Lagrangiana di Proca

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La lagrangiana di Proca descrive le particelle con massa non nulla e spin unitario (i bosoni vettori e i bosoni vettori assiali).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei campi, ad ogni particella elementare di definita massa e definito spin viene associato un campo e viceversa. Risulta pertanto che ad ogni bosone, di massa m e spin 1 (bosoni vettore oppure bosoni vettori assiali), corrisponde un campo \Omega_\alpha (x) (o analogamente \Omega^\alpha (x) = g^{\alpha\beta} \Omega_\beta (x)), dove  g è il tensore metrico con componenti covarianti  g_{\alpha\beta} e con componenti controvarianti  g^{\alpha\beta} , date da:

 
g_{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta} = \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & -1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}
\right)

L'equazione di campo per \Omega^\alpha (x) può essere dedotta da quella del campo elettromagnetico con la sostituzione (in unità naturali):


\partial^\mu \partial_\mu \rightarrow \partial^\mu \partial_\mu  + m^2

ossia:


( \partial^\mu \partial_\mu  + m_\omega^2 ) \Omega^\alpha - \partial^\alpha ( \partial_\beta \Omega^\beta ) = 0

che è l'equazione di Proca. La corrispondente densità di Lagrangiana è:


\mathcal L_\Omega = - \frac{1}{4} F_{\alpha\beta}^{\Omega\dagger } F^{\Omega, \alpha\beta} + \frac{1}{2} m^2 \Omega^\dagger_\alpha \Omega^\alpha

con:


F_{\alpha\beta}^\Omega \equiv \partial_\alpha \Omega_\beta - \partial_\beta \Omega_\alpha

Si nota che a causa della presenza del termina di massa:


m^2 \Omega^\dagger_\alpha \Omega^\alpha

la Lagrangiana non è invariante per le trasformazioni di gauge:


\Omega_\alpha (x) \rightarrow \Omega'_\alpha (x) = \Omega_\alpha (x) + \partial_\alpha \chi (x)

Prendendo la divergenza dell'equazione di Proca, si ottiene:


m^2 \partial_\beta \Omega^\beta = 0

Quindi, se m \neq 0, si deve imporre che:


\partial_\beta \Omega^\beta = 0

e l`equazione di Proca diventa:


( \partial^\mu \partial_\mu  + m^2 ) \Omega^\alpha  = 0

Queste sono quattro equazioni disaccoppiate, e ognuna di esse è una equazione di Klein-Gordon, a cui devono soddisfare le quattro componenti del campo vettoriale  \Omega^\alpha , con il vincolo aggiuntivo:


\partial_\alpha \Omega^\alpha (x) = 0

Quindi, per le particelle vettoriali massive questo vincolo riduce il numero di componenti indipendenti da quattro a tre.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Pierre Curie (1894), Sur la symétrie dans les phénomenes physiques, symétrie d'un

champ eléctrique et d'un champ magnétique, Journal de Physique 3me serie 3, 393-415.

  • Ernst Haeckel (1898-1904), Kunstformen der Natur, Lipsia, Verlag des

Bibliographischen Institut, ristampa Prestel Verlag, Monaco, 1998. Si trova anche in linea su questo sito

  • István Hargittai e Magdolna Hargittai (1995), Symmetry Through the Eyes of a Chemist, 2a

edizione, New York, Kluwer.

  • István Hargittai e Magdolna Hargittai (2000), In Our Own Image, New York, Kluwer.
  • Jenann, Ismael (2001), Essays on Symmetry, New York, Garland.
  • Alan Holden (1971), Shapes, Space and Symmetry, New York, Columbia University Press, ristampa New York, Dover, 1991.
  • Joe Rosen (1975), Symmetry Discovered, Londra, Cambridge University Press. Ristampa New York, Dover, 2000.
  • Alexei Vasil’evich Shubnikov e Vladimir Alexandrovich Koptsik (1974), Symmetry in

Science and Art, New York, Plenum Press.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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