Equazione di Schrödinger

L'equazione di Schrödinger, formulata dal fisico austriaco Erwin Schrödinger nel 1926, rappresenta una delle più importanti conquiste della fisica ed in particolare della meccanica quantistica. Quest'ultima, risalente alla metà degli anni venti, ha preso due direzioni principali: una, battuta da Heisenberg, Bohr, Jordan, che si basa sull'approccio matriciale, l'altra, sviluppata soprattutto da de Broglie e Schrödinger, si basa sull'approccio ondulatorio.

In questa seconda visione si rappresentano le particelle attraverso le così dette funzioni d'onda, poiché le evidenze sperimentali (vedi, ad esempio, l'esperimento di Davisson e Germer) confermavano che anche le particelle posseggono comportamenti ondulatori.

Enunciato

L'equazione di Schrödinger assume diverse forme a seconda della situazione fisica. La scrittura per il caso generale è:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},\,t)$

dove:

• $\Psi(\mathbf{r},\,t)$ è la funzione d'onda, che è l'ampiezza di probabilità per differenti configurazioni del sistema.
• $\scriptstyle \hbar$ è la costante di Planck razionalizzata, cioè divisa per 2π.
• $\scriptstyle \hat H$ è l'operatore hamiltoniano.

Nel caso di una particella in tre dimensioni soggetta ad un potenziale V:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r},\,t)\Psi(\mathbf{r},\,t)$

dove:

• $\mathbf{r} = (x,y,z)$ è un punto nello spazio tridimensionale.
• m la massa della particella.
• $V(\mathbf{r},\,t)$ l'energia potenziale che la particella possiede se si trova nel punto r all'istante t.

Le ipotesi di de Broglie

Per approfondire, vedi la voce Ipotesi di de Broglie.

I risultati ottenuti con l'ipotesi di de Broglie portarono allo sviluppo della meccanica quantistica intesa come meccanica ondulatoria. Con de Broglie si associa ad ogni particella un pacchetto d'onda del tipo:

$\psi(\mathbf{r}, t) = \int d\mathbf{k} \, A(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$

che si propaga con velocità di gruppo:

$v_g = \frac{d \omega}{d k} = \frac{dE}{dp} = \frac{p}{m} = c^2 \frac{k}{\omega}$

dove ω è la frequenza angolare o pulsazione intesa come quella centrale del pacchetto d'onde, $\mathbf{k}$ è il vettore d'onda che identifica la direzione di propagazione del pacchetto, E è l'energia associata alla particella e p il suo impulso cinetico.

Una volta associato il pacchetto d'onda alla particella era necessario scoprire quale equazione fosse in grado di descrivere l'evoluzione del pacchetto d'onda compatibilmente alla meccanica quantistica e interpretarne le soluzioni. In tal senso applicando l'operatore di D'Alembert al pacchetto d'onde si ottiene:

$\nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi(\mathbf{r}, t) = \frac{m_{0}^{2} c^2}{\hbar^2} \psi(\mathbf{r}, t)$

tenendo presente la relazione relativistica dell'energia:

$E^2 = c^2 \left(p^2 + m_{0}^{2} c^2 \right)$

L'equazione scritta sopra è l'equazione di Klein-Gordon: equazione in cui appare un termine a secondo membro che è un termine di sorgente della particella con lunghezza d'onda di Compton. Per particelle con massa nulla come i fotoni l'equazione di Klein-Gordon è una normale equazione di D'Alembert che descrive la propagazione di un'onda elettromagnetica. Formalmente tale equazione è ottenibile mediante le sostituzioni:

$E \rightarrow i \hbar \frac {\partial}{\partial t}$

$\mathbf{p} \rightarrow -i \hbar \mathbf{\nabla}$

Limite non relativistico

Per approfondire, vedi la voce equazione di Klein-Gordon.

L'equazione di Schrödinger nel limite non relativistico si può dedurre dall'equazione di Klein-Gordon: considerando per l'energia lo sviluppo in serie al primo ordine:

$E = m_0 c^2 \sqrt{1+ \frac{p^2}{m_{0}^{2} c^2}} \simeq m_0 c^2 + \frac{p^2}{2 m_0} + \dots$

e definendo la frequenza angolare ω' non relativistica ottenuta da:

$\omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2 m_0} = \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \omega'$

si ottiene che usando l'espressione dell'energia non relativistica l'equazione di Klein-Gordon diventa l'equazione di Schrödinger per la particella libera:

$\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \right) \psi (\mathbf{r}, t) = 0$

In presenza di un potenziale reale $V(\mathbf{r})$, l'equazione di Schrödinger diventa:

$\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 - V(\mathbf{r}) \right) \psi (\mathbf{r}, t) = 0$

Equazione di continuità

Per approfondire, vedi la voce equazione di continuità.

Dall'equazione di Schrödinger deriva un'equazione di continuità, infatti moltiplicando l'equazione per la sua complessa coniugata $\psi^* (\mathbf{r},t)$:

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi|^2 + \frac{\hbar^2}{2m} \left( \psi^* \mathbf{\nabla}^2 \psi - \psi \mathbf{\nabla}^2 \psi^* \right) = 0$

dalla quale si vede che chiamando:

$\rho = |\psi|^2 \$

e

$\mathbf{J} = - \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi^* \mathbf{\nabla} \psi - \psi \mathbf{\nabla} \psi^* \right)$

si deduce l'equazione di continuità:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0$

Con questa equazione di continuità nascono difficoltà interpretative della funzione d'onda e delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger. Inizialmente la ρ veniva interpretata come la densità di materia contenuta nel volume $d\mathbf{r}$ e l'equazione di continuità rappresentava così la conservazione della massa. Ma questa interpretazione risultò scorretta. Le evidenze sperimentali della diffrazione di elettroni invece indicavano che gli elettroni avevano un carattere ondulatorio cioè interferivano come le onde luminose e tuttavia si comportavano anche come particelle quando erano prese isolate: per spiegare la diffrazione e l'interferenza di elettroni la funzione d'onda $\psi(\mathbf{r} ,t)$ deve essere concepita come una proprietà d'insieme delle particelle, cioè di un pacchetto d'onda piuttosto che come proprietà di una singola particella. Dall'esperimento della diffrazione da due fenditure si evince che gli elettroni interferiscono come onde per le quali si sommano le ampiezze; per esempio nel caso di due onde sull'asse x :

$\psi (x) = \psi_1 (x) + \psi_2 (x) \$

Per ricondursi al comportamento di una singola particella bisogna introdurre concetti statistici: allora la probabilità associata alle due onde nell'attraversare una o l'altra fenditura è:

$P = |\psi_1 (x) + \psi_2 (x)|^2 = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2 (x)|^2 + \psi_{1}^{*} (x) \psi_2(x) + \psi_1 (x) \psi_{2}^{*}$

cioè possiede termini di interferenza. Allora la giusta interpretazione della funzione d'onda è quella di probabilità. In ogni caso l'equazione di continuità permette di identificare la classe di funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger, esse sono le funzioni complesse definite su $\mathbb{R}^3$ a quadrato sommabile, infatti deve essere:

$\int d\mathbf{r} \, |\psi(\mathbf{r}, t) |^2 = N$

cioè l'integrale deve convergere ad un numero N finito: questa costante viene scelta N = 1 per compatibilità con il significato probabilistico della funzione d'onda. Quindi le funzioni accettabili come soluzione sono le funzioni che appartengono ad uno spazio lineare complesso chiamato spazio di Hilbert.

Proprietà dell'equazione di Schrödinger

L'equazione di Schrödinger è un'equazione al primo ordine nel tempo; la soluzione più generale nel caso di particella libera è il pacchetto d'onda in una dimensione:

$\psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i (px - \frac{p^2}{2m} t ) / \hbar}$

dove il fattore prima dell'integrale è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo t = 0 si impone che la funzione d'onda sia:

$\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i px / \hbar}$

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante t. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:

$P(x,t) dx = |\psi(x,t) |^2 dx \$

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo x,x + dx, avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1$

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty$

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

$\psi(x,t) = c_1 \psi_1 (x,t) + c_2 \psi_2 (x,t) \$

dove $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$ che suggerisce valevole il principio di sovrapposizione, essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

Valori medi nelle rappresentazioni dell'impulso e della posizione

Per approfondire, vedi le voci Operatore posizione e Operatore impulso.

Poiché il significato della funzione d'onda è probabilistico si può parlare di valore medio di una grandezza fisica. Il valore medio della posizione (unidimensionale per semplicità) nella rappresentazione delle coordinate è dato:

$\langle \hat x \rangle = \int dx \, \hat x |\psi(x,t)|^2 = \int dx \, \psi(x,t) \hat x \psi^*(x,t)$

e più in generale una qualsiasi funzione di x:

$\langle \hat f(x) \rangle = \int dx \, \hat f(x) |\psi(x,t)|^2 = \int dx \, \psi(x,t) \hat f(x) \psi^*(x,t)$

Il valore medio dell'impulso è invece per analogia con il caso classico:

$\langle \hat p \rangle = m \frac{d \langle \hat x \rangle}{dt} = m \frac{d}{dt} \int dx \, \psi^*(x,t) \hat x \psi(x,t) = \frac{\hbar}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} dx \left(\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} \hat x \psi - \psi^* \hat x \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)$

Risolvendo l'integrando che è uguale a:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial x} \hat x \psi - \psi^* x \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi^* \psi \right) + 2 \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}$

si vede che:

$\langle \hat p \rangle = \int dx \, \psi^*(x,t) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t)$

cioè

$p = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$

che è la definizione dell'impulso nella rappresentazione delle coordinate e più in generale qualsiasi funzione di p:

$\langle \hat f(p) \rangle = \int dx \, \psi^*(x,t) \frac{\hbar}{i} f \left(\frac{\hbar \partial}{i \partial x} \right) \psi(x,t)$

Nella rappresentazione degli impulsi il valor medio dell'impulso è semplicemente:

$\langle \hat p \rangle = \int dp \, \phi^*(p) \hat p \phi(p)$

con il significato che | ϕ(p) | ²dp rappresenta la probabilità che la particella o il sistema abbia momento p determinato nell'intervallo p,p + dp. Il valor medio di una qualsiasi funzione di p in questa rappresentazione è dato:

$\langle \hat f(p) \rangle = \int dp \, \phi^*(p,t) \hat f(p) \phi(p,t)$

Vediamo infine che la posizione nello spazio degli impulsi è:

$\langle \hat x \rangle = \int dp \, \phi^*(p,t) i \hbar \frac{\partial}{\partial p} \phi(p,t)$

cioè

$\hat x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p}$

che è la definizione della posizione nella rappresentazione dell'impulso e più in generale qualsiasi funzione di x:

$\langle \hat f(x) \rangle = \int dp \, \phi^*(p,t) i \hbar f \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p} \right) \phi(p,t)$

Da notare la simmetria delle due rappresentazioni. Vediamo che la posizione x e l'impulso p devono avere valore medio reale, poiché sono grandezze fisiche devono essere direttamente misurabili, cioè sono osservabili del sistema, per cui deve valere:

$\langle \hat x \rangle = \langle \hat x \rangle^*$

e

$\langle \hat p \rangle = \langle \hat p \rangle^*$

cioè in meccanica quantistica le grandezze fisiche di interesse, le osservabili, tra le quali la posizione e l'impulso, sono operatori hermitiani e questo si può verificare direttamente.

Se calcoliamo il commutatore tra la posizione e l'impulso nell'asse x:

$[\hat p_x,\hat x] \psi(x,t) = \hat p_x \hat x \psi(x,t) - \hat x \hat p_x \psi(x,t) = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \hat x \psi(x,t) - \hat x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) = \frac{\hbar}{i} \psi(x,t)$

cioè si ottiene una delle parentesi fondamentali della commutazione in meccanica quantistica:

$[\hat p_x, \hat x] = \frac{\hbar}{i}$

che significa che non si possono misurare simultaneamente posizione e impulso in una direzione con precisione. Mentre:

$[\hat p_y, \hat x] = 0$

$[\hat p_z, \hat x] = 0$

Queste parentesi sono le parentesi fondamentali della meccanica quantistica ed esprimono il principio di indeterminazione di Heisenberg.

L'operatore hamiltoniano

Per approfondire, vedi la voce Operatore hamiltoniano.

Poiché gli operatori posizione e impulso sono operatori hermitiani, l'equazione di Schrödinger per la particella libera si può scrivere:

$\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\right)\psi(\mathbf{r},t)=\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\hat{\mathbf{p}}^{2}}{2m}\right)\psi(\mathbf{r},t)=0$

dove interviene l'operatore impulso $\vec p = (p_x, p_y, p_z) = \hbar \mathbf{k}$. Generalizzando al caso della presenza di potenziale reale $\hat V(\mathbf{r}) = \hat V^* (\mathbf{r})$:

$\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\hat{\mathbf{p}}^{2}}{2m}-V(\mathbf{r})\right)\psi(\mathbf{r},t)=0$

Queste due equazioni sono le equazioni fondamentali della meccanica quantistica e si può anche scrivere in forma più generale:

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t) = \hat H \psi (\mathbf{r}, t)$

introducendo l'operatore hamiltoniano $\hat H$ che rappresenta l'operatore energia che di volta in volta a seconda del problema bisogna scegliere con attenzione. Il valor medio dell'operatore hamiltoniano che deve essere hermitiano è:

$\langle \hat H \rangle_{\psi} = \int \psi^{*}(x) \hat H \psi(x) \, dx$

Ogni operatore $\hat A$ che rappresenta una grandezza fisica in meccanica quantistica ha valor medio calcolabile:

$\langle \hat A \rangle_{\psi} = \int \psi^{*}(x) \hat A \psi(x) \, dx$

Soluzione generale dell'equazione di Schrödinger

L'equazione di Schrödinger è l'equazione fondamentale della meccanica quantistica. La sua risoluzione in molti casi non è possibile. Tuttavia esiste un metodo di risoluzione generale che va sotto il nome di metodo di Fourier per la soluzione di equazioni differenziali, che permette subito di ottenere importanti informazioni sul sistema ed è un metodo generale applicabile in molti problemi fisici di interesse.

Infatti esplicitiamo l'operatore hamiltoniano dell'equazione di Schrödinger unidimensionale:

(1)$i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} + \hat V(x) \psi (x, t)$

l'equazione può essere fattorizzata per variabili, cioè la soluzione può scriversi:

(2)$\psi(x,t) = T(t) \cdot X(x)$

dove T(t) è una funzione che contiene solo la variabile temporale e X(x) contiene solo la variabile coordinata. Sostituendo la (2) nella (1) si ha:

(3)$i \hbar X(x) \frac{dT(t)}{dt} = - \frac{\hbar^{2}}{2 m} T(t) \frac{d^2 X(x)}{d x^2} + \hat V(x) X(x) T(t)$

Separando le variabili ai due membri cioè dividiamo ambo i membri per $T(t) \cdot X(x)$ e otteniamo che entrambi i membri devono essere uguali ad una stessa costante che chiamiamo E:

(4)$i \hbar \frac{dT(t)/dt}{T(t)} = \left(- \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} + \hat V(x) X(x) \right) \cdot \frac{1}{X(x)} = E$

Quindi abbiamo due equazioni separate:

(5)$i \hbar \frac{dT(t)}{dt} = E \cdot T(t)$

(6)$- \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} + \hat V(x) X(x) = E \cdot X(x)$

L'equazione (5) si risolve subito:

(7)$T(t) = C \cdot e^{-iEt/\hbar}$

dove C è una costante, questa dà la dipendenza dal tempo della funzione d'onda ψ(x,t). La seconda equazione (6) è detta equazione di Schrödinger indipendente dal tempo ed ha la forma di un'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniano infatti:

(8)$\left[ - \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^2}{d x^2} + \hat V(x) \right] X(x) = E \cdot X(x) \, \, \Rightarrow \hat H X(x) = E X(x)$

essa rappresenta gli stati stazionari del sistema, cioè gli stati che non dipendono dal tempo. Questa equazione si risolve trovando lo spettro degli autovalori che può essere discreto o continuo o nel caso più generale sia discreto che continuo e quindi degli autovettori associati in modo che nel caso più generale la funzione d'onda si può scrivere:

(9)$\psi (x,t) = \left( \sum C_E X(x) + \int C(E) X(x) \, dE \right) e^{-iEt/\hbar}$

dove C_E,C(E) sono coefficienti dipendenti da E, i primi nel caso discreto e i secondi nel caso continuo, mentre E rappresenta l'energia del sistema. Quindi l'operatore hamiltoniano fornisce la dipendenza temporale della funzione d'onda e permette tramite la soluzione dell'equazione di Schrödinger di risolvere il problema agli autovalori per l'energia.

Autofunzioni dell'energia

Per approfondire, vedi la voce Autofunzione.

Supponiamo inizialmente che la soluzione dell'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo (9) abbia uno spettro discreto di autovalori, allora la funzione d'onda ψ(x) può essere sviluppata per la (9) come:

(10)$\psi(x) = \sum_{E} C_E u_E(x) \$

dove i coefficienti C_E sono automaticamente determinati, infatti:

(11)$\sum_E u_{E'}^{*}(x) \psi(x) = \sum_{E} C_E u_{E'}^{*}(x) u_E (x) = \sum_E C_E \delta_{EE'} = C_{E'}$

dove u_E(x) sono ancora le autofunzioni dell'energia. L'unica restrizione è che la funzione d'onda deve essere normalizzata e a quadrato sommabile:

(12)$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, \psi^* (x) \psi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, |\psi (x)|^2 = 1$

e di conseguenza anche le autofunzioni devono essere normalizzate:

(13)$\int dx \, u_{E'}^{*} (x) u_{E''} (x) = \delta_{E' E''}$

L'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo si scrive:

(14)$i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi (x, t) = \hat H \psi (x,t)$

La soluzione della (13) con la sostituzione della (10) è:

(15)$u_E (x,t) = u_E (x) e^{-i E t / \hbar}$

quindi la funzione d'onda completa è:

(16)$\psi(x,t) = \sum_E C_E u_E (x) \cdot e^{-iE t /\hbar}$

Se lo spettro è continuo invece si può sviluppare la funzione d'onda in termini di autofunzioni di energia nel modo:

(17)$\psi(x) = \int C(E) u_E(x)$

dove u_E(x) sono ancora autofunzioni dell'energia, e questi devono essere normalizzate:

(18)$\int u_{E'}^{*} (x) \cdot u_{E''} (x) = \delta_{E' - E''}$

dove interviene la funzione Delta di Dirac. I coefficienti C(E) sono automaticamente determinati, infatti:

(19)$\int dx \, u_{E'}^{*}(x) \psi(x) = \int C(E) u_{E'}^{*}(x) u_E (x) = \int C(E) \delta_{E - E'} = C(E')$

quindi la funzione d'onda completa è:

$\psi(x,t) = \int C(E) u_E (x) \cdot e^{-iE t /\hbar}$

L'equazione di Schrödinger unidimensionale ammette una proprietà speciale: non esistono degenerazioni dei livelli di energia: ad ogni autovalore E_n discreto corrisponde un solo autostato.

Approssimazioni dell'equazione di Schrödinger

• Approssimazione di Born-Oppenheimer, nota anche come approssimazione adiabatica, è una tecnica usata in chimica quantistica e nella fisica della materia condensata al fine di disaccoppiare i moti di nuclei ed elettroni (cioè per separare le variabili corrispondenti al moto nucleare e le coordinate elettroniche nella equazione di Schrödinger associata alla Hamiltoniana molecolare). Si basa sul fatto che le tipiche velocità elettroniche sono molto maggiori di quelle nucleari.
• Approssimazione orbitalica, tecnica usata in chimica quantistica. Ogni elettrone viene considerato singolarmente come appartenente ad un atomo idrogenoide e la carica nucleare Ze, carica che viene utilizzata per calcolare il termine relativo all'energia potenziale da inserire nell'equazione di Schrödinger, viene corretta utilizzando la carica nucleare efficace Zeff. Quindi la forma semplificata della funzione d'onda, utilizzata per descrivere un atomo polielettronico, diviene una funzione del tipo Ψ = Ψ(n1) Ψ(n2) Ψ(n3)...Ψ(nx).
• Approssimazione WKB in meccanica quantistica è un'approssimazione semiclassica nella quale si impone che la funzione d'onda sia una funzione esponenziale che varia lentamente e quindi viene espansa in potenze della costante di Planck.

Metodi risolutivi di approssimazione

• Metodo variazionale, rappresenta nella meccanica e chimica quantistica, un approccio utilizzato per trovare approssimazioni all'autostato di minore energia (stato fondamentale) e ad alcuni stati eccitati. Le basi di questo metodo si fondano sul principio variazionale.
• Teoria perturbativa, metodo di calcolo che si basa sull'introduzione, nell'hamiltoniana, di una perturbazione, ovvero un potenziale così piccolo da giustificare uno sviluppo in serie di potenze.
• Metodo di Hartree-Fock, metodo ab initio usato in chimica computazionale basato sull'approssimazione, valevole nel caso di fermioni, che N funzioni d'onda associate al sistema siano approssimabili tramite un singolo determinante di Slater.

Evoluzione relativistica

Per approfondire, vedi la voce Teoria quantistica dei campi.

L'equazione di Schrödinger, però, non rappresenta le particelle che si muovono a velocità ed energia relativistica. Risultò, pertanto, fondamentale introdurre anche il formalismo della relatività speciale, che portò alle due equazioni di Klein Gordon e di Dirac, che rappresentano, rispettivamente, particelle a spin 0 (dette anche particelle scalari) e particelle a spin $\frac{1}{2}$.

Bibliografia

• (DE) E. Schroedinger Annalen der Physik 79 p. 361; Annalen der Physik 79 p. 489; Annalen der Physik 81 p. 734 (1926).
• Traduzione in italiano degli articoli sopra
• L. D. Landau e E. M. Lifsits Meccanica Quantistica (Riuniti, Roma, 1978)
• Peter Atkins; Julio De Paula, Chimica Fisica, 4^a ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004.ISBN 88-08-09649-1
• Donald A. McQuarrie; John D. Simon, Chimica Fisica. Un approccio molecolare., 1^a ed., Bologna, Zanichelli, luglio 2000.ISBN 88-08-17640-1

Voci correlate

• Funzione d'onda
• Operatore hamiltoniano
• Operatore posizione
• Operatore impulso
• Operatore di evoluzione temporale
• Autostato dell'energia

Collegamenti esterni

• Appunti di Meccanica Quantistica non relativistica

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