Lunghezza di Planck

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La lunghezza di Planck, indicata con , è un'unità di misura della lunghezza, approssimativamente pari a 1,6 × 10^-35 metri. Fa parte di un sistema di unità di misura detto "Unità di misura di Planck"; può essere inoltre definita come "unità naturale", dal momento che viene ricavata a partire da tre costanti fisiche fondamentali: la velocità della luce, la costante di Planck e la costante di gravitazione universale.

Indice 1 Valore 1.1 Significato fisico 1.2 Lunghezza di Planck e teoria delle stringhe 1.3 Storia 1.4 Considerazioni 2 Note 3 Voci correlate 4 Collegamenti esterni

[modifica] Valore

La lunghezza di Planck è pari a

metri

dove:

• è la costante di Dirac, ovvero la costante di Planck divisa per 2π ;
• G è la costante di gravitazione universale;
• c è la velocità della luce nel vuoto.

Le due cifre tra parentesi indicano l'incertezza (la deviazione standard), cioè una stima di quanto possono variare le ultime due cifre significative della misura.

Nel Sistema Internazionale (SI), la lunghezza di Planck viene approssimata a 1,6 × 10^-35 metri. Il raggio dell' universo osservabile (4,4 × 10²⁶ metri, o 46 miliardi di anni luce) è pari a 2,7 × 10⁶¹ la lunghezza di Planck.

[modifica] Significato fisico

È possibile determinare il valore della lunghezza di Planck partendo soltanto da relazioni tra costanti fisiche, sulla sola scorta di considerazioni dimensionali, ma il suo significato fisico ne sarebbe accresciuto se la si riuscisse a collegare ad un esperimento, anche ideale (esperimento mentale).

Si supponga di voler misurare la posizione di un oggetto facendo collidere contro di esso una particella sonda opportunamente accelerata (elettrone, protone etc.). L’energia fornita alla particella è collegata alla lunghezza d’onda di de Broglie dalla relazione:

dove λ è la lunghezza d’onda di de Broglie della particella (v. Ipotesi di de Broglie), alla quale è associata una frequenza:

Facendo aumentare l’energia della particella diminuisce la lunghezza d'onda di de Broglie e, conseguentemente, più precisa sarà la misura. Questo procedimento, però, non può avanzare indefinitamente: se la particella ha energia sempre maggiore, minore sarà la lunghezza d'onda e si giungerà ad un punto dove l’energia in gioco è così alta che nell'interazione con l’oggetto può, in teoria, crearsi un minuscolo buco nero. ^[1]

E' possibile dimostrare che il limite suddetto coincide, a meno d'una costante numerica, con la lunghezza di Planck, ma prima di far questo occorre partire dal fatto che la particella sonda, come la luce, non riesce a risolvere particolari più piccoli della sua lunghezza d’onda ^[2]. Si darà una spiegazione di ciò attraverso un esperimento mentale che, pur riguardando oggetti macroscopici, rende l’idea e da motivazione al ragionamento utilizzato per determinare la lunghezza di Planck.

Due amici, Alan e Bob, decidono di cimentarsi in un bowling molto particolare: la partita si svolge su un grande campo quadrato, perfettamente liscio ed in piano, dove le bocce rotolano senza alcun attrito ed Alan in tutti i tiri imprime, a parità di diametro della boccia, la stessa quantità di moto. Le bocce sono perfettamente lisce, sferiche e fatte di materiale perfettamente omogeneo. Alan è su un bordo del campo ed è bendato, sa solo che deve effettuare il lancio nel semipiano davanti a lui. Bob sistema, davanti ad Alan, un lungo segmento di retta, parallelo al bordo di tiro, costituito da birilli di varie dimensioni, distribuite a caso. Anche i birilli sono ideali: tessere di materiale perfettamente omogeneo, di eguale altezza e spessore, ma con differente larghezza, inoltre, possono cadere solo in avanti e solo se toccati dalla boccia (un birillo non fa cadere, oscillando, quelli adiacenti). Il gioco si svolge nel modo seguente: sistemati i birilli, Bob dice ad Alan di effettuare il tiro e, una volta che l’ha effettuato, Bob evidenzia con un tratto continuo di gesso il “buco” lasciato nella parete di birilli, poi li rimuove tutti e va a sbendare Alan, il quale misura la lunghezza del segno lasciato da Bob, annotandola e, se decide di effettuare un altro tiro, Bob lo benderà di nuovo, preparerà il campo (mescolando a caso i birilli) e gli dirà di tirare. Lo scopo del gioco è, per Alan, stimare la dimensione del birillo più piccolo. Alan non conosce la dimensione dei birilli, sa solo che sono molto più leggeri delle bocce che ha a disposizione.

Da come è costruito il gioco, risulta evidente che, per quanti tiri faccia e per quanto complicate siano le sue deduzioni, Alan non riuscirà mai a dire se c’è un birillo più piccolo del diametro della più piccola boccia tirata.

Facendo i debiti parallelismi, la boccia è la particella sonda ed il suo diametro la lunghezza d’onda.

L’energia associata all’onda con la quale la particella sonda si muove in concordanza di fase (v. Ipotesi di de Broglie) è data dalla formula:

Dove è la frequenza. La lunghezza d'onda, invece, è data da:

.

L’evento di misura su descritto non dipende dall’orientazione dell’evento di collisione della particella sonda con l’oggetto: comunque sia orientata la traiettoria di collisione la particella non riuscirà mai a risolvere particolari più fini della sua lunghezza d’onda. Se ne deduce che il trasferimento della sua energia sull’oggetto (interazione) lo si può supporre confinato in un intorno sferico di raggio:

.

Si tratta di una assunzione dettata dall'analogia ed anche piuttosto grossolana, ma non errata se si tiene conto che si manifesta in molti casi. A titolo d'esempio, si tenga conto che il potere risolutivo di un microscopio (distanza minima alla quale due punti risultano distinti) dipende proprio dalla metà della lunghezza d'onda della radiazione utlizzata.

E' bene sottolineare (come rimarcato oltre) che questo non attribuisce assolutamente un raggio alla particella (che non esiste), ma rappresenta soltanto il volume spaziale entro il quale può essere idealmente localizzata la sua interazione con l’oggetto, dando anche la possibilità di stimare numericamente quanto si concentri l'energia nell'unità di volume.

Dopo questa indispensabile precisazione, si calcoli la densità di energia contenuta nel suddetto intorno sferico, che è data dal rapporto tra ed il volume V della sfera:

, dove il volume V è dato da :

Fatti i debiti calcoli si ottiene che:

Se la densità di energia contenuta nel suddetto intorno sferico fosse pari a quella contenuta in un buco nero di Schwarzschild con una massa equivalente all'energia trasportata che, secondo la famosa equazione di Einstein , è pari a:

la lunghezza d'onda che ne deriva dovrebbe rappresentare un limite invalicabile, supponendo, nel processo descritto, la contemporanea validità di meccanica quantistica e relatività generale). Va detto, però, che questa è una assunzione molto forte, anche perché l’unificazione delle teorie su citate (nota col nome di “gravità quantistica”) è assai difficile, con forti controversie nella comunità scientifica. Altrettanto forte, sempre per i motivi prima descritti, è la misura di quanto si concentri l'energia per unità di volume: si sta supponendo una lunghezza d'onda di de Broglie sempre più piccola e quindi una localizzazione sempre più fine dell'interazione particella-oggetto estrapolando il risultato fno alle estreme conseguenze, ma, di fatto, nessun esperimento s'è spinto fino a questo limite e ci sono varie interpretazioni teoriche (teoria delle stringhe, gravità quantistica a loop etc.) in attesa di verifiche sperimentali dirette o indirette.

A questo punto è doveroso chiarire che è solo dal riscontro dell'interazione della particella con l'oggetto (misura) che, secondo la meccanica quantistica, avviene il collasso della sua Funzione d'onda e si manifesta il risultato (nascita di un buco nero). Se ciò non avviene, nulla di certo può esser detto su ciò che la particella farà.

Anche secondo questa logica va interpretato il fatto che l'energia della particella può essere ritenuta come uniformemente agente entro una sfera di diametro pari alla sua lunghezza d'onda. In questo caso, la supposizione è fatta quando si sa a-posteriori che la particella ha ceduto la sua energia (cioè, è avvenuta una misura secondo i canoni della meccanica quantistica). Non ha, invece, assolutamente senso, sempre per la meccanica quantistica, affermare a-priori che la particella sia confinata entro un intorno sferico di diametro pari alla sua lunghezza d'onda.

Tornando ai calcoli, dopo queste doverose precisazioni, si passi a determinare il raggio di Schwarzschild, che è dato dalla formula:

dove M è la massa del buco nero e G è la costante di gravitazione universale il cui valore è:

Sostituendo nella formula del raggio di Schwarzschild la massa del buco nero con la massa equivalente all'energia della particella, cioè:

e sostituendo nella formula della densità di energia, , il volume V col volume della sfera di raggio pari a quello di Schwarzschild, si ottiene che:

Uguagliando le densità di energia ρ e ρ_S e semplificando si avrà:

.

Moltiplicando, poi, per h²ν², supponendo ν > 0:

dalla quale si ricava, estraendo la radice cubica:

cioè:

il cui reciproco, considerato che , è proprio la lunghezza di Planck (a parte il termine 8π):

Va fatta, a questo punto, una considerazione: la frequenza ν che rende uguali le densità e non ha dimensioni [T] ^{− 1}, bensì [L] ^{− 1}. Non è molto corrispondente al senso comune misurare il tempo in metri anziché in secondi, ma non è scorretto, se si assume che l'unità di tempo sia quella impiegata dalla luce nel vuoto per percorrere la lunghezza di un metro.

Tale principio è applicato frequentemente nella relatività generale di Einstein, dove per avere omogeneità di calcolo tra le tre dimensioni spaziali e quella temporale dello spazio-tempo, anche quest'ultima è misurata in unità di lunghezza (anzi, per semplificare i calcoli, si sceglie l'unità di lunghezza-tempo in modo appropriato affinché la velocità della luce nel vuoto sia pari ad 1).

In conclusione, attraverso considerazioni di tipo fisico, partendo da un esperimento ideale si è potuta determinare, a meno di un fattore 8π, la lunghezza di Planck. Ciò fortifica il significato fisico di questa unità fondamentale e mette in evidenza l'intimo collegamento tra la meccanica quantistica e la relatività generale. L'esempio, infatti, si basa sia sull'una che sull'altra (Raggio di Schwarzschild, dalla relatività generale di Einstein e Principio di indeterminazione di Heisenberg, caposaldo della meccanica quantistica). Insieme, queste due teorie implicano che è impossibile misurare la posizione di un oggetto con precisione minore della lunghezza di Planck.

[modifica] Lunghezza di Planck e teoria delle stringhe

Nell'ambito della teoria delle stringhe, la lunghezza di Planck gioca un ruolo fondamentale: è infatti definita come il diametro minimo possibile di una stringa; il corollario più importante a questo postulato è che qualsiasi entità di lunghezza inferiore alla lunghezza di Planck non possiede alcun significato fisico.

[modifica] Storia

Max Planck per primo propose di inserire la lunghezza che porta il suo nome in un sistema di unità di misura che chiamò "unità naturali": per la loro stessa definizione, infatti, la lunghezza di Planck, il tempo di Planck e la massa di Planck sono ricavate in modo tale che le costanti in esse contenute (c, G e ) scompaiano se inserite nelle equazioni fisiche. Benché la meccanica quantistica e la relatività generale fossero ignote al tempo in cui Planck propose queste unità di misura, divenne in seguito chiaro che a distanze paragonabili alla lunghezza di Planck la gravità manifesta degli effetti quantistici, la cui spiegazione e comprensione richiede una teoria sulla gravità quantistica.

[modifica] Considerazioni

Ad oggi non si dispone di una teoria soddisfacente sulla gravità quantistica, anche se ci sono molte proposte e svariati studi sull'argomento (teoria delle stringhe, supersimmetria, supergravità, dimensioni nascoste della teoria di Kaluza-Klein, etc.). L'associare le unità della scala di Planck a fatti sperimentali non solo dà valore epistemologico alle unità suddette, ma lascia anche intravedere i limiti delle attuali teorie (spinte a fornire risultati in condizioni estreme) e, anche se come ombre in una fitta nebbia, le strade da seguire.

A titolo d'esempio, per calcolare la lunghezza di Planck e la temperatura di Planck si è ricorso alle attuali equazioni senza richiedere nulla sulla natura della materia sulla quale vanno a scontrarsi particelle così energetiche o su come si ripiega lo spazio compresso, per effetto della gravità, in situazioni così estreme.

[modifica] Note

1. ^ "Le Scienze" n. 442/2005, "Buchi neri in laboratorio", Steven Carr e Steven B. Giddings
2. ^ Richard Feynman – “La fisica di Feynman – 3 – Meccanica quantisica”, Zanichelli, Cap. 1, p. 11

[modifica] Voci correlate

• Unità di misura di Planck
• Scala di Planck

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) John Baez, "Higher-Dimensional Algebra and Planck-Scale Physics: The Planck Length."
• (EN) John Baez, "The Planck Length."

Unità di misura

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