Equazioni di Friedmann

Le equazioni di Fridman, sviluppate nel 1922, sono le equazioni del campo di Einstein applicate al sistema-universo una volta che si sia ipotizzato il principio cosmologico. L'ipotesi del principio cosmologico porta direttamente all'elemento di linea FLRW:

$ds^2=dt^2-a(t)dl^2 \$

dove $dl^2$ è l'elemento di linea di una varietà tridimensionale space-like.

Il fattore di scala $a(t)$ è l'unico grado di libertà che rimane a seguito della (forte) richiesta del principio cosmologico e contiene informazioni sulla dinamica dell'universo su larga scala. L'espressione delle equazioni di Friedmann è:

$3\frac{\dot a^2+k}{a^2}=8\pi G\varepsilon,$

$\frac{2a\dot a+\dot a^2+k}{a^2}=-8\pi Gp,$

dove:

• $k$ è il parametro di curvatura: $k=-1$ universo aperto (geometria iperbolica), $k=0$ universo piatto (geometria euclidea), $k=+1$ universo chiuso (geometria ipersferica),
• $\varepsilon$ è la densità di energia del fluido cosmico (il fluido cioè che, su larga scala, "abita" l'universo),
• $p$ è la pressione del fluido cosmico,
• G è la costante di gravitazione universale di Newton

e dove si è sottinteso che si sta lavorando in unità della velocità della luce (cioè $c=1$)

Molto spesso in vece della seconda equazione si preferisce utilizzare la conservazione dell'energia che per l'universo (essendo evidentemente un sistema isolato) risulta

$d\varepsilon=-(\varepsilon+p)\frac{dV}{V},$

dove va ricordato che $\varepsilon=E/V$. Risulta opportuno procedere ulteriormente notando che $V$ è proporzionale a $a^3$ per cui la conservazione dell'energia diventa

$\dot\varepsilon=-3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon+p)$

Le due equazioni indipendenti

$3\frac{\dot a^2+k}{a^2}=8\pi G\varepsilon,$

$\dot\varepsilon=-3\frac{\dot a}{a}(\varepsilon+p),$

permettono di ricavare l'andamento dell'universo (cioè $a(t)$) una volta ipotizzata una certa equazione di stato $p=p(\varepsilon)$ per il fluido cosmico.

I calcoli fatti dallo stesso Friedmann partivano dall'ipotesi $p=0$, valida con ottima approssimazione per le galassie ossia per tutta la materia barionica (escludendo cioè la materia oscura e l'energia oscura).

I modelli di universo a cui giunse Friedmann, noti appunto come modelli di Friedmann, sono tre, uno per ogni valore di $k$: quelli per $k=0,-1$ corrispondono ad un universo che nasce in $a=0$ (è il Big Bang) e va verso un'espansione indefinita rallentando sempre di più ma senza mai fermarsi, il modello con $k=+1$ invece - pur nascendo sempre in $a=0$ - dopo un fase iniziale di espansione, inizierebbe a contrarsi fino a morire in maniera simile a come era nato, cioè per $a=0$ (è il Big Crunch).

Bibliografia

• L. Landau, E. Lifšits "Teoria dei Campi", Fisica Teorica:volume 2, Editori Riuniti (III edizione 2004),
• (EN) C. Misner, K. Thorne, J.A. Wheeler "Gravitation", Freeman And Company (1970)

Voci correlate

• Cosmologia (astronomia)
• Metrica di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker
• Modello di Friedmann
• Relatività generale