Energia potenziale gravitazionale

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In fisica, l'energia potenziale gravitazionale è l'energia che possiede un corpo ad una certa distanza da un altro corpo dovuta alla presenza della forza di gravità (per brevità qui sotto tralasceremo l'aggettivo gravitazionale). Essa è pari a:

U(r)=-\frac{GMm}{r}

Indice

[modifica] Definizione

La forza gravitazionale che un corpo di massa M esercita su un corpo di massa m è data da:

\vec F=-\frac{GMm}{r^2}\hat r=-\frac{GMm}{r^3}\vec r

con \vec r=\vec r_2-\vec r_1 il vettore congiungente M e m e \hat r il relativo versore. Poniamo per semplicità M nell'origine del sistema di riferimento, così che sia \vec r=\vec r_1, e calcoliamo il lavoro della forza necessario per spostare il corpo di massa m tra due punti A e B, distanti dall'origine rispettivamente rA e rB:

L_{AB}=\int_A^B-\frac{GMm}{r^2}\hat r\vec{ds}=-GMm\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2}=-\frac{GMm}{r_A}+\frac{GMm}{r_B} \qquad \qquad \qquad \qquad(\,\hat r\cdot \vec{ds}=dr\,)

È fondamentale notare che il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni di partenza e arrivo del corpo, il che significa che siamo in presenza di un campo di forze conservative (essendo la forza centrale). In tal caso torna utile introdurre il concetto di Energia Potenziale U\,\! in base alla seguente definizione: l'energia potenziale U_A\,\! della massa m posizionata in un punto A nel campo gravitazionale generato da M è pari al contrario del lavoro fatto dalle forze del campo nello spostamento di m da un punto arbitrariamente definito C al punto A. In base a quanto visto precedentemente sarà:

U_A=-L_{CA}=\int_C^A\frac{GMm}{r^2}\hat r\vec{ds}=GMm\int_{r_C}^{r_A}\frac{dr}{r^2}=\frac{GMm}{r_C}-\frac{GMm}{r_A} \qquad \qquad \qquad \qquad(\,\hat r\cdot \vec{ds}=dr\,)

Essendo C scelto arbitrariamente, è possibile e conveniente prenderlo a distanza infinita, così da ottenere la seguente espressione:

U_A=-\frac{GMm}{r_A}

Di conseguenza risulterà:

L_{AB}=U_A-U_B\,\!.

il che significa che nel campo gravitazionale il lavoro fatto dalle forze del campo su un corpo di massa m che si sposta da A a B è pari alla differenza di energia potenziale di m nei punti A e B (il che non è una prerogativa del campo gravitazionale, ma è una caratteristica di ogni campo di forze conservative). Si noti come l'energia potenziale di m in una generica posizione sia una funzione della distanza r di m da M:

U(r)=-\frac{GMm}{r}

Introducendo il concetto di Potenziale, come energia potenziale normalizzata alla massa sonda m unitaria:

V(r)=-\frac{GM}{r}

Si noti come il potenziale sia una caratteristica dei punti del campo, e non dipende dalla eventuale massa posizionata in esso. Varrà:

U(r)=mV(r)\,\!


Osservazioni:

  1. L'energia potenziale, come la forza, dipende solo dalla mutua distanza dei corpi. Se uno dei due è vincolato all'origine, l'altro sarà soggetto ad una forza centrale.
  2. Nel caso di cui sopra le superfici equipotenziali saranno sfere centrate sull'origine. Infatti: -\frac{GMm}{r}=K \Rightarrow r=-\frac{GMm}{K} cioè una costante positiva (K è minore di 0).
  3. Con la scelta di porre la costante d'integrazione pari a 0, abbiamo imposto che l'energia potenziale sia sempre negativa. Nel caso in cui r tenda a +\infty l'energia potenziale tende a 0.

[modifica] Corpi a simmetria sferica

Per approfondire, vedi la voce teorema del flusso.

Vige un teorema fondamentale per i corpi a simmetria sferica: nella versione "dedicata" alla forza di gravità esso afferma che "una massa estesa dotata di simmetria sferica genera al suo esterno lo stesso campo gravitazionale generato da un oggetto puntiforme di pari massa disposto al centro della sfera". A causa della stessa forma delle funzioni delle forze elettriche e gravitazionali, lo stesso teorema si applica quasi identicamente in elettrostatica.

Il teorema del flusso di Gauss implica la possibilità di modellizzare, con buona approssimazione, la forza che un pianeta (o una stella, o un qualunque oggetto a simmetria sferica) esercita su un corpo nel suo campo gravitazionale come se la sorgente del campo fosse puntiforme, e di usare quindi le classiche formule della forza e dell'energia potenziale anche nel caso di corpi estesi radialmente simmetrici.

[modifica] Corpi vicini alla superficie terrestre

Per corpi vicini alla superficie terrestre (entro la decina di km da terra) è possibile approssimare l'accelerazione gravitazionale con il suo sviluppo di Taylor all'ordine 0, cioè con il valore costante g che la forza assume sulla superficie terrestre. Poniamoci in un sistema di riferimento cartesiano (O,x,y,z), con \hat z versore dell'asse z. La superficie terrestre si trova, per definizione, ad un raggio terrestre rT di distanza dal centro della Terra; naturalmente sia l'accelerazione di gravità che il raggio terrestre sono quantità medie. Otteniamo:

F(x,y,z)=-m\cdot \frac{GM}{r^2_T}\hat z + \mathcal{O}(r) \hat z=-mg\hat z +\mathcal{O}(r) \hat z \approx -mg\hat z

dove g=\frac{GM}{r^2_T}il termine \mathcal{O}(r) \hat z indica i termini dello sviluppo dipendenti dalla distanza dal centro della terra, e viene trascurato. Integrando si ricava la funzione potenziale:

V(x,y,z)=-mgz+cost\,

da cui l'energia potenziale

U(x,y,z)=U(z)=mgz+cost.\,

Si nota come il potenziale cresca all'aumentare della quota. Anche in questo caso è possibile porre a 0 la costante in modo da rendere nulla l'energia potenziale alla quota di riferimento z = 0.

[modifica] Voci correlate

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Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Energia_potenziale_gravitazionale"
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