Momento di inerzia

Il momento di inerzia è una misura della resistenza del corpo a mutare la sua velocità rotazionale, una grandezza fisica utile per descrivere il comportamento dinamico dei corpi in rotazione attorno ad un asse. Tale grandezza tiene conto di come è distribuita la massa del corpo attorno all'asse di rotazione e dà una misura dell'inerzia del corpo rispetto alle variazioni del suo stato di moto rotatorio.

Il momento d'inerzia ha due forme, una forma scalare $I$ (usata quando si conosce l'asse di rotazione $\hat n$) e una forma, più generale, tensoriale $\bar{\bar I}$ che non necessita della conoscenza dell'asse di rotazione. La forma scalare $I$ può essere calcolata per ogni asse dalla forma tensoriale $\bar{\bar I}$ usando il prodotto scalare:

$I = \hat n \cdot \bar{\bar I} \; \hat n = \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} n_{j} I_{jk} n_{k}$

dove la sommatoria è sui tre assi delle coordinate cartesiane. Il momento d'inerzia scalare I è spesso chiamato semplicemente momento di inerzia.

Introduzione

Il concetto fu introdotto da Eulero nel suo libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum nel 1765. Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse dato descrive quanto è difficile cambiare il suo moto angolare attorno al proprio asse. Per esempio, si considerino due dischi (A e B) della stessa massa. Il disco A ha un raggio più grande del disco B. Assumendo che abbiano spessore e massa distribuita uniformemente, è più difficile accelerare il disco A (cambiare la sua velocità angolare) poiché la sua massa è distribuita in maniera più distante del suo asse di rotazione: la massa che è più distante dall'asse deve avere, fissata la velocità angolare, più velocità, e quindi più energia rispetto alla massa che è più vicina al centro di rotazione. In questo caso il disco A ha un momento d'inerzia maggiore del disco B.

Tuffatrici che minimizzano il loro momento d'inerzia per aumentare la loro velocità di rotazione.

Il momento di inerzia di un corpo è funzione della sua geometria, in particolare di come è distribuita la massa al suo interno. Il momento d'inerzia ha due forme, scalare I (usata quando è noto l'asse di rotazione) e una più generale tensoriale che non richiede la conoscenza dell'asse di rotazione. Il momento d'inerzia scalare è utile per risolvere numerosi problemi, per esempio spiega perché oggetti diversi che rotolano (sfere, cilindri, anelli, ...) su un piano inclinato con attrito lo fanno con accelerazioni diverse. Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore. Tuttavia, per problemi più complicati in cui l'asse di rotazione cambia, il trattamento scalare è inadeguato, per esempio nei giroscopi, satelliti e tutti gli oggetti il cui allineamento cambia.

Il momento d'inerzia finora trattato è anche chiamato momento d'inerzia di massa per distinguerlo dal momento di inerzia di superficie usato ad esempio nella scienza delle costruzioni, che è chiamato anch'esso momento d'inerzia ed è indicato con lo stesso simbolo I. Nel sistema internazionale l'unità di misura del momento di inerzia di massa è il $kg*m^2$ mentre per il momento di inerzia di superficie è il $m^4$.

Nei moti rotatori, il momento d'inerzia gioca il ruolo che ha la massa nei moti lineari.

Elenco riassuntivo dei principali momenti di inerzia

Di seguito un elenco riassuntivo dei principali momenti di inerzia; per una trattazione più approfondita vedere più avanti nella pagina.

Massa puntiforme

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Massa puntiforme m a distanza r dall'asse di rotazione.		$I = m r^2$	Una massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il teorema degli assi paralleli (Huygens-Steiner) si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.
Due masse puntiformi, M e m, con massa ridotta $\mu$ e separate da una distanza, x.		$I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2$	—

Asta

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Asta di lunghezza L e massa m (asse di rotazione alla fine dell'asta)		$I_{\mathrm{estrem.}} = \frac{m L^2}{3} \,\!$	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione alla fine della piastra, e con h = L e w = 0.
Asta di lunghezza L e massa m		$I_{\mathrm{centrale}} = \frac{m L^2}{12} \,\!$	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con w = L e h = 0.

Circonferenza

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Circonferenza sottile di raggio r e massa m		$I_z = m r^2\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!$	Questa espressione vale anche per un anello abbastanza sottile da essere approssimabile a una circonferenza, ed è un caso particolare sia del toro per b = 0 (vedi più in basso), che del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=r2 e h = 0.

Disco

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco solido e sottile, di raggio r e massa m		$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!$	Questo è un caso particolare del cilindro solido, con h = 0.

Cilindro

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m		$I = m r^2 \,\!$	Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). È un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e r1=r2. Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia.
Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m		$I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!$   $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)$	Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=0. (Nota: in questa immagine gli assi X-Y sono scambiati rispetto agli assi cartesiani standard)
Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno r1, raggio esterno r2, lunghezza h e massa m		$I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)$   $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]$ o definendo lo spessore normalizzato tn = t/r e ponendo r = r2, allora $I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right)$	con densità ρ e la stessa geometria $I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right)$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} \pi\rho h\left(3({r_2}^4 - {r_1}^4)+h^2({r_2}^2 - {r_1}^2)\right)$

Sfera

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Sfera (cava) di raggio r e massa m		$I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!$	Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di cerchi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).
Sfera (piena) di raggio r e massa m		$I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!$	Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r). Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r.

Cono

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Cono circolare retto con raggio r, altezza h e massa m		$I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!$   $I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!$	—

Toro

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Toro con raggio del tubo (raggio del cerchio rosso) a, distanza dal centro del tubo al centro del toro (raggio del cerchio rosa) b e massa m.		Intorno al diametro: $\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m$   Intorno all'asse verticale: $\left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m$	—

Elissoide

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Ellissoide (solido) di semiassi a, b, e c, con asse di rotazione a e massa m		$I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!$	—

Piastra

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m (Asse di rotazione all'estremità della piastra)		$I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!$	—
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m		$I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!$	—

Parallelepipedo

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m		$I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)$ $I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)$ $I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)$	Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza $s$: $I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!$.
Parallelepipedo solido di altezza D, larghezza W, lunghezza L e massa m con asse lungo la diagonale più lunga.		$I = \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}$	Per un cubo di lato $s$, $I = \frac{m s^2}{6}\,\!$.

Poligono piano

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Poligono piano con vertici $\vec{P}_{1}$, $\vec{P}_{2}$, $\vec{P}_{3}$, ..., $\vec{P}_{N}$ e massa $m$ uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.		$I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|((\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n+1})+(\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n})+(\vec{P}_{n}\cdot\vec{P}_{n}))}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|}$	Questa espressione assume che il poligono sia stellato. I vettori $\vec{P}_{1}$, $\vec{P}_{2}$, $\vec{P}_{3}$, ..., $\vec{P}_{N}$ sono i vettori posizione dei vertici.

Disco con massa distribuita normalmente

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco infinito con massa distribuita normalmente su due assi intorno all'asse di rotazione (per esempio: $\rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2}$ dove $\rho(x,y)$ è la densità della massa in funzione di x e y).		$I = m (a^2+b^2) \,\!$	—

Momento d'inerzia scalare

Sistema di punti materiali

Sia z l'asse di rotazione fisso di un sistema di n punti materiali. Indichiamo con r_i (i = 1,2,....n) le distanze di tali punti dall'asse di rotazione e con m_i le loro masse. In questo caso il momento di inerzia rispetto all'asse z è definito come

$I_z = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2$;

Possiamo notare che i punti materiali che si trovano più lontani dall'asse di rotazione danno un maggiore contributo. Utilizzando il momento di inerzia è possibile esprimere in modo semplice il momento angolare di un sistema di n particelle che si comporta come un corpo rigido (in cui cioè le distanze reciproche tra i punti materiali non variano). Indicando con v_i le velocità tangenziali delle particelle e con ω la loro velocità angolare (uguale per tutti i punti se il corpo è rigido)

$L_z = \sum_{i=1}^n m_i r_i v_i = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \omega = \left ( \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \right ) \omega = I_z \omega$.

In modo analogo l'energia cinetica del corpo rotante è

$E_k = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \omega^2 =\frac{1}{2} \left (\sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \right )\omega^2 =\frac{1}{2} I_z \omega^2$

Corpo rigido

È possibile estendere la definizione di momento di inerzia di massa anche ad un corpo rigido di volume V, se si considera tale corpo come un sistema di punti materiali, ciascuno caratterizzato da un volume Δ V ed una massa Δ m = ρ Δ V (dove ρ è la densità); in tale caso il contributo di momento di tale elemento di volume al momento di inerzia totale è dato da ΔI_z= ρ Δ V r² (essendo r la distanza dell'elemento dall'asse di rotazione). Il momento di inerzia si ottiene allora sommando tutti i contributi e passando al continuo, cioè per Δ V → 0:

$I_z = \int_V \rho r^2 dV \$

Se il corpo è omogeneo (la sua densità è quindi una funzione costante) ed è caratterizzato da particolari simmetrie, allora il calcolo dell'integrale risulta particolarmente semplice.

Consideriamo ad esempio un cilindro omogeneo di massa M, raggio R e altezza H (per cui M = ρ π R² H). La misura del generico elemento di volume è data da H r dθ dr (vedi figura a destra) e il momento di inerzia rispetto all'asse del cilindro è dato da:

$I_z = \int_0^R \rho r^2 H r 2 \pi dr = 2 \pi \rho H \int_0^R r^3 dr = \frac {\pi \rho H R^4}{2}=\frac {1}{2}M R^2$

	$\frac {1}{2}M r^2$		$\frac {1}{12}M l^2$
	$\frac {1}{12}M (a^2 + b^2)$		$\frac {2}{5}M r^2$		$\frac {1}{2}M ({r_2}^2 + {r_1}^2)$

Calcolo del momento di inerzia di alcuni solidi omogenei

Rispetto all'asse di simmetria passante per il centro di massa

Momento d'inerzia del cono

Per calcolarlo consideriamo il momento finale come la somma dei momenti di inerzia dei dischi con altezza infinitesima dz (fissando l'origine del sistema di riferimento alla punta del cono orientato verso il basso). Il raggio del singolo disco varia linearmente al variare di z secondo il rapporto R diviso h (R raggio di base, h altezza cono). L'elemento infinitesimo di massa lo si calcola utilizzando ρ (densità volumetrica) moltiplicato per il volume del cilindro di altezza dz. Integrando il momento di inerzia del disco da 0 a h otteniamo il risultato finale.

$dI = \frac {dM \; r^2}{2} \qquad dm = \rho \pi r^2 dz \qquad r = \frac {R}{h} z$

$I = \frac {\rho \pi}{2} \int^h_0 \frac {R^4}{h^4} z^4 dz = \frac {\rho \pi R^4}{2 h^4} \frac {h^5}{5} = \frac {3 M}{\pi R^2 h} \frac {\pi R^4}{2 h^4} \frac {h^5}{5} = \frac {3}{10} M R^2$

Momento di inerzia della sfera

Il momento finale sarà ottenuto sommando i momenti di inerzia dei dischi di spessore infinitesimo dx (fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto). Il raggio del singolo disco varia secondo la funzione che descrive un arco di circonferenza nel primo quadrante, da un minimo di 0 (con x = R, raggio della sfera) ad un massimo di R stesso. L'elemento infinitesimo di massa è ottenuto utilizzando ρ (densità volumetrica) moltiplicato per il volume del cilindro di altezza dx. Integrando il momento di inerzia del disco da − R a R otteniamo il risultato finale.

$\operatorname dI = \frac {dM \; r^2}{2} \qquad dm = \rho \pi r^2 \operatorname dx \qquad r = \sqrt{R^2 - x^2} \qquad \rho = \frac {M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$

$I = \int^R_{-R} \frac {\rho \pi}{2} (R^2 - x^2)^2 \operatorname dx = \frac {\rho \pi}{2} \int^R_{-R} (R^4 - 2R^2x^2 + x^4) \operatorname dx =$

$= \frac {\rho \pi}{2} \bigg[ \bigg[R^4x\bigg]^R_{-R} - \bigg[\frac{2R^2x^3}{3}\bigg]^R_{-R} + \bigg[\frac{x^5}{5}\bigg]^R_{-R} \bigg] = \frac{3M}{ 4\pi R^3} \frac{\pi}{2} \bigg[ 2R^5 - \frac{4}{3}R^5 + \frac{2}{5}R^5 \bigg] =$

$= \frac{3M}{8R^3} \bigg[ \frac{30R^5 - 20R^5 + 6R^5}{15} \bigg] = \frac{3M}{8R^3} \frac{16R^5}{15} = \frac{2}{5} M R^2$

Momento di inerzia del parallelepipedo

Calcolato rispetto all'asse z passante per il baricentro del parallelepipedo. Si è tenuto conto solamente della definizione del momento di inerzia e della densità di massa:

$I=\int_V\rho r^2 \operatorname dr^3=\rho\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\int_{-\frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}}(x^2+y^2)\operatorname dx \operatorname dy \operatorname dz=$

$=c \rho\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\left[x^2y+\frac{y^3}{3}\right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\operatorname dx=c \rho\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}(x^2b+\frac{b^3}{12})\operatorname dx=$

$=c \rho \left[\frac{x^3}{3}b+x\frac{b^3}{12}\right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}=abc\rho(\frac{a^2}{12}+\frac{b^2}{12})=$

$=M(\frac{a^2}{12}+\frac{b^2}{12})$

Rispetto ad un asse parallelo all'asse di simmetria

Il momento rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo e la distanza al quadrato tra gli assi c ed a.

$I_z = I_{cm} + M d^{2}$.

Per approfondire, vedi Teorema di Huygens-Steiner.

Momento di inerzia di superficie per figure geometriche piane

Il momento di inerzia di superficie delle figure piane rispetto a un asse è utilizzato frequentemente nell'ingegneria civile e nell'ingegneria meccanica. Infatti esso è direttamente correlato alla resistenza della sezione di un elemento soggetto a flessione rispetto ai carichi ortogonali all'asse di riferimento. In pratica il momento d'inerzia è una grandezza che indica l'attitudine di una figura piana a ruotare rispetto ad un asse di riferimento, maggiore è il momento d'inerzia, minore è l'attitudine a ruotare che mostrerà la sezione.

Il caso tipico è quello della trave. Se le forze sulla trave hanno direzione y, si calcola il momento di inerzia della sezione secondo l'asse x (ortogonale a y) passante per il baricentro della sezione della trave.

In pratica, a parità di materiale, quanto più è elevato il momento di inerzia tanto più risulta resistente la trave. Inoltre, quanto più il materiale è lontano dall'asse passante per il suo baricentro, tanto più aumenta il momento di inerzia. Per accorgersene è sufficiente constatare che nelle formule seguenti per il calcolo del momento di inerzia l'altezza h delle diverse figure è con esponente 3.

Le travi in acciaio presentano spesso una sezione a I (profilati IPE, o NP), oppure ad H (profilati HE), proprio per sfruttare il più possibile il materiale ponendolo lontano dal baricentro della sezione.

Alcuni momenti di inerzia (del secondo ordine)

I momenti di inerzia sono calcolati rispetto all'asse orizzontale baricentrale (asse x) e, in particolare, quelli del rettangolo e del triangolo anche rispetto a un'asse parallelo a quello baricentrale tramite il teorema di Huygens-Steiner.

Rettangolo
$J_{11}=\frac{bh^3}{12}$
$J_{11}=\frac{bh^3}{3}$
Triangolo
$J_{11}=\frac{bh^3}{36}$
$J_{11}=\frac{bh^3}{12}$
Cerchio
$J_{11}=\frac{\pi r^4}{4}$
Ellisse
$J_{11}=\frac{\pi ab^3}{4}$

Variazione della giacitura e delle dimensioni di una figura geometrica piana

Vogliamo presentare alcuni esempi per far capire meglio come entrano in gioco nel calcolo del momento di inerzia la giacitura delle figure geometriche e le loro dimensioni.

Prendiamo come esempio una delle figure geometriche più semplici, il rettangolo, con un'area di 8 centimetri quadrati, un lato di 2 cm e l'altro di 4 cm. Lo disponiamo prima con il lato di 4 cm secondo la direzione dell'asse per il quale vogliamo calcolare il momento di inerzia e poi con tale lato ortogonale allo stesso asse.

Nel primo caso avremo b = 4 e h = 2, per cui $J_x=\frac{bh^3}{12}=\frac{4 \cdot 2^3}{12}=2,67$

Nel secondo caso avremo b = 2 e h = 4, per cui $J_x=\frac{bh^3}{12}=\frac{2 \cdot 4^3}{12}=10,67$, cioè un valore 4 volte maggiore rispetto al primo caso.

Seconda osservazione. Manteniamo l'area del rettangolo sempre uguale a 8 centimetri quadrati e il lato più lungo ortogonale all'asse, ma questa volta b = 1 e h = 8, in pratica abbiamo stirato il rettangolo.

$J_x=\frac{bh^3}{12}=\frac{1 \cdot 8^3}{12}=42,67$, cioè un valore 4 volte maggiore del secondo caso e 16 volte maggiore del primo, sempre con un rettangolo di uguale area.

Quanto appena detto si estende ovviamente anche ai corpi solidi.

Momento di inerzia di un poligono

Si consideri un poligono P contenuto nel piano x y, avente n vertici di coordinate $(x_i \; , y_i)$, si considerino inoltre i vettori $P_i \equiv (x_i \; , y_i)$, si dimostra che (formula dell'area di Gauss) numerando i vertici in modo che il generico vertice i sia adiacente al vertice i+1 l'area è data da

$A_=\frac {1}{2} \sum_{i=1}^n | \vec P_i \times \vec P_{i+1} |= \frac {1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i )$

dove con l'operazione $| \vec {P_i} \times \vec {P_{i+1}} |$ si intende la norma con il segno del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra $\vec {P_i}$ e $\vec {P_{i+1}}$ e inoltre per convenzione si assume che $(x_{n+1}\; , y_{n+1})=(x_1 \; , y_1)$ .

I momenti di inerzia di un generico poligono di n vertici rispetto agli assi x e y saranno rispettivamente

$I_x= \sum_{i=1}^n | \vec {P_i} \times \vec {P_{i+1}} | \frac {y_{i}^2 + y_{i} \cdot y_{i+1} + y_{i+1}^2}{12} = \sum_{i=1}^n (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i ) \frac {y_{i}^2 + y_{i} \cdot y_{i+1} + y_{i+1}^2}{12}$

$I_y= \sum_{i=1}^n | \vec {P_i} \times \vec {P_{i+1}} | \frac {x_{i}^2 + x_{i} \cdot x_{i+1} + x_{i+1}^2}{12} = \sum_{i=1}^n (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i ) \frac {x_{i}^2 + x_{i} \cdot x_{i+1} + x_{i+1}^2}{12}$

$I_{xy}= \sum_{i=1}^n | \vec {P_i} \times \vec {P_{i+1}} | \frac {x_{i} \cdot y_{i+1}+ 2 x_{i} \cdot y_{i}+ 2 x_{i+1} \cdot y_{i+1} + x_{i+1} \cdot y_{i}}{24} = \sum_{i=1}^n (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i ) \frac {x_{i} \cdot y_{i+1}+ 2 x_{i} \cdot y_{i}+ 2 x_{i+1} \cdot y_{i+1} + x_{i+1} \cdot y_{i}}{24}$

Analogamente per un prisma retto di altezza h avente come base un poligono contenuto nel piano x y avremo che i rispettivi momenti di inerzia sono

$I_x= h \; \sum_{i=1}^n | \vec {P_i} \times \vec {P_{i+1}} | \frac {h + 2 y_{i}^2 + 2 y_{i} \cdot y_{i+1} + 2 y_{i+1}^2}{24} = h \; \sum_{i=1}^n ( x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i ) \frac {h + 2 y_{i}^2 + 2 y_{i} \cdot y_{i+1} + 2 y_{i+1}^2}{24}$

$I_y = h \; \sum_{i=1}^n | \vec {P_i} \times \vec {P_{i+1}} | \frac {h + 2 x_{i}^2 + 2 x_{i} \cdot x_{i+1} + 2 x_{i+1}^2}{24} = h \; \sum_{i=1}^n ( x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i ) \frac {h + 2 x_{i}^2 + 2 x_{i} \cdot x_{i+1} + 2 x_{i+1}^2}{24}$

Tensore d'inerzia

Per un corpo in rotazione, la sua energia cinetica risulta essere una forma quadratica omogenea delle componenti del vettore velocità angolare. In generale si potrà allora scrivere

$T = \frac{1}{2}I_{ij}\omega^i\omega^j$

in cui si intende la sommatoria rispetto agli indici ripetuti. Per mostrare che I_ij sia un tensore covariante del secondo ordine è necessario mostrare che esso si trasforma come un vettore del suo genere. Tale verifica è però banale, in quanto l'energia cinetica è uno scalare, ed è pertanto invariante per un cambio di coordinate

$\frac{1}{2}I_{ij}\omega^i\omega^j = \frac{1}{2}\overline I_{kl}\overline\omega^k\overline\omega^l$

Per le leggi di trasformazione del vettore ω la precedente diventa

$I_{ij}\omega^i\omega^j = \overline I_{kl}\frac{\partial\overline x^k}{\partial x^i}\omega^i\frac{\partial\overline x^l}{\partial x^j}\omega^j$

Da questa è ora facile far discendere che

$\overline I_{kl} = I_{ij}\frac{\partial x^i}{\partial\overline x^k}\frac{\partial x^j}{\partial\overline x^l}$

ovvero che I_ij è un tensore covariante del secondo ordine.

Uno stesso oggetto può avere differenti momenti di inerzia a seconda dell'asse di rotazione. Per esempio, tre momenti di inerzia associati ai tre assi cartesiani (x,y,z) non sono necessariamente uguali a causa della non simmetria dell'oggetto.

$I_{xx} = \;$ momento di inerzia lungo la linea attraverso il centro di massa e parallela all'asse x

$I_{yy} = \;$ momento di inerzia lungo la linea attraverso il centro di massa e parallela all'asse y

$I_{zz} = \;$ momento di inerzia lungo la linea attraverso il centro di massa e parallela all'asse z

Per esempio, a densità costante, una sfera avrà momenti uguali qualsiasi asse di rotazione passante per il centro della sfera sia considerato. Per un cubo I_xx=I_yy=I_zz se è allineato con gli assi.

Le quantità I_xx, I_yy, I_zz fanno parte del tensore momento di inerzia I le cui componenti sono definite come:

$I_{ij} = \sum_l m_l((x_l)_k(x_l)_k \delta_{ij} - (x_l)_i(x_l)_j)$

dove l'indice l denota la componente l-esima della distribuzione di masse e $\delta_{ij}$ è il delta di Kronecker.

Se la massa m è unica e omogenea le componenti del momento di inerzia si esprimono come:

$I_{ij} = m \left ( x_k x_k \delta_{ij} - x_i x_j \right )$

In termini matriciali è anche

$\bar{\bar I} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \begin{bmatrix} (y_{i}^{2}+z_{i}^{2}) & -x_{i} y_{i} & -x_{i} z_{i} \\ -x_{i} y_{i} & (x_{i}^{2}+z_{i}^{2}) & -y_{i} z_{i} \\ -x_{i} z_{i} & -y_{i} z_{i} & (x_{i}^{2}+y_{i}^{2}) \end{bmatrix}$

per un sistema di $n$ punti con massa $m_{i}$ individuati dalle coordinate cartesiane $(x_{i},y_i,z_i)$. Poiché questo tensore è una matrice reale simmetrica, per il teorema spettrale è possibile trovare un sistema di coordinate cartesiane o (una base ortonormale) rispetto al quale la matrice è diagonale:

$\bar{\bar I} = \begin{bmatrix} I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{3} \end{bmatrix}$

dove gli assi (gli autovettori della matrice) sono chiamati assi principali e le costanti $I_1$, $I_{2}$ e $I_{3}$ (gli autovalori) sono chiamati momenti principali di inerzia e sono usualmente ordinati in ordine crescente

$I_{1} \leq I_{2} \leq I_{3}$

Chiamando i vettori unitari lungo gli assi principali $(\bar 1_{1}, \bar 1_{2}, \bar 1_{3})$ in quanto righe della matrice identità tridimensionale, la rotazione intorno a quello degli assi principali d'inerzia per il quale il momento d'inerzia non è né massimo, né minimo, non è stabile. Per un solido di rotazione omogeneo l'asse di rotazione è un asse principale d'inerzia.

Il momento d'inerzia rispetto ad un qualunque asse passante per il centro di massa si può anche esprimere come la distanza dal centro alla quale tale asse interseca la superficie di un ellissoide i cui semiassi, orientati lungo gli assi principali, sono lunghi $1\over\sqrt{I_{1}}$ , $1\over\sqrt{I_{2}}$ , $1\over\sqrt{I_{3}}$ . Tale ellissoide è detto ellissoide d'inerzia.

Impiego in meccanica del tensore d'inerzia

Usando il tensore $\bar{\bar I}$, si possono esprimere:

• il momento angolare: $\quad \quad \bar L = \bar {\bar I} \cdot \bar\omega$,
• il momento meccanico: $\quad \quad \bar M = \bar {\bar I} \cdot \bar \alpha + {\bar {\bar E}}_{\bar \omega} \cdot \bar {\bar I} \cdot \bar \omega$,
• l'energia cinetica rotazionale: $\quad \quad T = \frac{1}{2} \cdot \bar {\bar I} \cdot \bar\omega^2$,

Per dimostrare queste equazioni si rinvia alle rispettivi voci, per tutte è indispensabile matematicamente la conoscenza del prodotto tensoriale, e in più per la seconda e la terza anche quella dell'identità di Lagrange.

• L' Energia potenziale rotazionale infine esiste se e solo se: $\quad \quad (\nabla_\theta \times \bar {\bar I}) \cdot \bar \alpha + \bar {\bar I} \cdot (\nabla_\theta \times \bar \alpha) + (\nabla_\theta \times {\bar {\bar E}}_{\bar \omega}) \cdot \bar {\bar I} \cdot \bar \omega + {\bar {\bar E}}_{\bar \omega} \cdot (\nabla_\theta \times \bar {\bar I}) \cdot \bar \omega + {\bar {\bar E}}_{\bar \omega} \cdot \bar {\bar I} \cdot (\nabla_\theta \times \bar \omega) = 0$,

Voci correlate

• Inerzia
• Massa
• Principi della dinamica
• Sistema di riferimento
• Formula Shoelace

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