Buca di potenziale

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Buca di potenziale infinita

In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale che ha valore basso in corrispondenza di un certo intervallo, del tipo:

$V(x) = \begin{cases}0 & 0 \le x \le a \\ \infty & x < 0 ; \, x > a \end{cases}$

allora si parla di buca di potenziale infinita oppure, del tipo:

$V(x) = \begin{cases}0 & 0 \le x \le a \\ V_0 & x < 0 ; \, x > a \end{cases}$

in tal caso si parla di buca di potenziale finita.

[modifica] Buca di potenziale infinita

L'equazione di Schrödinger in una dimensione è in generale:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V(x) \cdot \psi (x) = E \cdot \psi (x)$

poiché il potenziale divide la regione in tre zone (vedi figura): la prima per $x < 0$ , la seconda $0 \le x \le a$ e la terza per $x > a$ allora il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona $x < 0$ e nella zona $x > a$ l'unica soluzione per cui $V(x) = \infty$ si ha per:

$\psi(x) = 0 \, \, \, \, \mbox{ per } \, x<0, x>a$

Nella zona $0 < x < a$ , l'equazione di Schrödinger per $V (x) = 0$ :

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \cdot \psi (x)$

dove m è la massa della particella, $E > 0$ implica soluzioni continue e definiamo $k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}$ :

$\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = - k^2 \cdot \psi (x)$

Questa equazione ha soluzione generale in termini di esponenziale complesso:

ψ(x) = A e i k x + B e - i k x

con A,B coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con $E < 0$ . Quindi imponendo le condizioni al contorno:

ψ(0) = ψ(a) = 0

otteniamo

ψ(x = 0) = A + B = 0

cioè $A = - B$

Inoltre per

ψ(x = a) = A e i k a + B e - i k a = 0

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

k a = n π

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

ψ(x) = 2 A sin(k x)

dove $k a = n π$ a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

$\frac{n^2 \pi^2}{a^2} = \frac{2 m E}{\hbar^2} \, \, \rightarrow \, E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m a^2} n^2$

La funzione d'onda è quindi quantizzata:

ψ n (x) = 2 A sin(k x)

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

$\int_{-\infty}^{+\infty} dx \, |\psi(x)|^2 = 1 \, \, \Rightarrow \, \, \int_{0}^{a} 2 |A|^2 \sin^2 (kx) = 1$

dalla quale:

2 a | A | 2 = 1

$A = \frac{1}{\sqrt{2 a}}$

la soluzione normalizzata:

$\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n \pi}{a} x \right)$

Come si vede in figura, la funzione d'onda ha andamento sinusoidale entro la buca, tende esponenzialmente a zero al di fuori di essa. Le autofunzioni sono ortogonali infatti si può verificare che:

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{*} (x) \psi_m (x) \, dx = \delta_{nm}$

La soluzione completa è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

$\Psi (x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n (x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (k x)$

dove i coefficienti $c n$ sono dati da:

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{*} (x) \Psi (x) \, dx = \sum_{m=1}^{\infty} c_n \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{*} (x) \psi_m (x) \, dx = c_n$

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

E = E n

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

$\langle H \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} (x) H \Psi (x) \, dx = \sum_{n} c_n \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} (x) \psi_n (x) \, dx = \sum_n |c_n|^2 E_n$

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

$i \hbar \frac{\partial \Psi (x, t)}{\partial t} = H \Psi(x,t)$

e quindi è:

$\Psi (x,t) = \sum_{n} c_n e^{- i E_n t / \hbar} \psi_n (x)$

[modifica] Buca di potenziale finita

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone $x > | a |$ e tra $-a \le x \le a$ sono del tipo:

$\begin{cases} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + |E| \cdot \psi (x) = 0 & \, x > |a| \\ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + (V_0 - |E|) \cdot \psi (x) = 0 & \, - a \le x \le a \end{cases}$

Trattiamo il caso in cui il potenziale è simmetrico cioè:

$V(x) = \begin{cases} - V_0 & - a \le x \le a \\ 0 & x < - a ; \, x > a \end{cases}$

che un caso a cui ci si può sempre ricondurre con una semplice traslazione. In questo caso:

V (x) = V ( - x)

quindi l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

[H, P] = 0

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

$\lambda^{2} = \frac{2 m |E|}{\hbar^2}$

$q^{2} = \frac{2 m (V_0 -|E|)}{\hbar^2}$

le equazioni di Schrödinger si riscrivono:

$\begin{cases} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) - \lambda^2 \psi (x) = 0 & \, |x| > a \\ \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + q^2 \psi (x) = 0 & \, |x| < a \end{cases}$

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

$\psi(x) = \begin{cases} e^{i \lambda x} + B e^{- i \lambda x} & \, x < - a \\ C \psi^+ (x) + D \psi^- (x) & \, - a \le x \le a \\ D e^{i \lambda x} & \, x > a \end{cases}$

dove le autofunzioni:

ψ + (x) = ψ + ( - x)

sono a parità pari, mentre

ψ - (x) = - ψ - ( - x)

sono a parità dispari. Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli eponenziali reali:

$\psi^+ (x) = \begin{cases} B e^{\lambda x} & \, x < - a \\ C \cos (q x) & \, - a \le x \le a \\ B e^{-\lambda x} & \, x > a \end{cases}$

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x = - a$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in $x = a$ :

$\psi^+ (x) = \begin{cases} B e^{- \lambda a} = C \cos(qa) \\ B \lambda e^{- \lambda a} = C q \sin (qa) \end{cases}$

da queste due otteniamo:

q tan(q a) = λ

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica:

y = q a

$k = \frac{2 m V_0 a^2}{\hbar^2}$

otteniamo:

λ 2 a 2 = k - q 2 a 2 = k - y 2

Graficando i due membri dell'equazione:

$\tan y = \frac{\sqrt{k - y^2}}{y} \, \, \, \, \mbox{ per } \, \, \, \, y^2 \le k$

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corridpondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

$\psi^- (x) = \begin{cases} B' e^{\lambda x} & \, x < - a \\ C' \sin (q x) & \, - a \le x \le a \\ B' e^{-\lambda x} & \, x > a \end{cases}$

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x = a$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in $x = - a$ :

$\psi^- (x) = \begin{cases} B' e^{- \lambda a} = - C' \sin (qa) \\ B' \lambda e^{- \lambda a} = C' q \cos (qa) \end{cases}$

da queste due otteniamo:

q cot(q a) = - λ

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

$- \cot y = \frac{\sqrt{k - y^2}}{y} \, \, \, \, \mbox{ per } \, \, \, \, y^2 \le k$

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Le autofunzioni sono quindi:

$\psi_{E} (x) = \begin{cases} e^{-\lambda |x|} & \, |x| > a \\ \psi^+ (x) = \cos (q x) & \, |x| \le a \\ \psi^- (x) = \sin (q x) & \, |x| \le a \end{cases}$

dove $λ$ e $q$ sono definite sopra e legate tra loro.

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