Unità di misura di Planck

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In fisica, le unità di misura di Planck sono unità di misura fisiche proposte dal premio Nobel tedesco Max Planck. Costituiscono un sistema di unità naturali (e sono spesso così identificate) giacché esse sono definite esclusivamente in termini di costanti fisiche universali e dimensionali quali quelle che seguono; le unità sono naturali perché il valore numerico di queste cinque costanti diventa 1 qualora espresso in unità di questo sistema.


Costante Simbolo Valore Dimensioni fisiche
Velocità della luce nel vuoto { c } \  299 \, 792 \, 458 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}[1] L T-1
Costante gravitazionale { G } \  6{,}673 \, 84 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} [2] M-1L3T-2
"Costante di Planck ridotta" o costante di Dirac \hbar=\frac{h}{2 \pi} dove {h} \ è la costante di Planck  1{,}054 \, 571 \, 726 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s} [3] ML2T-1
Costante della forza di Coulomb  \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} dove { \varepsilon_0 } \ è la costante dielettrica nel vuoto  8{,}987\,551\,787\,368\,1764 \times 10^{9} \, \text{kg} \cdot \text{m}^{3} \cdot \text{s}^{-2} \cdot \text{C}^{-2}[4] M L3 T-2 Q-2
Costante di Boltzmann { k } \  1{,}380 \, 6488 \times 10^{-23} \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1}[5] ML2T-2Θ-1


Le unità di Planck sono spesso descritte ironicamente dai fisici quali le "unità di Dio". Esse eliminano infatti l'antropocentrico arbitrio del sistema delle unità: alcuni fisici credono che eventuali intelligenze extraterrestri potrebbero far uso dello stesso sistema.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a risolvere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

« ...Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo...[6] »
(Physics Today, giugno 2001)

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base ad una quantità fisica, la carica elettrica, diversa dalla gravità, la massa, così che non sia possibile una diretta comparazione con la stessa. Notare che la gravità è una forza estremamente debole ed è, dal punto di vista delle unità naturali, come paragonare mele ad arance. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni (soli nello spazio) bissa la forza gravitazionale tra gli stessi, ma ciò è dovuto al fatto che la carica dei protoni è circa l'unità naturale della carica, ma la massa del protone è ben distante dall'unità naturale della massa.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione. Per questo motivo, sono molto usate nella ricerca nella teoria dei quanti.

Le principali equazioni fisiche usando le unità naturali[modifica | modifica wikitesto]

Nome Equazione In unità di Planck
Legge di gravitazione universale di Newton  F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}  F = \frac{m_1 m_2}{r^2}
Equazione di Schrödinger - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t) 
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
Energia di un fotone o di una particella d'impulso { \omega } \ { E = \hbar \omega } \ { E = \omega } \
La celebre formula E=mc2 di Einstein { E = m c^2} \ { E = m } \
Equazione del campo gravitazionale di Einstein (Relatività generale) { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \
Definizione della temperatura per l’energia d’una particella per grado di libertà { E = \frac{1}{2} k T } \ { E = \frac{1}{2} T } \
Legge di Coulomb  F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}  F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
Formula dell'entropia di Boltzmann { S = k_B \ln \Omega } \ { S = \ln \Omega } \
Legge di Planck (intensità di superficie per unità d'angolo solido per unità di frequenza angolare) per un corpo nero a temperatura T.  I(\omega,T) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}}-1}  I(\omega,T) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/T}-1}
Costante di Stefan-Boltzmann  \sigma =  \frac{\pi^2 k_B^4}{60 \hbar^3 c^2} \ \sigma = \pi^2/60
Forma di Hamilton dell'Equazione di Schrödinger  H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t  H \left| \psi_t \right\rangle = i \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t
Forma covariante dell'Equazione di Dirac \ ( \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - imc) \psi = 0 \ ( \gamma^\mu \partial_\mu - im) \psi = 0
Entropia dei buchi neri di Bekenstein-Hawking S_{BH} = \frac{A_{BH} k_B c^3}{4 G \hbar} = \frac{2\pi m^2_{BH} k_B G}{\hbar c} S_{BH} = A_{BH}/4 = 4\pi m^2_{BH}
Equazioni di Maxwell
  • \nabla \cdot \mathbf{E}= \frac {\rho} {\varepsilon_0}
  • \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
  • \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
  • \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\
  • \nabla \cdot \mathbf{E}= 4\pi{\rho}
  • \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
  • \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
  • \nabla \times \mathbf{B} = 4\pi\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\

Unità di Planck: unità fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Dimensione Formula Valore nel Sistema Internazionale[7]
Lunghezza di Planck Lunghezza (L) l_{p}= \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\; 1,616 252(81) × 10-35 m
Massa di Planck Massa (M) m_{p} = \sqrt{\frac{c\hbar}{G}}\; 2,176 44(11) × 10-8 kg
Tempo di Planck Tempo (T) t_{p} = \frac{l_{p}}{c} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\; 5,391 24(27) × 10-44 s
Temperatura di Planck temperatura (Θ) T_{p} = \frac{m_{p} c^2}{k} = \frac{\sqrt{c^5 \frac{\hbar}{G}}}{k} 1,416 785(71) × 1032 K
Carica di Planck Carica elettrica (Q) q_p = \sqrt{c \hbar 4 \pi \varepsilon_0 }\; 1,875 545 870 × 10-18 C

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

c = \frac{l_P}{t_P}

\hbar \ = \frac{m_Pl^2_P}{t_P}

G = \frac{l^3_P}{m_Pt^2_P}

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (per esempio nella teoria della gravitazione c'è la costante di Newton { G } \ , nell'elettrostatica la costante di Coulomb  \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} , nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce { c } \ , nella termodinamica la costante di Boltzmann { k } \ e nella meccanica quantistica la costante di Planck \hbar=\frac{h}{2 \pi}) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario [8]. E ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi se si utilizza come sistema di misura, per esempio, il Sistema Internazionale, abbreviato in SI, oppure il Sistema cgs. Le unità di Planck costituiscono però i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa  \text{10}^{-43} secondi, la lunghezza di Planck, è  \text{10}^{20} volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a  \text{10}^{19} protoni, e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è \text{12} volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa  \text{10}^{30} gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni della lunghezza di Planck. [9]

Unità di Planck: unità derivate[modifica | modifica wikitesto]

Dimensione Formula Valore, nel Sistema SI
Forza di Planck Forza (MLT-2) F_p = \frac{m_p l_p}{t_p^2} = \frac{c^4}{G}\; 1,21027 × 1044 N
Energia di Planck Energia (ML2T-2) E_p = F_p l_p = c^2\sqrt{\frac{c \hbar}{G}} 1019 GeV = 1,9561 × 109 J
Potenza di Planck Potenza (ML2T-3) P_p = \frac{E_p}{t_p} = \frac{c^5}{G}\; 3,62831 × 1052 W
Densità di Planck Densità (ML-3) \rho_p = \frac{m_p}{l_p^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}\; 5,15500 × 1096 kg/m³
Frequenza angolare di Planck Frequenza (T-1) \omega_p = \frac{1}{t_p} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}\; 1,85487 × 1043 Hz
Pressione di Planck pressione (ML-1T-2) p_p = \frac{F_p}{l_p^2} = \frac{c^{7}}{\hbar G^2}\; 4,63309 × 10113 Pa
Corrente di Planck Corrente elettrica (QT-1) I_p = \frac{q_p}{t_p} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \varepsilon_0}{G}}\; 3,4789 × 1025 A
Tensione di Planck Tensione (ML2T-2Q-1) V_p = \frac{E_p}{q_p} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0}}\; 1,04295 × 1027 V
Resistenza di Planck Resistenza elettrica (ML2T-1Q-2) Z_p = \frac{V_p}{I_p} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}\; 29,9792458 Ω
Area di Planck Area (L2)  l_P^2 = \frac{\hbar G}{c^3} 2,61223 × 10−70 
Volume di Planck Volume (L3)  l_P^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}} 4,22419 × 10−105 
Quantità di moto di Planck Quantità di moto (LMT−1) m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} 6,52485 kg·m/s

Discussione[modifica | modifica wikitesto]

Alle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale {G} \ (che ha un'incertezza di 1 su 7000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni.[10].[11].[12]. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere

e = \sqrt{\alpha} \ q_P = 0,085424543 \ q_P \,

dove  {\alpha} \ è la costante di struttura fine

 \alpha =\left ( \frac{e}{q_P} \right )^2 = \frac{e^2}{\hbar c 4 \pi \varepsilon_0} = \frac{1}{137,03599911}

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a \sqrt{\alpha}), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a {\alpha}.

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, Z_0 \ , divisa per 4π. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, 1/(4 \pi \varepsilon_0), è normalizzata a 1 nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità cgs, invece che porre a 1 la permittività del vuoto \varepsilon_0 \ . Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale G \ è normalizzata a 1 (invece che 4πG o 8πG o 16πG), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.


Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ CODATA Value: speed of light in vacuum
  2. ^ CODATA Value: Newtonian constant of gravitation
  3. ^ CODATA Value: Planck constant over 2 pi
  4. ^ CODATA Value: electric constant
  5. ^ CODATA Value: Boltzmann constant
  6. ^ giugno 2001 da "Physics Today"
  7. ^ Valori presi da The NIST Reference
  8. ^ cioè definire le costanti fondamentali in funzione delle unità di lunghezza (metro,  \text{m} ), tempo (secondo, \text{s}), massa (chilogrammo, \text{Kg}), carica (coulomb, \text{C}), temperatura (kelvin, \text{K}) ed energia (joule, \text{J}).
  9. ^ modificato da Il matematico impertinente di Piergiorgio Odifreddi sul numero 553 Settembre 2014 di Le Scienze, edizione italiana di Scientific American
  10. ^ [Teoria dello Spazio Quantizzato - Data registr. 21/9/1994 N. 344146 prot. 4646 c/o la Presid. del Consiglio dei Ministri - Dipart. Informazione ed Editoria]
  11. ^ Comment on time-variation of fundamental constants
  12. ^ Unificazione elettromagnetica concezione elettronica dello spazio dell'energia e della materia