Equazioni di Friedmann

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Le equazioni di Fridman, sviluppate nel 1922,[1] sono le equazioni del campo di Einstein applicate al sistema-universo una volta che si sia ipotizzato il principio cosmologico. L'ipotesi del principio cosmologico porta direttamente all'elemento di linea FLRW:

 ds^2=dt^2-a(t)dl^2 \

dove  dl^2 è l'elemento di linea di una varietà tridimensionale space-like.

Il fattore di scala a(t) è l'unico grado di libertà che rimane a seguito della (forte) richiesta del principio cosmologico e contiene informazioni sulla dinamica dell'universo su larga scala. L'espressione delle equazioni di Friedmann è:

 3\frac{\dot a^2+k}{a^2}=8\pi G\varepsilon,
\frac{2a\ddot a+\dot a^2+k}{a^2}=-8\pi Gp,

dove:

  • k è il parametro di curvatura: k=-1 universo aperto (geometria iperbolica), k=0 universo piatto (geometria euclidea), k=+1 universo chiuso (geometria ipersferica),
  • \varepsilon è la densità di energia,
  • p è la pressione,
  • G è la costante di gravitazione universale di Newton

e dove si è sottinteso che si sta lavorando in unità della velocità della luce (cioè c=1). Pressione e densità di energia si riferiscono al gas cosmico: tutti i modelli cosmologici correnti si fondano su una descrizione di tipo fluido, in cui l'Universo viene considerato come un fluido le cui molecole sono rappresentate dalle galassie che lo popolano.

Molto spesso in vece della seconda equazione si preferisce utilizzare la conservazione dell'energia che per l'universo (essendo evidentemente un sistema isolato) risulta

d\varepsilon=-(\varepsilon+p)\frac{dV}{V},

dove va ricordato che \varepsilon=E/V. Risulta opportuno procedere ulteriormente notando che V è proporzionale a a^3 per cui la conservazione dell'energia diventa

\dot\varepsilon=-3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon+p)

Le due equazioni indipendenti

 3\frac{\dot a^2+k}{a^2}=8\pi G\varepsilon,
\dot\varepsilon=-3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon+p),

permettono di ricavare l'andamento dell'universo (cioè a(t)) una volta ipotizzata una certa equazione di stato p=p(\varepsilon) per il fluido cosmico.

I calcoli fatti dallo stesso Friedmann partivano dall'ipotesi  p=0 , valida con ottima approssimazione per le galassie ossia per tutta la materia barionica (escludendo cioè la materia oscura e l'energia oscura).

I modelli di universo a cui giunse Friedmann, noti appunto come modelli di Friedmann, sono tre, uno per ogni valore di k: quelli per k=0,-1 corrispondono ad un universo che nasce in a=0 (è il Big Bang) e va verso un'espansione indefinita rallentando sempre di più ma senza mai fermarsi, il modello con k=+1 invece - pur nascendo sempre in a=0 - dopo un fase iniziale di espansione, inizierebbe a contrarsi fino a morire in maniera simile a come era nato, cioè per a=0 (è il Big Crunch).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A Fridman, Über die Krümmung des Raumes in Z. Phys., vol. 10, nº 1, 1922, pp. 377–386, Bibcode:1922ZPhy...10..377F, DOI:10.1007/BF01332580. (English translation in: A Friedman, On the Curvature of Space in General Relativity and Gravitation, vol. 31, nº 12, 1999, pp. 1991–2000, Bibcode:1999GReGr..31.1991F, DOI:10.1023/A:1026751225741.)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • L. Landau, E. Lifšits "Teoria dei Campi", Fisica Teorica:volume 2, Editori Riuniti (III edizione 2004),
  • (EN) C. Misner, K. Thorne, J.A. Wheeler "Gravitation", Freeman And Company (1970)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]