fisica delle particelle, oppure tutte le teorie di campo sono semplicemente delle teorie efficaci, utili a descrivere la fisica dei fenomeni solo ad alcune scale di energia e non a tutte. In un certo senso, questo approccio è simile all'atteggiamento degli scienziati più anziani, secondo cui le divergenze in QFT descrivono l'ignoranza umana sul funzionamento della natura, ma riconosce anche che questa ignoranza può essere quantificata e che quindi le risultanti teorie efficaci restano utili.

Nelle teorie di campo quantistiche, il valore di una costante fisica, in generale, dipende dalla scala che si sceglie come punto per la rinormalizzazione e diventa molto interessante esaminare come variano le costanti fisiche in conseguenza dei cambiamenti nella scala delle energie. Le costanti di accoppiamento nel modello standard della fisica delle particelle variano in modo diverso con il crescere della scala delle energie: l'accoppiamento della forza nucleare forte e l'accoppiamento di isospin debole della forza elettrodebole tendono a diminuire, mentre l'accoppiamento dell'ipercarica debole della forza elettrodebole tende ad aumentare. Alla scala di energia molto grande di 10 15 GeV (ben oltre la portata degli attuali acceleratori di particelle), questi accoppiamenti diventano tutti circa della stessa intensità (Grotz e Klapdor 1990, p. 254), una motivazione importante per le speculazioni circa l'esistenza di una grande teoria unificata. Invece di essere solo un problema preoccupante, rinormalizzazione è diventato un importante strumento teorico per studiare il comportamento delle teorie di campo in diversi regimi.

Se una teoria rinormalizzabile (come ad esempio l'elettrodinamica quantistica) può essere solo ragionevolmente interpretata come una teoria di campo efficace, cioè come approssimazione che riflette l'ignoranza umana sul funzionamento della natura, resta allora il problema di scoprire una teoria più accurata che non soffre di questi problemi della rinormalizzazione. Come ha detto Lewis Ryder, "nella teoria quantistica, queste [classiche] divergenze non scompaiono, anzi sembrano peggiorare. E nonostante il successo della teoria della rinormalizzazione, rimane la sensazione che ci dovrebbe essere un modo più soddisfacente di fare le cose"[4].

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • J.C. Collins, "Renormalization", Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
  • G. 't Hooft, M.Veltman, "Diagrammar", CERN Report 73-9, 1973.
  • M.J. Veltman, "Diagrammatica", The path to Feynman diagrams, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
  • L.S. Brown, "Quantum field theory", Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
  • M.E. Peskin, D.V. Schroeder, "An introduction to quantum field theory", Westview Press, 1995.
  • C. Itzykson and J.B. Zuber, "Quantum field theory", Mcgraw-hill, New York, 1980.
  • S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P.A.M. Dirac, "The Evolution of the Physicist's Picture of Nature," in Scientific American, May 1963, p. 53.
  2. ^ Kragh, Helge ; Dirac: A scientific biography, CUP 1990, p. 184
  3. ^ Feynman, Richard P. ; QED, The Strange Theory of Light and Matter, Penguin 1990, p. 128
  4. ^ Ryder, Lewis. Quantum Field Theory, pagina 390 (Cambridge University Press 1996)
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