Equazioni di Friedmann

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Le equazioni di Fridman, sviluppate nel 1922,[1] sono le equazioni del campo di Einstein applicate al sistema-universo una volta che si sia ipotizzato il principio cosmologico. L'ipotesi del principio cosmologico porta direttamente all'elemento di linea FLRW:

 ds^2=dt^2-a(t)dl^2 \

dove  dl^2 è l'elemento di linea di una varietà tridimensionale space-like.

Il fattore di scala a(t) è l'unico grado di libertà che rimane a seguito della (forte) richiesta del principio cosmologico e contiene informazioni sulla dinamica dell'universo su larga scala. L'espressione delle equazioni di Friedmann è:

 3\frac{\dot a^2+k}{a^2}=8\pi G\varepsilon,
\frac{2a\dot a+\dot a^2+k}{a^2}=-8\pi Gp,

dove:

  • k è il parametro di curvatura: k=-1 universo aperto (geometria iperbolica), k=0 universo piatto (geometria euclidea), k=+1 universo chiuso (geometria ipersferica),
  • \varepsilon è la densità di energia del fluido cosmico (il fluido cioè che, su larga scala, "abita" l'universo),
  • p è la pressione del fluido cosmico,
  • G è la costante di gravitazione universale di Newton

e dove si è sottinteso che si sta lavorando in unità della velocità della luce (cioè c=1)

Molto spesso in vece della seconda equazione si preferisce utilizzare la conservazione dell'energia che per l'universo (essendo evidentemente un sistema isolato) risulta

d\varepsilon=-(\varepsilon+p)\frac{dV}{V},

dove va ricordato che \varepsilon=E/V. Risulta opportuno procedere ulteriormente notando che V è proporzionale a a^3 per cui la conservazione dell'energia diventa

\dot\varepsilon=-3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon+p)

Le due equazioni indipendenti

 3\frac{\dot a^2+k}{a^2}=8\pi G\varepsilon,
\dot\varepsilon=-3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon+p),

permettono di ricavare l'andamento dell'universo (cioè a(t)) una volta ipotizzata una certa equazione di stato p=p(\varepsilon) per il fluido cosmico.

I calcoli fatti dallo stesso Friedmann partivano dall'ipotesi  p=0 , valida con ottima approssimazione per le galassie ossia per tutta la materia barionica (escludendo cioè la materia oscura e l'energia oscura).

I modelli di universo a cui giunse Friedmann, noti appunto come modelli di Friedmann, sono tre, uno per ogni valore di k: quelli per k=0,-1 corrispondono ad un universo che nasce in a=0 (è il Big Bang) e va verso un'espansione indefinita rallentando sempre di più ma senza mai fermarsi, il modello con k=+1 invece - pur nascendo sempre in a=0 - dopo un fase iniziale di espansione, inizierebbe a contrarsi fino a morire in maniera simile a come era nato, cioè per a=0 (è il Big Crunch).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A Fridman, Über die Krümmung des Raumes in Z. Phys., vol. 10, n. 1, 1922, pp. 377–386. Bibcode:1922ZPhy...10..377F, DOI:10.1007/BF01332580. (English translation in: A Friedman, On the Curvature of Space in General Relativity and Gravitation, vol. 31, n. 12, 1999, pp. 1991–2000. Bibcode:1999GReGr..31.1991F, DOI:10.1023/A:1026751225741. )

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • L. Landau, E. Lifšits "Teoria dei Campi", Fisica Teorica:volume 2, Editori Riuniti (III edizione 2004),
  • (EN) C. Misner, K. Thorne, J.A. Wheeler "Gravitation", Freeman And Company (1970)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]