Forza centrale

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Una forza è detta centrale di centro O se è costantemente diretta verso il centro medesimo ed il modulo della forza è funzione del raggio-vettore tra il punto di applicazione della forza e il centro. Se la forza è diretta dal punto verso il centro la forza è detta attrattiva altrimenti è detta repulsiva. Le forze centrali sono dette a simmetria sferica se il modulo della forza dipende unicamente dalla distanza tra il punto di applicazione e il centro O.

Esempi di forze centrali sono:

  • la forza gravitazionale, proporzionale a 1/r2, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva);
  • la forza elettrostatica, proporzionale a 1/r2; il segno delle cariche elettriche interagenti decide se è attrattiva o repulsiva;
  • la forza elastica, nel caso di una molla ancorata nell'origine del sistema di riferimento, proporzionale a r, di verso opposto al vettore posizione (forza attrattiva).

Momento meccanico[modifica | modifica wikitesto]

In un campo di forze centrali, il momento meccanico rispetto al polo O è ovunque nullo:

\mathbf{M}=\mathbf{r} \times \mathbf{F} = rF\sin0 = 0.

A causa di ciò si conserva il momento angolare:

\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}= 0.

Conservatività[modifica | modifica wikitesto]

Le forze centrali a simmetria sferica sono anche forze conservative. Questo si può mostrare verificando esplicitamente che il lavoro non dipenda dalla curva su cui è stato calcolato. Consideriamo una forza f centrale e un qualsiasi percorso γ di estremi A e B. Poiché per ipotesi:

\mathbf{F} = f(r)\hat{r}

dove \hat{r} è il versore relativo al vettore posizione, si ha:

L_{AB}=\int_A^Bf(r)\hat{r}\cdot \vec{ds}

Il prodotto scalare \hat{r}\cdot \vec{ds} dà proprio la proiezione dello spostamento infinitesimo \vec{ds} lungo il versore posizione \hat r. Abbiamo:

L_{AB}=\int_{r_A}^{r_B}f(r)dr

Quindi il lavoro compiuto dalla forza dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione. Se la f è integrabile abbiamo esplicitamente una funzione potenziale ed un'energia potenziale associate.

Si può anche mostrare che una forza centrale è irrotazionale: si può verificare che il rotore di una forza centrale è nullo ovunque (è necessario che f(r) sia una funzione continua e derivabile nel suo dominio di definizione):

\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}\mathbf{e}_r & \mathbf{e}_{\theta} & \mathbf{e}_{\phi}\\\displaystyle\frac{\partial}{\partial r} & \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta} & \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \phi}\\f(r) & 0 & 0\end{vmatrix} = 0

L'irrotazionalità del campo da sola non garantisce la conservatività del campo se la funzione non è definita su un dominio semplicemente connesso (per esempio le forze gravitazionale e di Coulomb).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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