Equazione di Schrödinger

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L'equazione di Schrödinger fu formulata dal fisico austriaco Erwin Schrödinger nel 1926 per descrivere l'evoluzione temporale dei sistemi quantistici, come ad esempio gli atomi e le molecole.

L'equazione di Schrödinger è una equazione differenziale alle derivate parziali (lineare) che ha come incognita la funzione d'onda del sistema. L'esistenza della funzione d'onda è postulata basandosi sulle evidenze sperimentali, come ad esempio l'esperimento di Davisson e Germer, che hanno confermato che anche le particelle puntiformi come l'elettrone hanno un comportamento ondulatorio. Nell'interpretazione di Copenaghen il modulo quadro della funzione d'onda assume il significato della probabilità di trovare una particella in una determinata configurazione.

Lo sviluppo della meccanica quantistica negli anni venti seguì due formulazioni principali e la meccanica ondulatoria, sviluppata soprattutto da de Broglie e Schrödinger, si contrappose alla meccanica delle matrici, formulata da Heisenberg, Bohr, Jordan. L'equazione di Schrödinger ebbe un ruolo determinante nella storia della meccanica quantistica e permise di comprendere come mai soltanto alcuni valori discreti dell'energia sono ammessi per l'elettrone nell'atomo di idrogeno.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Meccanica hamiltoniana e Operatore hamiltoniano.

L'equazione di Schrödinger dipende dalle interazioni fra le varie componenti del sistema. Nel caso più generale l'equazione è scritta come:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},\,t)

dove:

Il valore medio dell'operatore hamiltoniano sullo stato  \psi(x) rappresenta il valore di aspettazione dell'energia:

\langle \hat H \rangle_{\psi} = \int \psi^{*}(x) \hat H \psi(x) \, dx

Ogni operatore \hat A che rappresenta una grandezza fisica in meccanica quantistica ha valor medio sullo stato  \psi(x) calcolabile mediante:

\langle \hat A \rangle_{\psi} = \int \psi^{*}(x) \hat A \psi(x) \, dx

Poiché gli operatori posizione e impulso sono operatori hermitiani, l'equazione per sistemi scleronomi si può scrivere nel limite non relativistico:

\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+\frac{{\hbar}^{2}}{2m} \nabla^2 - \hat U(\mathbf{r})\right)\psi(\mathbf{r},t)=0

dove intervengono gli operatori impulso i \hbar \nabla = \hbar \mathbf{k} e energia potenziale U.

Le ipotesi di de Broglie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Ipotesi di de Broglie.

I risultati ottenuti con l'ipotesi di de Broglie portarono allo sviluppo della meccanica quantistica intesa come meccanica ondulatoria. Con de Broglie si associa ad ogni particella un pacchetto d'onda del tipo:

\psi(\mathbf{r}, t) = \int d\mathbf{k} \, A(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}

che si propaga con velocità di gruppo:

v_g = \frac{d \omega}{d k} = \frac{dE}{dp} = \frac{p}{m} = c^2 \frac{k}{\omega}

dove \omega è la frequenza angolare o pulsazione intesa come quella centrale del pacchetto d'onde, \mathbf{k} è il vettore d'onda che identifica la direzione di propagazione del pacchetto, E è l'energia associata alla particella e p il suo impulso lineare.

Una volta associato il pacchetto d'onda alla particella era necessario scoprire quale equazione fosse in grado di descrivere l'evoluzione del pacchetto d'onda compatibilmente alla meccanica quantistica e interpretarne le soluzioni. In tal senso applicando l'operatore di D'Alembert al pacchetto d'onde si ottiene:

\nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi(\mathbf{r}, t) = \frac{m^{2} c^2}{\hbar^2} \psi(\mathbf{r}, t)

tenendo presente la relazione relativistica dell'energia :

E^2 = c^2 \left(p^2 + m^{2} c^2 \right)

L'equazione scritta sopra è l'equazione di Klein-Gordon: equazione in cui appare un termine a secondo membro che è un termine di sorgente della particella con lunghezza d'onda di Compton. Per particelle con massa nulla come i fotoni l'equazione di Klein-Gordon è una normale equazione di D'Alembert che descrive la propagazione di un'onda elettromagnetica. Formalmente tale equazione è ottenibile mediante le sostituzioni:

E \rightarrow i \hbar \frac {\partial}{\partial t}
\mathbf{p} \rightarrow -i \hbar \nabla

Limite non relativistico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione di Klein-Gordon.

L'equazione di Schrödinger nel limite non relativistico si può dedurre dall'equazione di Klein-Gordon: considerando per l'energia la serie di Taylor al primo ordine:

E = m c^2 \sqrt{1+ \frac{p^2}{m^{2} c^2}} \simeq m c^2 + \frac{p^2}{2 m} + \dots

e definendo la frequenza angolare \omega' non relativistica ottenuta da:

\omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{m c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2 m} =  \frac{m c^2}{\hbar} + \omega'

si ottiene che usando l'espressione dell'energia non relativistica l'equazione di Klein-Gordon diventa l'equazione di Schrödinger:

\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 - U(\mathbf{r}) \right) \psi (\mathbf{r}, t) = 0

Equazione di bilancio[modifica | modifica wikitesto]


Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione di bilancio.

Dall'equazione di Schrödinger:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,t) - \hat U(x) \psi(x,t)

deriva un'equazione di bilancio. Per dimostrarlo si può prendere il complesso coniugato ad ambo i membri:

- i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi^*(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^*(x,t) - \hat U(x) \psi^*(x,t)

dove si è supposto che il potenziale U(x) è reale. Moltiplicando l'equazione di Schrödinger per \psi^*(x,t)

i \hbar \psi^*(x,t) \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = -\psi^*(x,t) \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,t) - \hat U(x) \psi^*(x,t) \psi(x,t)

e per \psi(x,t) la sua coniugata

- i \hbar \psi(x,t) \frac{\partial}{\partial t} \psi^*(x,t) = -\psi(x,t) \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^*(x,t) - \hat U(x) \psi(x,t) \psi^*(x,t)

e sottraendo membro a membro si ottiene a sinistra dell'uguaglianza

i \hbar \left(\psi(x,t) \frac{\partial}{\partial t} \psi^*(x,t) + \psi(x,t) \frac{\partial}{\partial t} \psi^*(x,t) \right) = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left(\psi^*(x,t) \psi(x,t)\right)

e a destra invece

-\psi^*(x,t) \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x,t) + \psi(x,t) \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi^*(x,t) =- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla \cdot \left(\psi^*(x,t) \vec{\nabla} \psi(x,t) - \psi(x,t) \vec{\nabla} \psi^*(x,t)\right)

dato che il termine proporzionale al potenziale si cancella. Ma, chiamando la grandezza scalare \rho:

\rho = |\psi|^2 = \psi^*(x,t) \psi(x,t)

e il vettore \mathbf{J}

\mathbf{J} = - \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi^* \vec{\nabla} \psi - \psi \vec{\nabla} \psi^* \right)

dall'uguaglianza del membro di destra e di sinistra si deduce l'equazione di continuità:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

Questa equazione di continuità ebbe un ruolo fondamentale nell'interpretazione della funzione d'onda e delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger. Inizialmente la \rho veniva interpretata come la densità di materia contenuta nel volume d\mathbf{r} e l'equazione di continuità rappresentava così la conservazione della massa. Ma questa interpretazione risultò scorretta. Le evidenze sperimentali della diffrazione di elettroni invece indicavano che gli elettroni mostravano un comportamento ondulatorio cioè interferivano con se stessi come le onde luminose pur mostrandosi come particelle quando presi in spazi molto ampi rispetto alle loro dimensioni: per spiegare l'interferenza di elettroni la funzione d'onda \psi(\mathbf{r} ,t) deve essere concepita come una funzione che descriva le proprietà d'insieme delle particelle, cioè che dipende simultaneamente dal volume in cui cerchiamo la particella e dal lasso di tempo che abbiamo a disposizione per poterle cercare in quel volume.[senza fonte] Dall'esperimento della diffrazione da due fenditure si evince che gli elettroni interferiscono come onde per le quali si sommano le ampiezze; per esempio nel caso di due onde sull'asse x :

\psi (x) = \psi_1 (x) + \psi_2 (x) \

Per ricondursi al comportamento di una singola particella bisogna introdurre concetti statistici: allora la probabilità associata alle due onde nell'attraversare una o l'altra fenditura è:

P = |\psi_1 (x) + \psi_2 (x)|^2 = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2 (x)|^2 + \psi_{1}^{*} (x) \psi_2(x) + \psi_1 (x) \psi_{2}^{*}

cioè possiede termini di interferenza. Allora la giusta interpretazione della funzione d'onda è quella di probabilità. In ogni caso l'equazione di continuità permette di identificare la classe di funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger, esse sono le funzioni complesse definite su \mathbb{R}^3 quadrato sommabili, infatti deve essere:

\int d\mathbf{r} \, |\psi(\mathbf{r}, t) |^2 = N

cioè l'integrale deve convergere ad un numero N finito: questa costante viene scelta N=1 per compatibilità con il significato probabilistico della funzione d'onda. Quindi le funzioni accettabili come soluzione sono le funzioni che appartengono ad uno spazio lineare complesso chiamato spazio di Hilbert.

Proprietà dell'equazione di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Schrödinger è un'equazione al primo ordine nel tempo; la soluzione più generale nel caso di particella libera è il pacchetto d'onda in una dimensione:

\psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i (px - \frac{p^2}{2m} t ) / \hbar}

dove il fattore prima dell'integrale è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo t=0 si impone che la funzione d'onda sia:

\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i px / \hbar}

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante t. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:

P(x,t) dx = |\psi(x,t) |^2 dx \

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo x, x+dx, avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

\psi(x,t) = c_1 \psi_1 (x,t) + c_2 \psi_2 (x,t) \

dove c_1, c_2 \in \mathbb{C} che suggerisce valevole il principio di sovrapposizione, essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

Valori medi nelle rappresentazioni dell'impulso e della posizione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore posizione e Operatore impulso.

Poiché il significato della funzione d'onda è probabilistico si può parlare di valore medio di una grandezza fisica. Il valore medio della posizione (unidimensionale per semplicità) nella rappresentazione delle coordinate è dato:

\langle \hat x \rangle = \int dx \, \hat x |\psi(x,t)|^2 = \int dx \, \psi(x,t) \hat x \psi^*(x,t)

e più in generale una qualsiasi funzione di x:

\langle \hat f(x) \rangle = \int dx \, \hat f(x) |\psi(x,t)|^2 = \int dx \, \psi(x,t) \hat f(x) \psi^*(x,t)

Il valore medio dell'impulso è invece per analogia con il caso classico:

\langle \hat p \rangle = m \frac{d \langle \hat x \rangle}{dt} = m \frac{d}{dt} \int dx \, \psi^*(x,t) \hat x \psi(x,t) = \frac{\hbar}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} dx \left(\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} \hat x \psi - \psi^* \hat x \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right)

Risolvendo l'integrando che è uguale a:

\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial x} \hat x \psi - \psi^* x \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi^* \psi \right) + 2 \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}

si vede che:

\langle \hat p \rangle = \int dx \, \psi^*(x,t) \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t)

cioè

p = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}

che è la definizione dell'impulso nella rappresentazione delle coordinate e più in generale qualsiasi funzione di p:

\langle \hat f(p) \rangle = \int dx \, \psi^*(x,t) \frac{\hbar}{i} f \left(\frac{\hbar \partial}{i \partial x} \right) \psi(x,t)

Nella rappresentazione degli impulsi il valor medio dell'impulso è semplicemente:

\langle \hat p \rangle = \int dp \, \phi^*(p) \hat p \phi(p)

con il significato che |\phi(p)|^2 dp rappresenta la probabilità che la particella o il sistema abbia momento p determinato nell'intervallo p, p+dp. Il valor medio di una qualsiasi funzione di p in questa rappresentazione è dato:

\langle \hat f(p) \rangle = \int dp \, \phi^*(p,t) \hat f(p) \phi(p,t)

Vediamo infine che la posizione nello spazio degli impulsi è:

\langle \hat x \rangle = \int dp \, \phi^*(p,t) i \hbar \frac{\partial}{\partial p} \phi(p,t)

cioè

\hat x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p}

che è la definizione della posizione nella rappresentazione dell'impulso e più in generale qualsiasi funzione di x:

\langle \hat f(x) \rangle = \int dp \, \phi^*(p,t) i \hbar f \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p} \right) \phi(p,t)

Da notare la simmetria delle due rappresentazioni. Vediamo che la posizione x e l'impulso p devono avere valore medio reale, poiché sono grandezze fisiche devono essere direttamente misurabili, cioè sono osservabili del sistema, per cui deve valere:

\langle \hat x \rangle = \langle \hat x \rangle^*

e

\langle \hat p \rangle = \langle \hat p \rangle^*

cioè in meccanica quantistica le grandezze fisiche di interesse, le osservabili, tra le quali la posizione e l'impulso, sono operatori hermitiani e questo si può verificare direttamente.

Se calcoliamo il commutatore tra la posizione e l'impulso nell'asse x:

[\hat p_x,\hat x] \psi(x,t) = \hat p_x \hat x \psi(x,t) - \hat x \hat p_x \psi(x,t) = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \hat x \psi(x,t) - \hat x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t) = \frac{\hbar}{i} \psi(x,t)

cioè si ottiene una delle parentesi fondamentali della commutazione in meccanica quantistica:

[\hat p_x, \hat x] = \frac{\hbar}{i}

che significa che non si possono misurare simultaneamente posizione e impulso in una direzione con precisione. Mentre:

[\hat p_y, \hat x] = 0
[\hat p_z, \hat x] = 0

Queste parentesi sono le parentesi fondamentali della meccanica quantistica ed esprimono il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Soluzione generale dell'equazione di Schrödinger (per potenziali non dipendenti dal tempo)[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Schrödinger è l'equazione fondamentale della meccanica quantistica. La sua risoluzione in molti casi non è possibile, tuttavia esiste un metodo di risoluzione generale che va sotto il nome di metodo di Fourier per la soluzione di equazioni differenziali, il quale permette di ottenere importanti informazioni sul sistema ed è un metodo generale applicabile in molti problemi fisici di interesse.

Esplicitando l'operatore hamiltoniano dell'equazione di Schrödinger unidimensionale:

i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} + \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} - \hat U(x) \psi (x, t) = 0

l'equazione può essere fattorizzata per variabili, cioè la soluzione può scriversi:

\psi(x,t) = T(t) \cdot X(x)

dove T(t) è una funzione che contiene solo la variabile temporale e X(x) contiene solo la variabile coordinata. Sostituendo la seconda relazione nella prima si ha:

i \hbar X(x) \frac{dT(t)}{dt} + \frac{\hbar^{2}}{2 m} T(t) \frac{d^2 X(x)}{d x^2} - \hat U(x) X(x) T(t) = 0

Separando le variabili ai due membri, cioè dividendo ambo i membri per T(t) \cdot X(x), si ottiene che entrambi i membri devono essere uguali ad una stessa costante che si denota con E:

i \hbar \frac{dT(t)/dt}{T(t)} = \left(- \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} - \hat U(x) X(x) \right) \cdot \frac{1}{X(x)} = E

Quindi si hanno due equazioni separate:

i \hbar \frac{dT(t)}{dt} = E \cdot T(t) \qquad - \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} - \hat U(x) X(x) = E \cdot X(x)

La prima equazione si risolve subito:

T(t) = C \cdot e^{-iEt/\hbar}

dove C è una costante: questa dà la dipendenza dal tempo della funzione d'onda \psi(x,t). La seconda equazione è detta equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, ed ha la forma di un'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniano:

\left[ - \frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^2}{d x^2} + \hat U(x) \right] X(x) = E \cdot X(x) \qquad \hat H X(x) = E X(x)

essa rappresenta gli stati stazionari del sistema, cioè gli stati che non dipendono dal tempo. Questa equazione si risolve trovando lo spettro degli autovalori che può essere discreto o continuo o nel caso più generale sia discreto che continuo e quindi degli autovettori associati in modo che nel caso più generale la funzione d'onda si può scrivere:

\psi (x,t) = \left( \sum C_E X(x)  + \int C(E) X(x) \, dE \right) e^{-iEt/\hbar}

dove C_E, C(E) sono coefficienti dipendenti da E, i primi nel caso discreto e i secondi nel caso continuo, mentre E rappresenta l'energia del sistema. Quindi l'operatore hamiltoniano fornisce la dipendenza temporale della funzione d'onda e permette tramite la soluzione dell'equazione di Schrödinger di risolvere il problema agli autovalori per l'energia.

Autofunzioni dell'energia[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Autofunzione.

Supponiamo inizialmente che la soluzione dell'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo abbia uno spettro discreto di autovalori, allora la funzione d'onda \psi(x) può essere sviluppata come:

\psi(x) = \sum_{E} C_E u_E(x) \

dove i coefficienti C_E sono automaticamente determinati, infatti:

\sum_E u_{E'}^{*}(x) \psi(x) = \sum_{E} C_E u_{E'}^{*}(x) u_E (x) = \sum_E C_E \delta_{EE'} = C_{E'}

dove u_E(x) sono ancora le autofunzioni dell'energia. L'unica restrizione è che la funzione d'onda deve essere normalizzata e quadrato sommabile:

\int_{-\infty}^{\infty} dx \, \psi^* (x) \psi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \, |\psi (x)|^2 = 1

e di conseguenza anche le autofunzioni devono essere normalizzate:

\int dx \, u_{E'}^{*} (x) u_{E''} (x) = \delta_{E' E''}

L'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo si scrive:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x, t) = \hat H \psi (x,t)

Utilizzando lo sviluppo della funzione d'onda \psi(x), la soluzione è:

u_E (x,t) = u_E (x) e^{-i E t / \hbar}

quindi la funzione d'onda completa è:

\psi(x,t) = \sum_E C_E u_E (x) \cdot e^{-iE t /\hbar}

Se lo spettro è continuo invece si può sviluppare la funzione d'onda in termini di autofunzioni di energia nel modo:

\psi(x) = \int C(E) u_E(x)

dove u_E(x) sono ancora autofunzioni dell'energia, e questi devono essere normalizzate:

\int u_{E'}^{*} (x) \cdot u_{E''} (x) = \delta_{E' - E''}

dove interviene la funzione Delta di Dirac. I coefficienti C(E) sono automaticamente determinati, infatti:

\int dx \, u_{E'}^{*}(x) \psi(x) = \int C(E) u_{E'}^{*}(x) u_E (x) = \int C(E) \delta_{E - E'} = C(E')

quindi la funzione d'onda completa è:

\psi(x,t) = \int C(E) u_E (x) \cdot e^{-iE t /\hbar}

L'equazione di Schrödinger unidimensionale ammette una proprietà speciale. Non esistono degenerazioni dei livelli di energia: ad ogni autovalore E_n discreto corrisponde un solo autostato.

Approssimazioni dell'equazione di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

Metodi risolutivi di approssimazione[modifica | modifica wikitesto]

Evoluzione relativistica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria quantistica dei campi.

L'equazione di Schrödinger, però, non rappresenta le particelle che si muovono a velocità ed energia relativistica. Risultò, pertanto, fondamentale introdurre anche il formalismo della relatività speciale, che portò alle due equazioni di Klein Gordon e di Dirac, che rappresentano, rispettivamente, particelle a spin 0 (dette anche particelle scalari) e particelle a spin \frac{1}{2}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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