E=mc²

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Edificio del COVRA con un omaggio alla formula

E = mc2 è l'equazione che stabilisce l'equivalenza e il fattore di conversione tra l'energia e la massa di un sistema fisico.

"E" indica l'energia contenuta o emessa da un corpo, "m" la massa corrispondente e "c" la costante costituita dalla velocità della luce.

Venne enunciata da Albert Einstein nel 1905 .

Significato della formula[modifica | modifica sorgente]

Fino al 1905 tutti pensavano che la massa e l’energia fossero due realtà fisiche molto diverse, completamente separate e senza punti di contatto. Ma Einstein in quell’anno (passato alla storia come il suo annus mirabilis) comprese che queste due realtà fisiche, apparentemente così diverse, sono in verità strettamente legate da un valore numerico molto preciso: il quadrato della velocità della luce (c²). Questa geniale e semplice formula, che all'epoca risultò assolutamente rivoluzionaria, stabilisce che massa ed energia sono equivalenti, come se fossero le due facce della stessa “medaglia”. Nella relazione di Einstein sono riassunte proprietà fondamentali della massa (materia), evidenziate dalle sue interazioni con l'energia:

  1. la massa, considerata isolatamente, non si conserva ma è soggetta a continue variazioni; in particolare aumenta di una quantità pari a E/c² quando assorbe energia (radiazione elettromagnetica), mentre diminuisce quando perde energia, ad esempio emettendo fotoni; in questo caso alla quantità di massa scomparsa corrisponde un'energia emessa pari a mc²;
  2. dalla 1 consegue che la massa non è altro che una forma di energia;
  3. qualsiasi corpo a riposo possiede un'energia per il solo fatto di avere una massa; questa energia di riposo si indica con la formula E_0 = m_0 c^2 ed è posseduta sia dalle particelle atomiche e subatomiche sia dai corpi macroscopici.
  4. la conservazione dell'energia meccanica ricomprende, oltre all'energia cinetica e all'energia potenziale, anche la massa quale ulteriore forma di energia; si ottiene così l'energia totale meccanica del corpo, proporzionale alla massa a riposo.[1]

La formula E = mc², propria della teoria della relatività ristretta, benché non compaia nell'articolo sull'"Elettrodinamica dei corpi in movimento" del giugno 1905 (l'articolo sulla relatività ristretta ai sistemi inerziali), ma in un'aggiunta del settembre del 1905 (in cui Einstein si chiede: "ma l'energia possiede una sua propria inerzia?") è probabilmente la più famosa formula della fisica, grazie al suo intreccio di novità, semplicità ed eleganza.

Essa prende in considerazione:

  • E: rappresenta l'energia meccanica, potenziale più cinetica, espressa in joule (= N•m = W•s = kg•m²/s²);
  • m: rappresenta la massa a riposo, espressa in chilogrammi (kg);
  • c: rappresenta la velocità della luce, espressa in m/s: 299.792.458 m/s, generalmente approssimata a 300.000.000 m/s (3 x 108 m/s). Pertanto c2 = 9 × 1016 m²/s².

Per meglio chiarire come funziona questa notissima equazione, si consideri il seguente esempio. Consideriamo l’uranio-238 che di per sé non è fissile e costituisce oltre il 99% dell’uranio che si trova in natura (solo lo 0,7 % dell’uranio reperibile naturalmente è uranio-235, necessario per la fissione nucleare; per tale motivo l’uranio viene opportunamente arricchito). Tuttavia un nucleo di uranio-238 può decadere naturalmente formando un nucleo di torio-234 e un nucleo di elio-4. Sommando la massa dei due nuovi nuclei si rileva, però, che essa è minore del nucleo originario di uranio; in particolare risulta mancante una quantità di massa pari a 7,6 x 10−30 Kg, che non è sparita, ma si è trasformata in energia. L’equazione di Einstein consente di determinare quanta energia è stata liberata dalla scissione del nucleo di uranio: E =(7,6 x 10−30Kg) x (9,0 x 1016m²/s²) = 68,4 x 10−14J = 6,8 x 10−13J. Questo risultato è confermato sperimentalmente.

Ovviamente, conoscendo l’energia di una particella si può determinare la sua massa (= E/c²). Ad esempio conoscendo l'energia di una particella di materia (come avviene negli acceleratori di protoni ed elettroni) si può determinare la sua corrispondente massa.

L'enorme fattore di conversione (c2 = 89.875.517.873.681.764) che lega la massa e l'energia spiega come concentrando un grosso quantitativo di energia (= mc2) si possa creare una piccola quantità di massa, e anche come partendo da una piccolissima massa (= E/c2) si possa ottenere un grandissimo quantitativo di energia.

È quindi comprensibile come la concezione einsteiniana getti una luce unificante sulla realtà fisica. La massa è, in sostanza, una forma di energia estremamente concentrata che in determinati processi fisici può essere liberata (es. massa solare, centrali atomiche, decadimento di materiali radioattivi, emissione di radiazione elettromagnetica da parte di atomi e corpi materiali), così come l’energia può trasformarsi in materia, come si verifica negli acceleratori di particelle e nella collisione di fotoni. All'inizio del paragrafo si è detto che l'equivalenza tra massa ed energia fa pensare alle due facce della stessa “medaglia”; ma poiché la massa è una forma di energia, si può ora precisare che questa “medaglia” sia, in ogni caso, quella dell'energia.

Prima del 1905 esistevano due leggi (o princìpi) di conservazione ben distinte e separate: la legge di conservazione della massa, scoperta da Lavoisier, e la legge di conservazione dell'energia (primo principio della termodinamica), alla cui scoperta hanno contribuito, nella seconda metà del 1800, diversi scienziati (Joule, Carnot, Thomson, Clausius e Faraday): “nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma”. Einstein ha unificato le due leggi in un unico principio di conservazione, che coinvolge unitariamente tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, dato che l'una può trasformarsi nell'altra secondo una esattissima relazione matematica. Ciò che resta sempre costante sul nostro piccolo pianeta e nell'universo è la somma di massa ed energia. Con Einstein è nato, quindi, il principio di conservazione della massa–energia.

La nuova concezione di Einstein, che dalla massa-energia si estende allo spazio-tempo, si contrappone nettamente a quella di Newton, il quale riteneva che il tempo fosse assoluto e perciò completamente separato dallo spazio.

Un esempio dell'enorme quantità di energia contenuta nella materia si ha nel decollo dello Space Shuttle: di tutto il propellente usato, solo un grammo diventa energia, mentre tutto il resto si converte in fumo e prodotti della combustione. Utilizzando l'energia nucleare la resa aumenta, ma in una ordinaria bomba atomica, per esempio, viene convertito in energia solo lo 0,5% della massa totale del materiale fissile.

Se fosse possibile convertire per intero la massa in energia, i problemi energetici che oggi fanno tanto preoccupare sarebbero senza alcun dubbio risolti. Basti pensare che un solo grammo di materia equivale a 90 000 miliardi di joule (9 × 1013 J = 90 000 000 MJ = 90 000 GJ = 90 TJ). Poiché 1 kWh = 3,6 × 106 J = 3 600 000 J, un grammo di materia equivale a 25 000 000 kWh (= 25 000 MWh = 25 GWh).

La conversione di un chilogrammo di massa (equivalente a 90 000 TJ, ossia a 25 miliardi di kWh = 25 000 000 MWh = 25 000 GWh = 25 TWh) coprirebbe, in pratica, il consumo mensile di energia elettrica in Italia, che nel 2004 è stato in media di 24 490 GWh.

L'equivalenza massa – energia ha dimostrato la sua straordinaria potenza, anche con le bombe atomiche. La bomba di Hiroshima era di 13 kilotoni, che equivalgono a 54,6 TJ (13 × 4,2 × 10¹² J); ma questa energia rappresenta soltanto il 60% di quella che sarebbe sprigionata dalla conversione di un solo grammo di materia (90 TJ).

Un fenomeno di completa e immediata conversione della massa in energia potrebbe verificarsi soltanto nel caso in cui la materia entrasse in contatto con l’antimateria; qui bisogna precisare un punto che divulgativamente si trascura spesso: non è che la materia si annichila quando urta l'antimateria, perché nell'urto si possono urtare solo le particelle, per esempio nel caso di un atomo di idrogeno e di un antiatomo di idrogeno abbiamo: idrogeno, protone ed elettrone; antiidrogeno, antiprotone e positrone; solo l'urto della particella con l'antiparticella porta all'annichilazione, positrone che urta elettrone, protone che urta antiprotone. Per questo è difficile che a livello macroscopico si aggreghi abbastanza antimateria. Fortunatamente l’antimateria non è presente nella natura che ci circonda, altrimenti tutto quello che entrerebbe in contatto con essa ne verrebbe annichilito. La conversione della massa in energia, salvo questo caso, non è mai immediata, mentre è in molti casi completa: in una centrale nucleare, la differenza della quantità di uranio rilevabile dopo la reazione a catena, rispetto a quella iniziale, è esattamente equivalente all'energia prodotta. Successivamente intervengono dispersioni in calore, ma la reazione a catena è una trasformazione a rendimento unitario.

Va sottolineato che l’equazione di Einstein è stata verificata sia nei fenomeni fisici macroscopici, come ad esempio per l'energia solare, sia a livello subatomico nelle collisioni tra particelle-materia (elettroni, protoni e neutroni) che generano nuove particelle aventi complessivamente la stessa energia (massa) delle particelle originarie. Lo stesso vale per le particelle-forza: dalla collisione di due fotoni scaturisce una coppia elettrone-positrone che, in tempi infinitesimali, si annichilisce formando una nuova coppia di fotoni.

L’energia solare, ossia quando la massa diventa energia[modifica | modifica sorgente]

Nel Sole, che ha una temperatura interna di 15 milioni di kelvin, mediante le reazioni di fusione termonucleare (fusione protone-protone dei nuclei di idrogeno), ogni secondo 600 000 000 di tonnellate di idrogeno si trasformano in 595 500 000 tonnellate di elio. Quindi, dopo questa trasformazione, mancano all’appello 4 500 000 tonnellate di idrogeno (pari allo 0,75%) che sembrano svanite nel nulla; in realtà questa massa mancante si è trasformata direttamente in energia, ossia in radiazione elettromagnetica, secondo l'equazione di Albert Einstein E = mc2.

Sesta e ultima scultura della "Berliner Walk of Ideas", realizzata in occasione del Campionato mondiale di calcio 2006 - (Lustgarten, di fronte al Altes Museum, a Berlino)

Inserendo questo valore della massa nell’equazione di Einstein (dove l’energia è espressa in joule = Ws, la massa in kg e 'c' in m/s), si calcola che ad esso corrisponde una potenza pari a: W = 4 500 000 000 × (9 × 1016) = 405 × 1024 watt, ossia a 405 000 miliardi di terawatt (TW), una quantità impensabile a livello terrestre. Tutta la straordinaria potenza della nostra stella è dovuta alla conversione in energia di questa infinitesima, per il Sole, quantità di massa, paragonabile approssimativamente alla massa di un piccolo gruppo di montagne sulla terra.

Per capire l’enormità di questa energia, che espressa in wattora equivale a 112 500 000 000 TWh, il solo dato che può fungere da termine di paragone è la produzione mondiale di energia elettrica, che nel 2005 è stata di 17 907 TWh (equivalenti a 716,28 kg di massa). Detto in altri termini, per eguagliare l’energia prodotta dal Sole in un solo secondo, tutti gli impianti di produzione di energia elettrica del nostro pianeta dovrebbero funzionare a pieno regime per i prossimi 6 282 459 anni.

Anche il processo di fusione nucleare, come tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, avviene nell'assoluto rispetto del principio di conservazione della massa–energia.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

L'equazione illustra come l'energia massima ottenibile da un oggetto è equivalente alla massa dell'oggetto moltiplicata per il quadrato della velocità della luce.
Per comprendere l'importanza di questa relazione si può comparare la forza elettromagnetica con la forza gravitazionale. Nel caso dell'elettromagnetismo, l'energia è contenuta in un campo (elettrico e magnetico) associato con la forza e non contenuto nelle cariche. Nel caso gravitazionale, invece, l'energia è contenuta nella massa stessa. Fu un'altra grande scoperta di Einstein, fatta nel 1915, che la massa curvi lo spaziotempo, mentre così non fanno le cariche sedi delle altre tre forze fondamentali.

Questa formula fu cruciale nello sviluppo della bomba atomica. Misurando la massa di diversi nuclei atomici e ricavando da essa la massa dei singoli protoni e neutroni, si può ottenere una stima dell'energia di legame disponibile all'interno di un nucleo atomico. Questo fatto non mostra solo che è possibile rilasciare quest'energia di legame attraverso la fusione di nuclei leggeri o fissione di nuclei pesanti, ma anche che si può stimare la quantità di energia di legame che può essere rilasciata. È importante notare che i protoni e i neutroni non vengono consumati nel procedimento e che anche essi rappresentano una certa quantità di energia.

Una curiosità: originariamente Einstein scrisse l'equazione nella forma \Delta m = \frac{L}{c^2} (dove la L invece della E rappresentava l'energia irraggiata dal corpo di cui una parte della massa veniva completamente convertita in luce, mentre la E era usata nella dimostrazione per rappresentare l'energia totale).

Un chilogrammo massa si converte completamente in:

Da notare che la conversione pratica della massa in energia, in virtù del secondo principio della termodinamica, non è quasi mai efficiente al 100%, anzi. Una conversione teoricamente perfetta risulterebbe dalla collisione di materia e antimateria; in molti casi reali si formano dei sottoprodotti al posto di energia, e perciò solo una piccola parte di massa viene effettivamente convertita. Nell'equazione la massa viene convertita in energia, per cui per chiarezza è più corretto parlare di conversione.

Applicabilità dell'equazione[modifica | modifica sorgente]

E = mc2 si applica di solito ad un oggetto che non si muove secondo ciò che è possibile osservare rispetto ad un dato sistema di riferimento. Ma lo stesso oggetto potrebbe essere in moto per un osservatore solidale ad un altro sistema di riferimento. In questo caso, per quest'ultimo osservatore, l'equazione in questa forma non è applicabile, ma va trasformata secondo le Trasformazioni di Einstein-Lorentz.

Vale la pena di notare che, nella fisica moderna esiste la corrente di pensiero detta Interpretazione di Copenhagen, che è la dominante, per la quale la massa è da considerare come assoluta (cioè esistente di per sé e non relativa a qualcos'altro), mentre l'energia è da considerare relativa. Perciò, tecnicamente, la massa non è energia, e l'energia non è massa. La formula in questione rappresenta la conversione possibile tra massa ed energia. Questo punto è una delle massime contraddizioni tra la visione relativistica e la visione quantistica, per quanto quest'ultima sia storicamente nata dalla visione relativistica. Considerare la massa come assoluta deriva dall'assumere la Meccanica Quantistica una teoria completa, cosa che Einstein negava.

Uso della massa relativistica[modifica | modifica sorgente]

Gli articoli originali di Einstein (ad esempio [1]) trattavano 'm' come "massa relativistica". Questa si relaziona alla "massa a riposo" m0 (cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete) tramite il Fattore di Lorentz nel modo seguente:

m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

Ma per ottenere l'equazione E = mc^2, dobbiamo cominciare dall'equazione E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 e porre p=0, cioè porre v=0. Ciò significa che abbiamo un caso particolare in cui l'oggetto non si sta muovendo, ed in cui E^2 è uguale solo a m^2c^4, o E=mc^2. Questa formula è vera solo nel caso particolare illustrato (da cui il nome di relatività ristretta). A qualsiasi altra velocità dobbiamo aggiungere il termine p^2c^2 dell'equazione originaria.

Se ora poniamo v=0 nell'equazione m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} otteniamo m=m_0. Così in riposo, cioè a velocità nulla, la massa a riposo e la massa relativistica sono la stessa quantità, e l'equazione E = mc² può essere riscritta come E = m_0c^2 : non c'è differenza, eccetto forse che dovremmo specificare che m = m_0 è vero se e solo se v = 0.

Di conseguenza, usando la massa relativistica, l'equazione E = mc^2 nel titolo dev'essere riscritta come E = m_0c^2 e non può applicarsi ad oggetti in moto a velocità diversa da 0.

Uso della massa a riposo[modifica | modifica sorgente]

La massa relativistica è usata abbastanza poco dai fisici moderni, che usano "m" per indicare la massa a riposo; in quest'ottica E = mc² è l'energia a riposo dell'oggetto. In questo caso l'equazione si applica solo agli oggetti in quiete; la forma moderna dell'equazione per un oggetto in movimento è

E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2,

dove p = \gamma mv è il momento relativistico dell'oggetto e ponendo il caso a velocità zero si riduce a E = mc².

La velocità della luce non può essere superata da un punto materiale almeno per due motivi, entrambi riconducibili alla natura del termine \gamma:

  • \lim_{v \to c} E(v) = \infty. In altre parole, per accelerare una massa a velocità superiori a quelle della luce, serve una quantità infinita di energia;
    \mathcal \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \Rightarrow \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} > 0 \Rightarrow  v < c. Per definizione, il radicando deve essere positivo, e la velocità del corpo strettamente minore di quella della luce.

Il fatto che, per accelerare un corpo a velocità prossime o superiori a quelle della luce, richieda un'energia infinita è talora attribuito a un aumento della massa del corpo. Si introduce un concetto di massa relativistica, per il quale la massa del corpo crescerebbe con la sua velocità. In pratica, una massa di 1 kg lanciata da 100 metri di altezza sarebbe uguale a una di 100 kg lasciata cadere da un'altezza di un metro, essendo l'accelerazione di gravità uguale per entrambe (campo gravitazionale uniforme).

In realtà, massa inerziale e gravitazionale sono indipendenti dalla velocità, e la massa è un invariante della teoria della relatività. L'aumento dell'energia quanto più si approssima la velocità della luce, è dovuto al fatto che l'energia (cinetica e totale) è proporzionale alla seconda potenza della velocità: fra velocità e massa esiste un legame quadratico, non uno lineare.

Approssimazione per basse energie[modifica | modifica sorgente]

Dato che l'energia a riposo è m_0 c^2, e l'energia totale è data dall'energia cinetica più l'energia a riposo, l'energia cinetica relativistica è data da

 E_\mathrm{cinetica} = E_\mathrm{totale} - E_\mathrm{riposo} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2

che per piccole velocità è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

 E_\mathrm{cinetica}= \frac{1}{2} m_0 v^2 .

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo \gamma in serie di Taylor,

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right).

Inserendolo nell'equazione originaria,

 E_\mathrm{cinetica} \approx  \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2,

quindi otteniamo

\frac{1}{2}m_0v^2 = E_{totale} - E_{riposo},

o

E_{totale} = E_{riposo} + \frac{1}{2}m_0v^2.

l'espressione relativistica dell'energia, che non concorda con l'espressione classica Newtoniana secondo la quale l'energia è solo cinetica. Questo mostra come la relatività sia una correzione di livello più elevato alla meccanica classica e che in situazioni di bassa energia la meccanica classica e quella relativistica non sono equivalenti.

Quello che invece è equivalente è l'espressione dell'energia cinetica, non l'energia totale.

Portando la meccanica classica fuori dai limiti entro i quali era stata teorizzata, cioè portandola nel mondo dell'immensamente grande o immensamente veloce, Einstein provò che la meccanica classica conteneva delle imprecisioni. Nel caso di oggetti più piccoli e più lenti come quelli usati per stabilire le leggi della meccanica, la meccanica classica è un sottoinsieme della meccanica relativistica. Le due teorie si contraddicono solo fuori dal regime classico.

Il legame fra energia nell'espressione relativistica e l'energia cinetica diviene evidente quando si confrontino le rispettive formule: entrambe sono il prodotto di una massa per il quadrato di una velocità.

Einstein e il suo articolo del 1905[modifica | modifica sorgente]

Albert Einstein non utilizzò nella sua equazione i simboli con cui oggi la conosciamo nel suo articolo del 1905 "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?", pubblicato su Annalen der Physik il 27 settembre), uno degli articoli ora noti sotto la raccolta chiamata Annus Mirabilis Papers, ma lo fece successivamente.

Di solito si riporta la scoperta di Einstein in questo modo "In quell'articolo si dice esattamente questo: «Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c²», essendo la radiazione in questo caso energia cinetica, ed essendo la massa, ovvero il concetto di massa usato a quel tempo, lo stesso che oggi chiamiamo energia a riposo." Ma se effettivamente andiamo a leggere l'articolo originale,, [2], ci accorgiamo: primo che l'interpretazione sopra è riduttiva, infatti L, l'energia irraggiata, non è l'energia cinetica, ma si usa la differenza tra le energie cinetiche viste da due sistemi di riferimento diversi, per rivelare come si trasforma la quantità di energia irraggiata.

Inoltre si può affermare in maniera riduttiva anche: "È la differenza nella massa prima e dopo la perdita di energia ad essere uguale a L/c², non l'intera massa dell'oggetto. In quel momento questo concetto era solo teorico e non provato sperimentalmente." Ma se si legge poche righe più avanti, sempre nello stesso articolo, Einstein fa un passo teorico da gigante, generalizzando il concetto e affermando: «Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c². Il fatto che l'energia sottratta al corpo diventi energia di radiazione non fa alcuna differenza, perciò siamo portati alla più generale conclusione che

La massa di qualunque corpo è la misura del suo contenuto di energia; se l'energia varia di L, la massa varia nello stesso senso di L/9 × 10^20, misurando l'energia in erg e la massa in grammi.

Non è impossibile che nei corpi nei quali il contenuto in energia sia variabile in sommo grado (per esempio nei sali di radio) la teoria possa essere sperimentata con successo.»,

In queste parole c'è una estrema consapevolezza di Einstein nella validità universale della sua scoperta, anzi con il suggerimento di indagare il radio, ovvero gli elementi radioattivi, c'è un anticipo sui tempi di oltre 40 anni e sui suoi contemporanei, i quali non si avvidero, diciamo pure fortunatamente, della cristallina indicazione. Fa specie tuttavia notare che ancora al giorno d'oggi molti non rendano ad Einstein il giusto onore per le sue epocali scoperte.

Dimostrazione fisica di Fritz Rohrlich[modifica | modifica sorgente]

Il fisico austriaco Fritz Rohrlich è riuscito a dimostrare la formula E = mc^2 in modo molto semplice ed elegante senza servirsi di espressioni matematiche di tipo relativistico, bensì basandosi esclusivamente sulle leggi della fisica classica, quali il principio di conservazione della quantità di moto e l’effetto Doppler.[2]

La dimostrazione può essere eseguita nel modo seguente:

Si consideri un corpo materiale C di massa m_1 che si muova rispetto a un osservatore O con la velocità costante v_1 molto bassa rispetto a quella della luce. Inoltre si prenda in considerazione un secondo osservatore O_c in quiete rispetto a C. Si supponga che a un certo istante t il corpo C emetta due quanti elettromagnetici della stessa energia h\nu (h = costante di Planck) l’uno in direzione del moto, l’altro in direzione opposta, dove \nu è la frequenza dei fotoni osservata da O_c in quiete rispetto a C. L’osservatore O invece, tenendo conto dell’effetto Doppler, misurerà una frequenza pari a \nu(1 + \frac{v_1}{c}) (dove c è la velocità della luce) per il fotone emesso in direzione del moto e pari a \nu(1 - \frac{v_1}{c}) per quello emesso in direzione opposta. L’energia radiante E emessa all’istante t che è osservata da O sarà dunque pari a: E = h\nu(1 + \frac{v_1}{c}) + h\nu(1 - \frac{v_1}{c}) da cui semplificando si ottiene:

1) E = 2h\nu (energia radiante emessa)

Inoltre, per il principio di conservazione, la quantità di moto del corpo C osservata da O prima dell’emissione deve essere pari alla somma delle quantità di moto di C e dei due fotoni dopo l'emissione (si noti che la quantità di moto del secondo fotone, poiché emesso in direzione contraria al moto, va presa col segno negativo), quindi:

2) m_1v_1 = m_2v_2 + (\frac{h\nu}{c}) (1 + \frac{v_1}{c}) - (\frac{h\nu}{c}) (1 - \frac{v_1}{c}) (equivalenza delle quantità di moto prima e dopo l’emissione) dove:

m_1 = massa del corpo C prima dell’emissione

v_1 = velocità del corpo C prima dell’emissione

m_2 = massa del corpo C dopo l’emissione

v_2 = velocità del corpo C dopo l’emissione

(\frac{h\nu}{c})(1 + \frac{v_1}{c}) = quantità di moto del fotone emesso in direzione del moto

(\frac{h\nu}{c})(1 - \frac{v_1}{c}) = quantità di moto del fotone emesso in direzione contraria a quella del moto

Data la natura simmetrica dell’effetto, l’osservatore O_c non rileverà dopo l’emissione dei due fotoni alcun cambiamento di moto del corpo C, che continuerà quindi a trovarsi in quiete rispetto a lui. Quindi per l’osservatore O dopo l’emissione sia l’osservatore O_c, sia il corpo C continueranno a muoversi con velocità invariata. Perciò si conclude che v_1 = v_2. Sostituendo nella 2) v_1 con v_2 e introducendo la riduzione di massa m del corpo C dopo l’emissione pari a: m = m_1m_2, dopo facili semplificazioni algebriche dalla 2) si ottiene:

m = \frac{2h\nu}{c^2}

da cui tenendo presente la 1) si ottiene che:

E = mc^2

Vale a dire, che l’energia E irradiata dal corpo C è pari alla perdita di massa subita da C in seguito all’emissione, moltiplicata per il quadrato della velocità della luce.

Contributi di altri[modifica | modifica sorgente]

Einstein non fu il solo ad aver messo in relazione l'energia con la massa, ma fu il primo a presentare questa relazione come parte di una teoria più grande, e oltre a ciò, ad aver dedotto la formula dalle premesse della sua teoria.

Secondo Umberto Bartocci (Università di Perugia, storico della matematica), l'equazione fu pubblicata due anni prima da Olinto De Pretto, un industriale di Schio, in provincia di Vicenza, in Italia, ma questo fatto non è ritenuto importante o accertato dalle correnti storiche principali. Anche se De Pretto introdusse la formula, fu Einstein a collegarla con la Teoria della Relatività, mentre appare ovvio che il risultato dell'italiano sia stato frutto di un'intuizione corretta in un insieme di nozioni erronee o superate come la ricerca di una definizione di etere.[3]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ La fisica di Amaldi, vol. 2: termologia, onde, relatività (cap. 14), ed. Zanichelli, 2011.
  2. ^ (EN) Fritz Rohrlich, An elementary derivation of E=mc² in American Journal of Physics, vol. 58, nº 4, aprile 1990, p. 348.
  3. ^ U. Bartocci, Albert Einstein e Olinto De Pretto - La vera storia della formula più famosa del mondo, Ed. Andromeda, Bologna, 1999

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