Ipotesi di de Broglie

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In meccanica quantistica, l'ipotesi di de Broglie afferma che è possibile considerare le particelle come onde di materia, ovvero corpuscoli con proprietà fisiche tipiche delle onde. Formulata nel 1924 da Louis de Broglie, trovò presto conferma sperimentale e divenne uno dei capisaldi della meccanica quantistica.

Premesse storiche[modifica | modifica wikitesto]

La meccanica quantistica nasce dalle numerose evidenze sperimentali che all'inizio del ventesimo secolo risultavano inspiegabili secondo la fisica classica. Tra questi risultati la prima fu la radiazione di corpo nero che portava, secondo lo studio classico, alla catastrofe ultravioletta e al problema del calore specifico: la legge di Stefan-Boltzmann e quella di Raileigh-Jeans portavano solo a risultati parziali, solo con la Legge di Planck, che introdusse il concetto di quanto di energia, si arrivò alla giusta distribuzione dell'energia rispetto alla frequenza. Altri fatti sperimentali come l'effetto Compton e l'effetto fotoelettrico misero in luce l'aspetto corpuscolare della radiazione elettromagnetica.

Ottica geometrica e dinamica di una particella[modifica | modifica wikitesto]

L'analogia tra ottica geometrica e la dinamica di una particella permise a de Broglie di ipotizzare che alle particelle microscopiche si potesse associare anche un'onda: questo portò al dualismo onda-particella e successivamente al principio di complementarità enunciato da Bohr.

Secondo i risultati dell'elettromagnetismo, nel vuoto la luce monocromatica di frequenza assegnata \nu si propaga secondo una direzione individuata dal vettore d'onda \mathbf k ed è descritta da una funzione:

(1)\, \, \phi(\mathbf r, t) = A \cdot e^{i (\mathbf k \cdot \mathbf r - \omega t)}

dove

(2)\, \, \omega = 2 \pi \nu

è la pulsazione o frequenza angolare e A è l'ampiezza che può essere identificata con una componente del campo elettrico o magnetico, in modo che |A|^2 sia proporzionale all'intensità dell'onda. Questa onda è un tipico esempio di onda piana nel senso che il suo fronte d'onda è un piano ortogonale al vettore d'onda ed è individuato dall'equazione:

\mathbf k \cdot \mathbf r = costante

Col passare del tempo il moto del fronte d'onda si muove in concordanza di fase secondo la:

(3)\, \, \mathbf k \cdot \mathbf r - \omega t = costante

I punti nello spazio identificati da \mathbf r che soddisfano la (3) sono equispaziati di

(4)\lambda = \frac{2 \pi}{k}

dove \lambda è la lunghezza d'onda della radiazione luminosa: questi punti sono raggiunti dall'onda ad intervalli

(5)\, \, \tau = \frac{1}{\nu}

per cui il fronte d'onda avanza con velocità di fase:

(6)\, \, v_f = \lambda \cdot \nu = \frac{\omega}{k}

che nel vuoto per la luce monocromatica: v_f = c cioè per tutte le frequenze la velocità di fase coincide con la velocità della luce.

In un mezzo omogeneo, lineare e isotropo invece la velocità di fase è uguale a:

(7)\, \, v_f = \frac{c}{n}

dove n = n (\nu) è l'indice di rifrazione del materiale, anche se l'onda rimane un'onda piana.

Se il mezzo in cui viaggia l'onda non è omogeneo, l'indice di rifrazione varia da punto a punto e quindi l'onda non è più piana, ma soddisfa la condizione:

(8)\, \, \phi_0 (\mathbf r) - \omega t = costante

In tal caso in base al principio di Huygens il raggio luminoso segue la direzione:

(9)\, \, \mathbf k = \nabla \phi_0

Il cammino percorso dal raggio luminoso per andare da un punto A ad un punto B può dedursi dal principio di Fermat, che dice che l'onda percorre la traiettoria che minimizza il tempo di percorrenza:

(10)\, \, T = \int_{A}^{B} \frac{\operatorname dr}{v_f} = \frac{1}{c} \int_{A}^{B} n dr = \frac{1}{c} L

dove L è il cammino ottico. Allora il cammino ottico deve soddisfare:

(11)\, \, \delta L = \delta \int n dr = 0

da cui segue l'equazione iconale:

(12)\, \, (\nabla L)^2 = n^2

Possiamo arrivare alle stesse conclusioni risolvendo l'equazione di D'Alembert:

(13)\, \, \nabla^2 \phi - \frac{1}{v_{f}^{2}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0

soddisfatta proprio da una funzione tipo (1):

(14)\, \, \phi(\mathbf r, t) = A \cdot e^{i (\phi_0(\mathbf r) - \omega t)}

Sostituendo la (14) nella (13), nell'ipotesi di ampiezza costante:

(15)\, \, i \nabla^2 \phi_0 - (\nabla \phi_0)^2 + \frac{\omega^2}{v_{f}^{2}} = 0

dove:

\frac{\omega^2}{v_{f}^{2}} = n^2 k_{0}^{2}

vediamo che, prendendo la parte reale della (15), questa si riscrive:

(16)\, \, (\nabla \phi_0)^2 = k_{0}^{2} n^2

da cui si ricava un analogo risultato alla (12).

Qualora invece di avere una onda monocromatica si abbia un gruppo di onde ognuna con una sua frequenza allora ognuna di esse soddisfa un'equazione di D'Alembert, ognuna viaggia con una sua velocità di fase (6) o (7). Per onde luminose nel vuoto che viaggiano tutte con la stessa velocità di fase l'insieme di onde può essere descritto da una sola equazione (13). In un mezzo invece ogni onda del gruppo viaggia con una sua velocità di fase, il risultato è una sovrapposizione di onde e si può definire una velocità globale detta velocità di gruppo data:

(17)\, \, v_g = \frac{\operatorname d \omega}{\operatorname dk}

Vediamo le analogie già alcune individuate da Hamilton con il moto di una particella di massa m_0 e velocità v e quindi che viaggia con impulso \mathbf p = m_0 \mathbf v. Classicamente se ne può sempre determinare la traiettoria identificando l'impulso della particella in ogni istante. L'energia della particella libera è:

E = \frac{p^2}{2 m_0}

seguendo la meccanica classica si può definire la funzione azione:

\mathcal S (\mathbf r, t) = \mathbf p \cdot \mathbf r - E t

che è straordinariamente simile alla (3), così che l'equazione cui deve soddisfare la dinamica di una particella diventa:

\frac{1}{2 m_0} (\nabla \mathcal S)^2 + \frac{\partial \mathcal S}{\partial t} = 0

e la condizione

\mathcal S(\mathbf r, t) = 0

simile alla (2) implica che il piano:

\mathbf p = \nabla \mathcal S

simile alla (9) avanza nella direzione di \mathbf p e perpendicolare ad esso, con velocità:

v = \frac{E}{p}

ed esplicitamente:

(\nabla \mathcal S)^2 = 2 m_0 E

Se la particella viaggia in un campo di forze conservativo V(\mathbf r) allora l'energia:

\frac{p^2}{2 m_0} + V(\mathbf r) = E

conserva l'equazione di Hamilton-Jacobi con azione:

\mathcal S(\mathbf r, t) = W(\mathbf r) - Et

e dove esplicitamente:

(\nabla W)^2 = 2 m_0 [E - V(\mathbf r) ]

L'analogia tra l'impulso

p = \sqrt{2 m_0 [E - V(\mathbf r)]}

e l'indice di rifrazione dato dalla (12) e la funzione W che gioca un ruolo analogo al cammino ottico della (12) con la condizione:

W(\mathbf r) = costante

che identifica un piano e in presenza di potenziale invece:

\mathcal S(\mathbf r, t) = W(\mathbf r) - Et = costante

identifica una superficie non più piana come per l'ottica geometrica, sembra identificare la particella viaggiante con velocità di fase:

v_f = \frac{E}{\nabla \mathcal S} = \frac{E}{p}

In effetti per il principio di Maupertuis:

\delta \int_{A}^{B} p dr = 0

che permette di trovare tra le infinite traiettorie quella effettiva della particella esattamente come succede con il principio di Fermat per il raggio luminoso.

Ipotesi di De Broglie[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando le analogia tra ottica geometrica e dinamica particellare e il successo della dimostrazione di Einstein sull'effetto fotoelettrico e la legge di Planck, de Broglie ebbe l'idea di associare alla radiazione un aspetto particellare sotto forma di quanti di energia E = h \nu ognuno di impulso di modulo:

p = \frac{h \nu}{c} = \frac{h}{\lambda}

dove h è la costante di Planck, la cui direzione è quella del vettore d'onda k. Inoltre de Broglie utilizzò l'analogia tra la velocità di fase di un'onda che attraversa un mezzo (7) con la velocità di una particella che attraversa un campo di forze:

v_f = \frac{\omega}{k} = \frac{E}{p}

e che l'analogia tra il principio di Fermat e il principio di minima azione di Maupertuis permise a de Broglie di supporre che esistesse una proporzionalità diretta tra l'azione W della particella e la fase dell'onda, la costante di proporzionalità è

\hbar = \frac{h}{2 \pi}

perciò:

E = \hbar \omega = h \nu
p = \hbar k = \frac{h}{\lambda}

Quindi anche le particelle dotate di impulso p ed energia E si muovono in concordanza di fase con lunghezza d'onda

\lambda = h / p e frequenza \nu = E / h.

In definitiva l'estensione dell'analogia di associare alla particella un'onda:

\psi(\mathbf r, t) = A \cdot e^{i (\mathbf k \cdot \mathbf r - \omega t)}

con pulsazione \omega e vettore d'onda \mathbf k che si muove con velocità:

v_f = \frac{\omega}{k} = \frac {E}{p}

e impulso:

p = \hbar k = \frac{h}{\lambda}

dove \lambda è detta anche lunghezza d'onda di de Broglie. Questa analogia riflette il dualismo onda-particella, e può essere formulata come principio di complementarità, secondo il quale si predilige l'aspetto ondulatorio o corpuscolare della materia, a seconda del tipo di strumento utilizzato per l'osservazione.

Particelle relativistiche[modifica | modifica wikitesto]

L'interpretazione di de Broglie è che ad ogni particella si può associare un'onda e viceversa; la particella relativa all'onda è denominata quanto. Ad esempio, in questa interpretazione i quanti di luce detti fotoni corrispondono ad una particella con massa a riposo nulla, ovvero che viaggia alla velocità della luce. Una particella relativistica è una particella che si muove con velocità molto prossima a quella della luce c in modo che il suo impulso sia trascurabile rispetto alla sua massa a riposo m_0. L'energia di tali particelle è:

E = h \nu = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}}

relazione ben nota dell'energia relativistica associata ad una particella vista da un osservatore fermo, con \beta = v/c. L'osservatore solidale con la particella deve vedere il fotone in quiete quindi:

h \nu_0 = m_0 c^2

Le frequenze del laboratorio \nu e quella vista dall'osservatore solidale con il fotone sono legate:

\nu = \frac{\nu_0}{\sqrt{1-\beta^2}}

A questo punto si nota una discordanza tra la relatività che dovrebbe misurare:

\nu^* = \nu_0 \sqrt{1 - \beta^2}

De Broglie risolse questa discordanza associando alla particella un'onda la cui frequenza nel sistema del laboratorio è \nu. in tal caso l'energia sarebbe:

E^2 = c^2 \left( p^2 + m_{0}^{2} c^2 \right)

quindi la velocità di fase associata al fotone:

v_f = \frac{E}{p} = c \sqrt{1 + \frac{m_{0}^{2} c^2}{p^2}} = \frac{c}{\beta} = \frac{c^2}{v} > c

dove v è la velocità della particella. In questo modo si risolve la contraddizione relativistica e risulta una velocità di fase dell'onda associata alla particella superiore alla velocità della luce. L'analogia dell'onda associata alla particella non è esatta dal punto di vista della velocità della particella, poiché non si può mettere in corrispondenza la velocità della particella (che è sempre minore di quella della luce) con quella dell'onda. La soluzione a questo problema è quello di associare alla particella non una singola onda, ma un gruppo di onde o un pacchetto d'onda con frequenze molto vicine tra loro in modo che la loro velocità di gruppo:

v_g = \frac{\operatorname d\omega}{\operatorname dk} = \frac{\operatorname dE}{\operatorname dp} = \frac{p}{m} = c^2 \frac{k}{\omega} = \frac{c^2}{v_f} \le c

Un pacchetto d'onde è descritto da una funzione del tipo:

\psi(\mathbf r, t) = \int d\mathbf k \, A(\mathbf k) e^{i(\mathbf k \cdot \mathbf r - \omega t)}

utilizzando il pacchetto d'onda il passo successivo fu quello di trovare un'equazione capace di fornire le soluzioni compatibili con la meccanica quantistica: questa equazione è la ben nota equazione di Schrödinger

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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