Decadimento particellare

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In fisica delle particelle, il decadimento particellare è il decadimento di una particella subatomica. Si tratta di un processo spontaneo mediante il quale una particella instabile si trasforma in altre particelle subatomiche. Se i prodotti di decadimento sono instabili, decadranno a loro volta.

Vita media di alcune particelle[modifica | modifica wikitesto]

Dai dati del Particle Data Group, la vita media di alcune importanti particelle risulta essere:

Tipologia Nome Simbolo Massa (MeV/c2) Vita media
Leptone Elettrone / Positrone e^- \, / \, e^+ 0,511 > 4,6 \times 10^{26} \ \mathrm{anni}
Muone / Antimuone \mu^- \, / \, \mu^+ 105,6 2,2\times 10^{-6} \ \mathrm{secondi}
Tauone / Antitauone \tau^- \, / \, \tau^+ 1777 291 \times 10^{-15} \ \mathrm{secondi}
Mesone Pione neutro  \pi^0 135 8,4 \times 10^{-17} \ \mathrm{secondi}
Pione carico  \pi^+ \, / \, \pi^- 139,6 2,6 \times 10^{-8} \ \mathrm{secondi}
Barione Protone / Antiprotone  p^+ \, / \, p^- 938,2 > 10^{29} \ \mathrm{anni}
Neutrone / Antineutrone  n \, / \, \bar{n} 939,6 885,7 \ \mathrm{secondi}
Bosone Bosone W  W^+ \, / \, W^- 80 400 10^{-25} \ \mathrm{secondi}
Bosone Z Z^0 91 000 10^{-25} \ \mathrm{secondi}

Probabilità di sopravvivenza[modifica | modifica wikitesto]

La vita media di una particella è indicata con \tau, e la probabilità che essa sopravviva per un tempo maggiore di t prima di decadere è:

P(t) = e^{-t/(\gamma \tau)}

dove

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

è il fattore di Lorentz della particella.

Larghezza di decadimento[modifica | modifica wikitesto]

Per una particella di massa M, la larghezza di decadimento è data da:

\Gamma = \frac{\hbar}{\tau}

e

d \Gamma_n = \frac{(2\pi)^4}{2M}\left|\mathcal{M} \right|^2 d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n)


dove
  • n è il numero di particelle create nel decadimento.
  • \mathcal{M} è l'elemento della matrice invariante che connette lo stato iniziale con lo stato finale.
  • d\Phi_n è l'elemento della spazio delle fasi
  • p_i è il quadri-momento della particella i.

Lo spazio delle fasi è determinato da

d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n) = \delta^4 (P - \sum_{i=1}^n p_i) \left( \prod_{i=1}^n \frac{d^3 \vec{p}_i}{(2\pi)^3 2 E_i} \right)

dove \delta^4 è la delta di Dirac in quattro dimensioni.

Quadrimpulso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Quadrimpulso.

Il quadrimpulso di una particella è anche detto massa invariante.

Il quadrato del quadrimpulso è definito come la differenza tra il quadrato dell'energia e il quadrato del tri-impulso:

p^2 = E^2 - (\vec{p})^2 = m^2 \quad \quad \quad \quad (1)

Nel caso di due particelle si ha:

p^2 = \left(p_1 + p_2 \right)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 = m_1^2 + m_2^2 + 2(E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2)

Il quadrimpulso è conservato in tutti i decadimenti ed interazioni tra particelle

p_\mathrm{iniziale} = p_\mathrm{finale}

Decadimento a due corpi[modifica | modifica wikitesto]

Se una particella di massa M decade in due particelle (etichettate con 1 e 2) la conservazione del quadrimomento diventa

p_M = p_1 + p_2

che può essere scritto come

p_M - p_1 = p_2

elevando al quadrato entrambi i membri

p_M^2 + p_1^2 - 2p_M p_1 = p_2^2

Usando la definizione precedentemente definita del quadrato del quadrimpulso si ha

M^2 + m_1^2 - 2 \left(E_M E_1 - \vec{p}_M \cdot \vec{p}_1 \right) = m_2^2

Se supponiamo la particella "madre" inizialmente ferma:

\vec{p}_M =0 \qquad E_M = M

si ottiene

M^2 + m_1 ^2 - 2 M E_1 = m_2^2

e quindi si arriva alla formula dell'energia per la particella 1:

E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2 M}

Similmente per la particella 2:

E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2 M}

L'angolo con cui è emessa una particella misurato nel sistema del laboratorio è collegato all'angolo nel sistema del centro di massa tramite l'equazione

\tan{\theta'} = \frac{\sin{\theta}}{\gamma \left(\beta / \beta' + \cos{\theta} \right)}

Larghezza di decadimento[modifica | modifica wikitesto]

Data una particella si massa M che decade in due particelle 1 e 2, nel sistema di riferimento fermo della particella "madre" si ha

|\vec{p}_1| = |\vec{p_2}| = \frac{[(M^2 - (m_1 + m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)]^{1/2}}{2M}.

In coordinate sferiche:

d^3 \vec{p} = |p|^2\, dp d\Omega = p^2\, d \phi\, d\left( \cos \theta \right).

Conoscendo l'elemento nello spazio delle fasi per il decadimento a due corpi si ottiene che la larghezza di decadimento è:

d\Gamma = \frac{1}{32 \pi^2} \left| \mathcal{M} \right|^2 \frac{|\vec{p}_1|}{M^2}\, d\phi_1\, d\left( \cos \theta_1 \right).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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