Lagrangiana di Proca

La Lagrangiana di Proca è quella propria delle particelle con massa non nulla e spin unitario (i bosoni vettori e i bosoni vettori assiali).

Definizione

In teoria dei campi, ad ogni campo viene associata una particella di definita massa e definito spin e viceversa. Risulta pertanto che ad ogni bosone, di massa $m$ e spin 1 (bosoni vettore oppure bosoni vettori assiali), corrisponde un campo $\Omega_\alpha (x)$ (o analogamente $\Omega^\alpha (x) = g^{\alpha\beta} \Omega_\beta (x)$), dove $g$ è il tensore metrico con componenti covarianti $g_{\alpha\beta}$ e con componenti controvarianti $g^{\alpha\beta}$, date da:

$g_{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$

L'equazione di campo per $\Omega^\alpha (x)$ può essere dedotta da quella del campo elettromagnetico con la sostituzione (in unità naturali):

$\partial^\mu \partial_\mu \rightarrow \partial^\mu \partial_\mu + m^2$

ossia:

$( \partial^\mu \partial_\mu + m_\omega^2 ) \Omega^\alpha - \partial^\alpha ( \partial_\beta \Omega^\beta ) = 0$

che è l'equazione di Proca. La corrispondente densità di Lagrangiana è:

$\mathcal L_\Omega = - \frac{1}{4} F_{\alpha\beta}^{\Omega\dagger } F^{\Omega, \alpha\beta} + \frac{1}{2} m^2 \Omega^\dagger_\alpha \Omega^\alpha$

con:

$F_{\alpha\beta}^\Omega \equiv \partial_\alpha \Omega_\beta - \partial_\beta \Omega_\alpha$

Si nota che a causa della presenza del termina di massa:

$m^2 \Omega^\dagger_\alpha \Omega^\alpha$

la Lagrangiana non è invariante per le trasformazioni di gauge:

$\Omega_\alpha (x) \rightarrow \Omega'_\alpha (x) = \Omega_\alpha (x) + \partial_\alpha \chi (x)$

Prendendo la divergenza dell'equazione di Proca, si ottiene:

$m^2 \partial_\beta \Omega^\beta = 0$

Quindi, se $m \neq 0$, si deve imporre che:

$\partial_\beta \Omega^\beta = 0$

e l`equazione di Proca diventa:

$( \partial^\mu \partial_\mu + m^2 ) \Omega^\alpha = 0$

Queste sono quattro equazioni disaccoppiate, e ognuna di esse è una equazione di Klein-Gordon, a cui devono soddisfare le quattro componenti del campo vettoriale $\Omega^\alpha$, con il vincolo aggiuntivo:

$\partial_\alpha \Omega^\alpha (x) = 0$

Quindi, per le particelle vettoriali massive questo vincolo riduce il numero di componenti indipendenti da quattro a tre.

Richiamo sulla Lagrangiana in teoria dei campi

In teoria dei campi, viene fatta una distinzione tra la Lagrangiana $\mathcal L$ il cui integrale nel tempo è l'azione

$\mathcal{S} = \int{\mathcal L \, \mathrm{d}t}$

e la densità di Lagrangiana $\mathcal{L}$, il cui integrale su tutto lo spazio tempo è l'azione

$\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}$

La Lagrangiana è quindi l'integrale spaziale della densità di Lagrangiana. Tuttavia $\mathcal{L}$ è spesso chiamata semplicemente Lagrangiana, specialmente nell'uso moderno.

Bibliografia

• Hermann Weyl (1952), Symmetry, Princeton University Press, 1952. ISBN 0691023743

• Pierre Curie (1894), Sur la symétrie dans les phénomenes physiques, symétrie d'un

champ eléctrique et d'un champ magnétique, Journal de Physique 3me serie 3, 393-415.

• Ernst Haeckel (1898-1904), Kunstformen der Natur, Lipsia, Verlag des

Bibliographischen Institut, ristampa Prestel Verlag, Monaco, 1998. Si trova anche in linea su questo sito

• István Hargittai e Magdolna Hargittai (1995), Symmetry Through the Eyes of a Chemist, 2^a

edizione, New York, Kluwer.

• István Hargittai e Magdolna Hargittai (2000), In Our Own Image, New York, Kluwer.

• Jenann, Ismael (2001), Essays on Symmetry, New York, Garland.

• Alan Holden (1971), Shapes, Space and Symmetry, New York, Columbia University Press, ristampa New York, Dover, 1991.

• Joe Rosen (1975), Symmetry Discovered, Londra, Cambridge University Press. Ristampa New York, Dover, 2000.

• Joe Rosen (1983), A Symmetry Primer for Scientists, New York, John Wiley & Sons.

• Alexei Vasil’evich Shubnikov e Vladimir Alexandrovich Koptsik (1974), Symmetry in

Science and Art, New York, Plenum Press.

Voci correlate

• Bosone vettore
• Bosone (fisica)
• Bosoni vettori assiali
• Lista delle particelle
• Matrici
• Meccanica lagrangiana
• Mesoni
• Pseudoscalare
• Teorema di Noether

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