Forza centrale

Una forza è detta centrale di centro O se è sempre diretta come la congiungente tra un punto materiale P, che si muove nello spazio sotto l'azione della forza, e il centro fisso O.

Definizione

Spesso è conveniente studiare problemi con forze centrali in coordinate polari o coordinate sferiche, in modo da ridurre la complessità del problema. In un sistema di riferimento centrato in O, in coordinate polari o sferiche, una forza centrale può essere rappresentata da una funzione della distanza r dal centro:

$\mathbf{F} = f(r)\hat{r}$

dove $\hat{r}$ è il versore relativo al vettore posizione.

In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:

$\mathbf{M}=\mathbf{r} \times \mathbf{F} = rF\sin0 = 0.$

A causa di ciò si conserva il momento angolare:

$\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}= 0.$

Esempi di forze centrali sono:

• la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r², di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
• la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r²; il segno delle cariche elettriche interagenti decide se è attrattiva o repulsiva;
• la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).

Conservatività

Le forze centrali, se e solo se dotate di simmetria sferica, sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza f centrale e un qualsiasi percorso γ di estremi A e B. Si ha:

$L_{AB}=\int_A^Bf(r)\hat{r}\cdot \vec{ds}$

Il prodotto scalare $\hat{r}\cdot \vec{ds}$ dà proprio la proiezione dello spostamento infinitesimo $\vec{ds}$ lungo il versore posizione $\hat r$. Abbiamo perciò:

$L_{AB}=\int_{r_A}^{r_B}f(r)dr$

Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate.

Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):

$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}\mathbf{e}_r & \mathbf{e}_{\theta} & \mathbf{e}_{\phi}\\\displaystyle\frac{\partial}{\partial r} & \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta} & \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \phi}\\f(r) & 0 & 0\end{vmatrix} = 0$

L'irrotazionalità del campo da sola non garantisce la conservatività del campo se la funzione non è definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).

Voci correlate

• Forza gravitazionale
• Forza di Coulomb
• Lemma di Poincaré

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