Differenziale esatto

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Nel calcolo infinitesimale, un differenziale esatto o differenziale totale è una 1-forma differenziale esatta:

\operatorname d Q = A_1(x_1,x_2,\dots)dx_1 + A_2(x_1,x_2,\dots)dx_2 + \dots

cioè tale per cui esiste una funzione Q(x_1,x_2,\dots), detta potenziale, che soddisfa:[1]

A_1 = \frac{\partial Q}{\partial x_1} \qquad A_2 = \frac{\partial Q}{\partial x_2} \qquad \dots

Un differenziale è esatto se e solo se è integrabile, cioè se la grandezza Q è esprimibile come funzione di classe C^2, la cui immagine è un sottoinsieme dei numeri reali. L'implicazione diretta dipende dal fatto che la seconda classe di continuità ammette sempre un solo differenziale \operatorname d Q. Per generalizzare la nozione di differenziale come infinitesimo a quantità Q definite arbitrariamente risulta utile avere un criterio per determinare se Q sia esprimibile come funzione delle sue variabili, o se invece non lo sia, anche perché in quest'ultimo caso risulta non conservata su un integrale chiuso nelle sue variabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito si considera il caso tridimensionale, anche se la trattazione vale in uno spazio di dimensione arbitraria. Una forma differenziale A(x,y,z) dx + B(x,y,z) dy + C(x,y,z) dz è detta forma differenziale esatta su un dominio D \subset \mathbb{R}^3 se esiste una qualche funzione scalare Q = Q(x,y,z) definita su D tale che:

dQ \equiv \left ( \frac{\partial Q}{\partial x} \right )_{y,z} dx + \left ( \frac{\partial Q}{\partial y} \right )_{z,x} dy + \left ( \frac{\partial Q}{\partial z} \right )_{x,y} dz = A dx + B dy + C dz

su tutto D. Questo è equivalente a dire che il campo vettoriale (A, B, C) è un campo vettoriale conservativo, corrispondente al gradiente di un campo scalare (chiamato potenziale) Q.

In una dimensione, una forma differenziale A(x)dx è esatta se A ha una primitiva. Altrimenti, se A non possiede primitiva non si può scrivere dQ = A(x) dx e la forma non è esatta.

In due dimensioni, per il teorema di Schwarz ogni funzione Q sufficientemente regolare ha la proprietà:

\frac{\partial ^2 Q}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^2 Q}{\partial y \partial x}

da cui segue che in una regione semplicemente connessa R del piano x-y, un differenziale:

A(x, y)\,dx + B(x, y)\,dy

è un differenziale esatto se e solo se vale la relazione:

\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_x = \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_y

In tre dimensioni, un differenziale:

dQ = A(x, y, z) \, dx + B(x, y, z) \, dy + C(x, y, z) \, dz

è un differenziale esatto in una regione semplicemente connessa R del piano x-y se tra le funzioni A, B e C esiste la relazione:

\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x,z} \!\!\!= \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y,z} \qquad \left( \frac{\partial A}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial x} \right)_{y,z} \qquad \left( \frac{\partial B}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial y} \right)_{x,z}

dove la variabile fuori dalla parentesi in basso indica la variabile che è tenuta costante durante la differenziazione.

Riassumendo, quando un differenziale è esatto esiste Q e:

\int_i^f dQ=Q(f)-Q(i)

independentemente dal cammino seguito.

Criterio di Schwartz[modifica | modifica wikitesto]

Se la funzione Q(\mathbf x) di n variabili, con \mathbf x \in \mathbb R^n, ammette un differenziale, esso corrisponde al prodotto scalare tra il gradiente \nabla Q di Q e  \operatorname d \mathbf x:

\operatorname d Q = \nabla Q \cdot \operatorname d \mathbf x = \sum_i \frac{\partial Q}{\partial x_i} \operatorname d x_i

dove nell'ultima uguaglianza si è esplicitato il prodotto scalare. L'integrazione:

Q(\mathbf x) = \sum_i \int \frac{\partial Q}{\partial x_i} \operatorname d x_i

è permessa se e solo se tutte le funzioni integrande dipendono da altre variabili con lo stesso andamento:

\frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial Q}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial Q}{\partial x_i} \quad \forall i, j \in (1,...,n)

e cioè se Q[\mathbf x] verifica il teorema di Schwarz, affermazione valida per le funzioni Q(\mathbf x) della seconda classe di continuità. Poiché il differenziale di Q[\mathbf x] viene solitamente costruito come dipendenza implicita dai differenziali delle variabili, e cioè nella forma:

Q(\mathbf x) = \sum_i \int A_i \operatorname d x_i

il criterio si traduce nel testare se:

\frac{\partial A_i}{\partial x_j} = \frac{\partial A_j}{\partial x_i} \quad \forall i, j \in (1,...,n)

e nel qual caso Q[\mathbf x] ha differenziale esatto, che si può esprimere come \operatorname d Q. Per una funzione di una variabile ovviamente questo si riduce a verificare che Q[x] appartenga alla prima classe di continuità, e cioè che A( x) sia funzione continua in x.

Relazioni tra le derivate parziali[modifica | modifica wikitesto]

Se tre variabili x, y e z sono legate dalla relazione F(x,y,z) = \text{costante} per qualche funzione differenziabile F(x,y,z), allora i seguenti differenziali esatti esistono:

d x = {\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}_z \, d y + {\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )}_y \,dz
d z = {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y \, d x + {\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )}_x \,dy

Inserendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

d z = {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y \left [ {\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}_z d y + {\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )}_y dz \right ] + {\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )}_x dy
d z = \left [ {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y {\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}_z + {\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )}_x \right ] d y + {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y {\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )}_y dz
\left [ 1 - {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y {\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )}_y \right ] dz = \left [ {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y {\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}_z + {\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )}_x \right ] d y

Dal momento che y e z sono variabili indipendenti, d y e d z possono essere scelti arbitrariamente. Affinché l'ultima relazione valga in generale è necessario che i termini tra parentesi quadra siano nulli.

Ponendo nullo il primo termine tra parentesi quadra si ha:

{\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y {\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )}_y = 1

che con semplici passaggi conduce alla relazione di reciprocità:

{\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y = \frac{1}{{\left ( \frac{\partial x}{\partial z} \right )}_y}

Ponendo nullo il secondo termine tra parentesi quadra si ha:

{\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y {\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}_z = - {\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )}_x

e utilizzando una delle relazioni di reciprocità per \partial z / \partial y si ottiene la relazione ciclica, anche conosciuta come "regola del triplo prodotto":

{\left ( \frac{\partial x}{\partial y} \right )}_z {\left ( \frac{\partial y}{\partial z} \right )}_x {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y = -1

Se, invece, si utilizza una relazione di reciprocità per \partial x / \partial y si ottiene una formula standard per la differenziazione implicita:

{\left ( \frac{\partial y}{\partial x} \right )}_z = - \frac { {\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )}_y }{ {\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )}_x }

Applicazione in termodinamica[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la quantità di calore  \delta Q scambiata in una trasformazione infinitesima:

\operatorname \delta Q[T,V] = \operatorname d U + \operatorname d W = C_{v}\, \operatorname d T + p\, \operatorname d V

dove compaiono nell'ordine la capacità termica a volume costante, la variazione di temperatura, la pressione e la variazione di volume. L'equazione traduce il primo principio della termodinamica per gas perfetti; è facile vedere che in generale:

\frac{\partial C_v}{\partial V} = 0 \neq \frac{\partial p}{\partial T}

perciò Q non ha differenziale esatto, quindi il calore non è una funzione di stato del sistema.

Considerando invece l'aumento infinitesimo di entropia \operatorname \delta S si ha:

\operatorname \delta S = \frac{\operatorname \delta Q}{T} = \frac{C_{v}}{T}\, \operatorname d T + \frac{p}{T}\, \operatorname d V

e poiché per i gas ideali vale pV = RT si ottiene:

\operatorname d S = \frac{C_{v}}{T}\, \operatorname d T + \frac{R}{V}\, \operatorname d V

Questa volta si ha:

\frac{\partial}{\partial V}\frac{C_{v}}{T} = 0 = \frac{\partial}{\partial T}\frac{R}{V}

quindi \operatorname d S è un differenziale esatto per i gas ideali. L'entropia è perciò una funzione di stato:

S = \int \operatorname d S = \int \frac{C_{v}}{T}\, \operatorname d T + \int \frac{p}{T}\, \operatorname d V = C_{v}\, \ln T + R \ln V + \rm{cost}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Enciclopedia Treccani - Differenziale. URL consultato il 26 luglio 2011.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Thomas, G. B., Jr. and Finney, R. L. Calculus and Analytic Geometry, 8th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
  • (EN) Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
  • (EN) Zill, D. (1993). A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.
  • (EN) Yunus A. Çengel, Boles, Michael A., Thermodynamics Property Relations in Thermodynamics - An Engineering Approach, McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering, 3rd, Boston, MA., McGraw-Hill [1989], 1998, ISBN 0-07-011927-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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