Dipolo elettrico

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Linee di forza del campo elettrico generato da un dipolo elettrico.
Un dipolo

In elettrostatica un dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno e separate da una distanza costante nel tempo.[1] È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta l'approssimazione basilare del campo elettrico generato da un insieme di cariche globalmente neutro, trattandosi del primo termine dello sviluppo in multipoli di quest'ultimo.

Momento elettrico[modifica | modifica sorgente]

Dato un sistema di cariche, il momento elettrico, o momento di dipolo, è una grandezza vettoriale che quantifica la separazione tra le cariche positive e negative, ovvero la polarità del sistema, e si misura in Coulomb per metro.

Date due cariche di segno opposto e uguale modulo q, il momento elettrico \mathbf{p} è definito come:[1]

  \mathbf{p} = q\mathbf{d}

dove \mathbf d è il vettore spostamento dell'uno rispetto all'altro, orientato dalla carica negativa alla carica positiva e per il quale deve valere:

\dot \mathbf{d} = \mathbf 0

Questa notazione significa che la derivata del vettore \mathbf d rispetto al tempo deve essere nulla, cioè il vettore \mathbf d si mantiene costante (in modulo, direzione e verso) nel tempo. Nel caso di una distribuzione continua di carica che occupa un volume V, l'espressione per il momento elettrico è:

\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \int\limits_{V} \rho(\mathbf{r}_0)\, (\mathbf{r}_0-\mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0

dove \mathbf r è la posizione di osservazione, d^3 \mathbf r_0 l'elemento infinitesimo di volume in V e \rho è la densità volumetrica di carica, misurata in C m-3. Quindi \rho(\mathbf{r}_0) è la quantità di carica contenuta nel volume infinitesimo \ d^3 \mathbf{r}_0 centrato nel punto \mathbf{r}_0.

Per una distribuzione discreta di carica la densità di carica viene descritta attraverso la delta di Dirac:

 \rho (\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)

dove \mathbf r_i è la posizione della carica q_i, ed integrando sul volume si ha:

\mathbf{p}(\mathbf{r}) = \int\limits_{V} \sum_{i=1}^N \, q_i \, \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r}_i) \, (\mathbf{r}_0-\mathbf{r})  \ d^3 \mathbf{r}_0 = \sum_{i=1}^N \, q_i \left( \int\limits_V \delta(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_i )\, (\mathbf{r}_0 - \mathbf{r}) \ d^3 \mathbf{r}_0 \right) = \sum_{i=1}^N \, q_i (\mathbf{r}_i-\mathbf{r})

Potenziale elettrico[modifica | modifica sorgente]

Schematizzazione del potenziale elettrico generato da un dipolo orientato orizzontalmente.
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi potenziale elettrico.

Il potenziale elettrico di una carica è:

V_0 (P) = \frac {q}{4 \pi \varepsilon_0 \left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|}

Dove con \mathbf r si è indicato il vettore posizione della carica puntiforme q rispetto al sistema di riferimento scelto e con \mathbf r' il vettore posizione della carica di prova.
È semplice, quindi, calcolare il potenziale generato dal sistema delle due cariche (di segno opposto), come somma dei potenziali delle singole cariche:

V_0 (P) = \frac {q}{4 \pi \varepsilon_0} \left ( \frac {1}{r_1} - \frac {1}{r_2} \right )

Per r >> d si possono utilizzare le semplici approssimazioni:

r_1 \cdot r_2 \simeq r^2 \qquad r_2 - r_1 = d \cos \theta

si ottiene alla fine un potenziale di dipolo che ha la seguente espressione:

V_0 (P) = \frac {q d \cos \theta} {4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac {\mathbf p \cdot \mathbf r}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}

dove \varepsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto e:

\mathbf p \cdot \mathbf r = p \cdot r \cos \theta

Il potenziale risulta essere nullo sull'asse del dipolo e diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza. Da notare che le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando d << r.

Campo elettrico[modifica | modifica sorgente]

Ricordando la conservatività del campo elettrostatico tramite:

\mathbf E_0 = - \mathbf \nabla V_0

possiamo ricavare il campo elettrico in coordinate polari sferiche oppure in coordinate cartesiane (il dipolo è orientato secondo l'asse z):[2]

\begin{cases} E_{0r} = - \frac {\partial V_0}{\partial r} =  \frac {2p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \\ \\ E_{0\theta} = - \frac {1}{r} \frac {\partial V_0}{\partial \theta} = \frac {p \sin \theta} {4\pi \varepsilon_0 r^3} \\ \\  E_{0\phi} = - \frac {1}{r\sin \theta} \frac {\partial V_0}{\partial \phi} = 0 \end{cases}
 \qquad \qquad
\begin{cases}  E_{0x} = - \frac {\partial V_0}{\partial x} =  \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {3xz}{r^5} \\ \\  E_{0y} = - \frac {\partial V_0}{\partial y} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {3yz}{r^5} \\ \\  E_{0z} = - \frac {\partial V_0}{\partial z} = \frac {p} {4\pi \varepsilon_0}\left[ \frac {3z^2}{r^5} -\frac{1}{r^3}\right]= \frac{p}{4\pi \varepsilon_0} \frac{3z^2-r^2}{r^5}\end{cases}

con intensità pari a:

|\mathbf E_0(r,\phi,\psi)| = |\mathbf E_0(x,y,z)|=\frac {p\sqrt{1+3\cos^2 \theta}}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}=\frac {p \sqrt{(x^2+y^2+z^2)^{2} +3z^2(x^2+y^2+z^2)}}{4 \pi \varepsilon_0 r^5}.

Si può ancora scrivere il campo come gradiente del prodotto tra il momento elettrico e il versore della distanza ridotto del quadrato della stessa. Il calcolo di tale quantità porta alla seguente espressione, più compatta:

\mathbf E = \frac {3 \left ( \mathbf p \cdot \mathbf r \right ) \mathbf r - r^2 \mathbf p}{4 \pi \varepsilon_0 r^5}

Energia potenziale elettrostatica[modifica | modifica sorgente]

Se un dipolo è sottoposto a forze in un campo elettrico esterno qualunque, l'energia potenziale elettrostatica del dipolo è data dalla differenza di potenziale tra le due cariche, supposte come al solito molto vicine:[3]

U = q \left[V(x+dx,y+dy,z+dz) - V(x,y,z) \right] = q \left[ V(x,y,z) + \mathbf \nabla V \cdot \mathbf{\mbox{d}\delta} - V(x,y,z) \right] = q\mathbf{\mbox{d}\delta} \cdot \mathbf \nabla V(x,y,z)=-\mathbf p \cdot \mathbf E(x,y,z)

dove \mathbf{\mbox{d}\delta} = (dx,dy,dz) e \mathbf p=q \mathbf{\mbox {d} \delta} è il momento elettrico del dipolo. Esplicitando il prodotto scalare:

U=-pE \cos \theta

con \theta che rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.

Forze agenti su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno

Dinamica[modifica | modifica sorgente]

Il lavoro della coppia elettrica vale:

\mbox {d}L=\mathbf F \cdot \mbox {d} \mathbf r + \mathbf M \cdot \mathbf{\mbox {d} \boldsymbol \theta}

D'altro canto, differenziando l'energia del dipolo:

\mbox {d}U= \frac{\partial U}{\partial \mathbf r} \cdot \mathbf{\mbox {d}r}+\frac{\partial U}{\partial \theta}\mbox {d} \theta =\mathbf \nabla U \cdot \mathbf{\mbox {d} (r,\theta)}

dove si è fatto uso della derivata direzionale poiché per definizione l'energia potenziale appartiene alla prima classe di continuità. A questo punto si possono confrontare le due espressioni precedenti in particolare per il campo elettrico e, tenendo presente che il gradiente agisce solo sulle coordinate x,y,z e la dipendenza da \theta è contenuta solo nel prodotto scalare:[4]

\mathbf F=- \mathbf \nabla U= \nabla (\mathbf p \cdot \mathbf E) \qquad \mathbf M= \mathbf p \times \mathbf E

Siano, ora, due dipoli \mu_1 e \mu_2 che formano con la loro congiungente un angolo rispettivamente di \theta_1 e \theta_2. L'energia potenziale elettrica sarà

U = \frac {\mu_1 \mu_2}{r^3} \left ( 2 cos \theta_1 \cdot cos \theta_2 - sin \theta_1 \cdot sin \theta_2 \cdot cos \varphi \right )

dove \varphi è l'azimut di \mu_2 rispetto al piano \mu_1-r.

Radiazione di dipolo oscillante[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Radiazione di dipolo elettrico.

Un dipolo elettrico oscillante è un dipolo che ha polarizzazione elettrica dipendente periodicamente dal tempo, che può essere descritto da serie di Fourier formate da fattori della forma:

\mathbf{p}=\mathbf{p'(\mathbf r)}e^{-i\omega t}

dove \omega è la frequenza angolare. Nel vuoto i campi prodotti sono:

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left\{ \frac{\omega^2}{c^2 r}
( \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p} ) \times \hat{\mathbf{r}}
+ \left( \frac{1}{r^3} - \frac{i\omega}{cr^2} \right) \left[ 3 \hat{\mathbf{r}} (\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{p}) - \mathbf{p} \right]  \right\} e^{i\omega r/c}
\mathbf{B} = \frac{\omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3} \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p} \left( 1 - \frac{c}{i\omega r} \right) \frac{e^{i\omega r/c}}{r}

In una posizione distante dal dipolo, per \scriptstyle r \omega /c \gg 1, i campi tendono a formare un'onda sferica nella configurazione limite:

\mathbf{B} = \frac{\omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3} (\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p}) \frac{e^{i\omega r/c}}{r} \qquad \mathbf{E} = c \mathbf{B} \times \hat{\mathbf{r}}

che produce una potenza totale, mediata nel tempo, data da:

P = \frac{\omega^4}{12\pi\varepsilon_0 c^3} |\mathbf{p}|^2

L'energia associata alla radiazione emessa non viene distribuita in modo isotropo, essendo concentrata intorno alla direzione perpendicolare al momento di dipolo, e tale equazione viene spesso descritta tramite l'utilizzo delle armoniche sferiche.

Il campo elettromagnetico associato al dipolo oscillante è alla base di numerose applicazioni tecnologiche, a partire dall'antenna a dipolo.

Molecole[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Dipolo molecolare.

In chimica il momento elettrico di una molecola si riferisce alla somma vettoriale di tutti i momenti di legame presenti nella molecola stessa. Una molecola non polare possiede momento elettrico uguale a zero: questo è il caso, ad esempio, del metano o del biossido di carbonio le cui strutture geometriche (rispettivamente tetraedrica e lineare) annullano l'effetto dei singoli momenti dipolari di legame (il risultante è nullo). Legami omogenei, come quelli tra due atomi di cloro per formare una molecola Cl2, non sono polari, essendo la differenza di elettronegatività nulla, e quindi non originano un momento elettrico. Comunemente si orienta il vettore momento elettrico delle entità chimiche con il verso rivolto verso la carica negativa, che corrisponde all'elemento più elettronegativo.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 42
  2. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 43
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 46
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 47

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

elettromagnetismo Portale Elettromagnetismo: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di elettromagnetismo