Legge di Wien

Intensità di emissione del corpo nero in funzione della lunghezza d'onda per varie temperature (assolute).

La legge di Wien, detta anche legge dello spostamento di Wien, è una legge sperimentale che consente di individuare per quale lunghezza d'onda $\lambda_{max}$ è massima l'emissione radiativa di un corpo nero di massa generica posto ad una certa temperatura $T$. Fu scritta dal fisico tedesco Wilhelm Wien nel 1893.

$T \cdot \lambda_{max} = b$,

dove:

• $b = 2.897 768 5(51) \times 10^{-3} \; \mathrm{m \; K}$ (valore raccomandato dal CODATA nel 2002) viene detta costante dello spostamento di Wien ($b=\frac{1}{5} c_2$ dove $c_2=1,44 \mathrm{cm \; K}$ ed è detta seconda costante di radiazione).
• $T$ è la temperatura assoluta, in kelvin, della sorgente (corpo nero);
• $\lambda_{max}$ è lunghezza d'onda espressa in metri per la quale è massima la radiazione emessa dal corpo (non è quindi la massima lunghezza d'onda da questo irradiata) .

La legge di Wien spiega come la densità di energia emessa in funzione della frequenza o della lunghezza d'onda da parte di un corpo nero ad una certa temperatura, mostri un picco che si sposta verso le alte frequenze all'aumentare della temperatura stessa. La massima energia irradiata da un corpo cresce con la sua temperatura e la frequenza minima delle onde da questo emesse, e quindi, si ha in corrispondenza di una lunghezza d'onda massima. La relazione, quindi, non esprime un legame lineare fra temperatura, energia e frequenza d'onda, vero solo per i valori massimi di energia e minimi di frequenza, non per l'intero dominio delle due grandezze.

All'aumentare della temperatura il massimo di emissione si sposta verso lunghezze d'onda minori e quindi energie maggiori. Se ne deduce che al variare della temperatura del corpo varia il colore. Introduciamo quindi il concetto di temperatura di colore, quale la temperatura cui corrisponde un ben determinato massimo di emissione. Questo è per esempio il metodo utilizzato per capire quale sia la temperatura di forni particolarmente potenti per i quali è chiaramente impossibile pensare all'utilizzo di un termometro. In pratica, più caldo è un oggetto, più corta è la lunghezza d'onda a cui emetterà radiazione. Per esempio, la temperatura superficiale del Sole è di 5777 K, il che dà un picco a 501.6 nm (5016 Angstrom) nel Ciano-verde. Come si può vedere nell'articolo sul colore, questa lunghezza d'onda non è al centro dello spettro visibile, poiché quest'ultimo è anche il risultato della deflessione della luce da parte dell'atmosfera terrestre la quale rende lo spettro solare meno presente delle "componenti blu" (viola,indaco,blu,ciano,verde) . Una lampadina ha un filamento luminoso con una temperatura leggermente più bassa, che risulta in un'emissione di luce gialla, mentre un oggetto che si trovi al "calor rosso" è ancora più freddo.

Dimostrazione

La legge di Wien si ricava andando a considerare per quale lunghezza d'onda si ha un massimo di emissione. Per fare questo bisogna prima passare all'espressione della distribuzione spettrale in funzione di $\lambda\$:

$\rho_{\omega} d \omega = \rho_{\omega} \frac{d \omega}{d \lambda} d \lambda = \rho_{\lambda} d \lambda\$

$\omega=2 \pi \frac{c}{\lambda}\$

$d \omega = -\frac{2 \pi c}{\lambda^{2}} d \lambda\$

perciò:

$\rho_{\omega} d \omega = \frac{\eta^{3}\frac{(2\pi c)^{3}}{\lambda^{3}}\hbar}{\pi^{2}c^{3}\big[e^{\frac{2 \pi \hbar c}{\lambda k T}}-1\big]}\left(\frac{-2 \pi c}{\lambda^{2}}\right)d \lambda\$

e infine:

$\rho_{\lambda} d \lambda = \frac{8 \pi h c \eta^{3}}{\lambda^{5}\big[e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1\big]} d \lambda\$

Per semplificare i calcoli poniamo:

$x=\frac{hc}{\lambda k T}\$

e troviamo il massimo della funzione spettrale derivando rispetto ad x:

$\frac{d \rho_{\lambda}}{d x}=0 \Longrightarrow e^{-x}+\frac{x}{5}-1=0\$

La precedente è un'equazione trascendente la cui soluzione approssimata è $x=x_0=4{,}9651\$, quindi

$\frac{hc}{\lambda_{max} k T}=x_0=cost\$

e infine

$\lambda_{max} T=b\$

con b costante,

$b=2{,}8978 \cdot 10^{-3} mK\$

Oggi questa legge viene derivata dalla legge di Planck imponendo le condizioni di massimo e operando la sostituzione:

$y = \frac{h \; c}{\lambda_{\mathrm{max}} \; k_{\mathrm{B}} \; T}$

dove h è la costante di Planck, c è la velocità della luce espressa in metri al secondo, k_B è la costante di Boltzmann e T è la temperatura del corpo nero espressa in kelvin. La ricerca del massimo si riduce così alla risoluzione dell'equazione:

$y = 5 \; (1-e^{-y})$

La cui radice approssimata è $y = 4,965114231$.

Derivando invece la legge di Planck rispetto alle frequenze e uguagliando a zero (per ricavare il massimo), e operando la sostituzione:

$x = \frac{h \; \nu_{\mathrm{max}}}{k_{\mathrm{B}} \; T}$

dove ν_max è la frequenza espressa in hertz del massimo di energia, si ha da risolvere l'equazione

$x = 3 \; (1-e^{-x})$

che porta alla relazione:

$h \; \nu_{\mathrm{max}} = 2.821439372 \; k_{\mathrm{B}} \; T$

Sostituendo i valori alle costanti numeriche si può riscrivere:

$\frac{\nu_{\mathrm{max}}}{T} = 5.8789327(75) \times 10^{10}\, \mathrm{Hz \; K^{-1}}$

Come scritto nell'articolo sul corpo nero, è importante osservare che l'espressione di Planck non va intesa in alcun modo come una funzione nel senso ordinario, bensì come una funzione generalizzata nel senso delle distribuzioni, cioè essa ha valore soltanto in espressioni integro-differenziali: pertanto la lunghezza d'onda in corrispondenza della quale, ad un data temperatura, vi è il massimo di emissione, non corrisponde alla frequenza a cui, alla medesima temperatura, vi è il massimo di emissione.

Bibliografia

• Peter Atkins; Julio De Paula, Chimica Fisica, 4^a ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004.ISBN 88-08-09649-1

Voci correlate

• Legge di Stefan-Boltzmann
• Legge di Rayleigh-Jeans
• Legge di Planck
• Corpo nero

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