Velocità di fuga

Analisi di Newton della velocità di fuga. Dalla cima di una montagna, un cannone spara dei proiettili con velocità sempre più grande.I proiettili A e B ricadono a terra. Il proiettile C percorre un'orbita circolare, D, invece, una ellittica. Il proiettile E si allontana dal pianeta.

La velocità di fuga, o anche seconda velocità cosmica, è la velocità minima iniziale a cui un oggetto (senza ulteriore propulsione) deve muoversi per potersi allontanare indefinitamente da una sorgente di campo gravitazionale, senza considerare altri fattori come l'attrito (es. aria).
Un razzo che si allontana da una sorgente gravitazionale non ha quindi bisogno di raggiungere la velocità di fuga, ma può allontanarsi a qualsiasi velocità con un adeguato sistema di propulsione.

Questa definizione potrebbe aver bisogno di modifiche nel caso pratico di due o più sorgenti di campo gravitazionale. Si assume usualmente che la massa del corpo da allontanare indefinitamente dalla sorgente di gravità sia molto minore di quella della sorgente stessa, in modo che il suo campo gravitazionale non perturbi significativamente il campo gravitazionale della sorgente.

Comunemente si definisce la velocità di fuga come la velocità necessaria per liberarsi da un campo gravitazionale; questa definizione è inesatta perché un campo gravitazionale è infinitamente esteso.

Una caratteristica un po' controintuitiva della velocità di fuga è che è indipendente dalla direzione, quindi la si può trattare come una grandezza scalare.

In missilistica si definisce velocità limite e fa riferimento al campo gravitazionale di un pianeta. In pratica, la velocità limite corrisponde con la minima velocità teorica di decollo per un veicolo spaziale destinato a navigare nello spazio profondo.

Indice

1 Derivazione della formula per la velocità di fuga
- 1.1 Definizione più formale di velocità di fuga, in un campo potenziale gravitazionale
- 1.2 Calcolo nel caso semplice di velocità di fuga da un corpo solo
2 Velocità di fuga dai pianeti del sistema solare, dalla Luna e dal Sole
3 Velocità di fuga dai pianeti nani del sistema solare
4 Voci correlate

Derivazione della formula per la velocità di fuga [modifica]

Il modo più semplice di derivare la formula per la velocità di fuga è utilizzare la legge della conservazione dell'energia.

Definizione più formale di velocità di fuga, in un campo potenziale gravitazionale [modifica]

La velocità di fuga può essere definita più formalmente come la velocità iniziale necessaria per andare da un punto in un campo gravitazionale, a distanza r dal centro del campo, fino all'infinito con velocità residua nulla, relativamente al campo stesso.

Nell'uso comune, il punto iniziale è posto sulla superficie di un pianeta o di una luna. Una velocità così definita è una quantità teorica, perché presume che un oggetto sia sparato nello spazio come un proiettile, cioè con una spinta iniziale di brevissima durata al cui termine la velocità dell'oggetto è la velocità di fuga. Nella realtà si utilizza quasi sempre un mezzo di propulsione per entrare nello spazio e quindi in pratica non è necessario arrivare a velocità così elevate.

È di solito nello spazio che l'idea prende un più concreto significato.

Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40320 km/h), a 9 000 km dalla superficie è leggermente minore di 7,1 km/s. È possibile ottenere tale velocità con un'accelerazione continua dalla superficie fino a quell'altezza. A questo punto non è più necessario arrivare alla velocità di 11,2 km/s, anche senza propulsione l'oggetto si può allontanare dalla Terra indefinitamente.

Calcolo nel caso semplice di velocità di fuga da un corpo solo [modifica]

Nel caso semplice di velocità di fuga da un corpo solo, o da una sola sorgente di gravità di massa $M$ , si procede come segue: all'oggetto di massa $m$ , a distanza $r$ dal centro di gravità, viene fornita una velocità $\mathrm{v}_f$ che gli conferisce un'energia meccanica iniziale

$E_m (r) = \tfrac{1}{2}\,m\,\mathrm{v}_f^2-\mathcal{G}\,\frac{M\,m}{r},$

in cui

$\mathcal{G}=6.67259\times 10^{-11}\text{m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$

rappresenta la costante di gravitazione universale. A distanza infinita dal centro della sorgente l'oggetto accede con velocità residua nulla, per cui la sua energia meccanica è $E_m(\infty)=0$ .

Conservando l'energia meccanica, si trova:

$E_m (r) = E_m (\infty) \Rightarrow \tfrac{1}{2}\,m\,\mathrm{v}_f^2 = \mathcal{G}\,\frac{M\,m}{r}.$

Questa relazione permette anche di definire la velocità di fuga $\mathrm{v}_f$ come quella velocità a cui l'energia cinetica del corpo è pari al modulo della sua energia potenziale gravitazionale.

Risolvendo rispetto a $\mathrm{v}_f$ , si ha, infine:

$\mathrm{v}_f = \sqrt{\tfrac{2 \mathcal{G} M}{r}} \equiv \sqrt{\frac{2 \mu}{r}},$

dove:

$E$ è l'energia cinetica del corpo.
$m$ è la massa del corpo.
$U$ è l'energia potenziale gravitazionale.
$M$ è la massa del pianeta.
$G$ è la costante gravitazionale.
$r$ è il raggio del pianeta.
$\mu = \mathcal{G} M$ è nota, in campo aerospaziale, come costante gravitazionale planetaria.