Unità di misura di Planck

In fisica, le unità di misura di Planck sono unità di misura fisiche proposte dal premio Nobel tedesco Max Planck. Costituiscono un sistema di unità naturali (e sono spesso così identificate) giacché esse sono definite esclusivamente in termini di costanti fisiche universali e dimensionali quali quelle che seguono; le unità sono naturali perché il valore numerico di queste cinque costanti diventa 1 qualora espresso in unità di questo sistema.

Costante	Simbolo	Valore	Dimensioni fisiche
Velocità della luce nel vuoto	${ c } \$	$299792458 \text{ m s}^{-1}$	L T-1
Costante gravitazionale	${ G } \$	$6.67384 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2}$	M-1L3T-2
"Costante di Planck ridotta" o costante di Dirac	$\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ dove ${h} \$ è la costante di Planck	$1.054571726 \times 10^{-34} \text{ J s}$	ML2T-1
Costante della forza di Coulomb	$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ dove ${ \varepsilon_0 } \$ è la costante dielettrica nel vuoto	$8.854 187 817 \times 10^{-12} \text{F m}^{-1}$	Q-2 M L3 T-2
Costante di Boltzmann	${ k } \$	$1.380 6488 \times 10^{-23} \text{J K}{-1}$	ML2T-2Θ-1

Le unità di Planck sono spesso descritte ironicamente dai fisici quali le "unità di Dio". Esse eliminano infatti l'antropocentrico arbitrio del sistema delle unità: alcuni fisici credono che eventuali intelligenze extraterrestri potrebbero far uso dello stesso sistema.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a risolvere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

« ...Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo... »

(Physics Today, giugno 2001)

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base ad una quantità fisica, la carica elettrica, diversa dalla gravità, la massa, così che non sia possibile una diretta comparazione con la stessa. Notare che la gravità è una forza estremamente debole ed è, dal punto di vista delle unità naturali, come paragonare mele ad arance. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni (soli nello spazio) bissa la forza gravitazionale tra gli stessi, ma ciò è dovuto al fatto che la carica dei protoni è circa l'unità naturale della carica, ma la massa del protone è ben distante dall'unità naturale della massa.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione. Per questo motivo, sono molto usate nella ricerca nella teoria dei quanti.

Le principali equazioni fisiche usando le unità naturali

Nome	Equazione	In unità di Planck
Legge di gravitazione universale di Newton	$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$	$F = \frac{m_1 m_2}{r^2}$
Equazione di Schrödinger	$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$	$- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$
Energia di un fotone o di una particella d'impulso ${ \omega } \$	${ E = \hbar \omega } \$	${ E = \omega } \$
La celebre formula E=mc2 di Einstein	${ E = m c^2} \$	${ E = m } \$
Equazione del campo gravitazionale di Einstein (Relatività generale)	${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \$	${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \$
Definizione della temperatura per l’energia d’una particella per grado di libertà	${ E = \frac{1}{2} k T } \$	${ E = \frac{1}{2} T } \$
Legge di Coulomb	$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$	$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$
Formula dell'entropia di Boltzmann	${ S = k_B \ln \Omega } \$	${ S = \ln \Omega } \$
Legge di Planck (intensità di superficie per unità d'angolo solido per unità di frequenza angolare) per un corpo nero a temperatura T.	$I(\omega,T) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}}-1}$	$I(\omega,T) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/T}-1}$
Costante di Stefan-Boltzmann	$\sigma = \frac{\pi^2 k_B^4}{60 \hbar^3 c^2}$	$\ \sigma = \pi^2/60$
Forma di Hamilton dell'Equazione di Schrödinger	$H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t$	$H \left| \psi_t \right\rangle = i \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t$
Forma covariante dell'Equazione di Dirac	$\ ( \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - imc) \psi = 0$	$\ ( \gamma^\mu \partial_\mu - im) \psi = 0$
Entropia dei buchi neri di Bekenstein-Hawking	$S_{BH} = \frac{A_{BH} k_B c^3}{4 G \hbar} = \frac{2\pi m^2_{BH} k_B G}{\hbar c}$	$S_{BH} = A_{BH}/4 = 4\pi m^2_{BH}$
Equazioni di Maxwell	$\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac {\rho} {\varepsilon_0}$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$	$\nabla \cdot \mathbf{E}= 4\pi{\rho}$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\nabla \times \mathbf{B} = 4\pi\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$

Unità di Planck: unità fondamentali

Dimensione	Formula		Valore nel Sistema Internazionale
Lunghezza di Planck	Lunghezza (L)	$l_{p}= \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\;$	1,616 252(81) × 10-35 m
Massa di Planck	Massa (M)	$m_{p} = \sqrt{\frac{c\hbar}{G}}\;$	2,176 44(11) × 10-8 kg
Tempo di Planck	Tempo (T)	$t_{p} = \frac{l_{p}}{c} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\;$	5,391 24(27) × 10-44 s
Temperatura di Planck	temperatura (ML2T-2/k)	$T_{p} = \frac{m_{p} c^2}{k} = \frac{\sqrt{c^5 \frac{\hbar}{G}}}{k}$	1,416 785(71) × 1032 K
Carica di Planck	Carica elettrica (Q)	$q_p = \sqrt{c \hbar 4 \pi \varepsilon_0 }\;$	1,875 545 870 × 10-18 C

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

$c = \frac{l_P}{t_P}$

$\hbar \ = \frac{m_Pl^2_P}{t_P}$

$G = \frac{l^3_P}{m_Pt^2_P}$

Unità di Planck: unità derivate

Dimensione	Formula	Valore, nel Sistema SI
Forza di Planck	Forza (MLT-2)	$F_p = \frac{m_p l_p}{t_p^2} = \frac{c^4}{G}\;$	1,21027 × 1044 N
Energia di Planck	Energia (ML2T-2)	$E_p = F_p l_p = c^2\sqrt{\frac{c \hbar}{G}}$	1019 GeV = 1,9561 × 109 J
Potenza di Planck	Potenza (ML2T-3)	$P_p = \frac{E_p}{t_p} = \frac{c^5}{G}\;$	3,62831 × 1052 W
Densità di Planck	Densità (ML-3)	$\rho_p = \frac{m_p}{l_p^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}\;$	5,15500 × 1096 kg/m³
Frequenza angolare di Planck	Frequenza (T-1)	$\omega_p = \frac{1}{t_p} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}\;$	1,85487 × 1043 /s
Pressione di Planck	pressione (ML-1T-2)	$p_p = \frac{F_p}{l_p^2} = \frac{c^{7}}{\hbar G^2}\;$	4,63309 × 10113 Pa
Corrente di Planck	Corrente elettrica (QT-1)	$I_p = \frac{q_p}{t_p} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \varepsilon_0}{G}}\;$	3,4789 × 1025 A
Tensione di Planck	Tensione (ML2T-2Q-1)	$V_p = \frac{E_p}{q_p} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0}}\;$	1,04295 × 1027 V
Resistenza di Planck	Resistenza elettrica (ML2T-1Q-2)	$Z_p = \frac{V_p}{I_p} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}\;$	29,9792458 Ω
Area di Planck	Area (L2)	$l_P^2 = \frac{\hbar G}{c^3}$	2,61223 × 10−70 m²
Volume di Planck	Volume (L3)	$l_P^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}}$	4,22419 × 10−105 m³
Quantità di moto di Planck	Quantità di moto (LMT−1)	$m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}}$	6,52485 kg·m/s

Discussione

Alle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale ${G} \$ (che ha un'incertezza di 1 su 7000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere

$e = \sqrt{\alpha} \ q_P = 0,085424543 \ q_P \,$

dove ${\alpha} \$ è la costante di struttura fine

$\alpha =\left ( \frac{e}{q_P} \right )^2 = \frac{e^2}{\hbar c 4 \pi \varepsilon_0} = \frac{1}{137,03599911}$

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a $\sqrt{\alpha}$), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a ${\alpha}$.

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, $Z_0 \$, divisa per 4π. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, $1/(4 \pi \varepsilon_0)$, è normalizzata a 1 nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità cgs, invece che porre a 1 la permittività del vuoto $\varepsilon_0 \$. Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale $G \$ è normalizzata a 1 (invece che 4πG o 8πG o 16πG), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

Voci correlate

• Unità di misura
• Unità naturali

Note

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