Legge di Planck

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La legge di Planck è una legge fisica, formalizzata dal fisico tedesco Max Planck, che afferma che l'energia associata a una radiazione elettromagnetica è trasmessa in pacchetti indivisibili chiamati quanti, ciascuno dei quali è associato a un singolo fotone.

La legge[modifica | modifica wikitesto]

La dimensione E di un quanto di energia dipende dalla frequenza ν della radiazione secondo la formula

E = h\nu

dove h è la costante di Planck. Fornisce, inoltre, una formula per la distribuzione statistica dell'energia di tali quanti.

Usando le unità SI, l'energia è misurata in joule, la frequenza è misurata in hertz, e la costante di Planck è misurata in joule secondi.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Può essere dimostrato che la relazione tra l'energia e la frequenza può essere derivata usando la relatività speciale.

Presentiamo la derivazione classica della legge. Per fare questo, storicamente ci si riferiva alla luce contenuta in una cavità, in equilibrio termico con le pareti (cioè con l'energia di radiazione assorbita uguale all'energia emessa), come se fosse un gas. Alle singole particelle materiali viene sostituito il campo elettromagnetico oscillante delle onde (stazionarie) riflesse fra le pareti, considerate a tutte le possibili frequenze (che in una cavità di lunghezza finita  L sono  \nu_n = \frac{c}{\lambda_n} = n\frac{c}{2L}). La distribuzione delle energie cinetiche delle particelle in un gas in equilibrio locale a temperatura T assume la distribuzione di Boltzmann, secondo la quale la probabilità di uno stato di energia  E (entro un intervallo  dE ) è

 P(E)dE  =  \frac{e^{-\frac{E}{kT}}}{\int_0^{\infty} e^{-\frac{E}{kT}} \,dE} \,dE

Applicata alla radiazione elettromagnetica dentro la cavità, questa formula dà la probabilità che ciascuna delle onde stazionarie sopra descritte abbia un contenuto di energia  E ; il numero delle specifiche frequenze, moltiplicato per le possibili direzioni di polarizzazione (due), corrisponde ai gradi di libertà termodinamici.

Il valore medio di energia immagazzinato dentro ogni lunghezza d'onda si calcola di conseguenza:

\langle E \rangle  =  \frac{\int_0^{\infty} E e^{-\frac{E}{kT}} \, dE}{\int_0^{\infty} e^{-\frac{E}{kT}} \, dE}

Svolgendo gli integrali si trova: \langle E \rangle  =  kT, che è il classico risultato per l'energia media contenuta in due gradi di libertà, valido per la teoria cinetica dei gas. Applicato alla radiazione in una cavità conduce subito, come è noto, al paradosso chiamato catastrofe ultravioletta: siccome i gradi li libertà corrispondono alle possibili frequenze, e non erano noti motivi per cui queste dovessero avere un limite superiore, l'energia totale ottenuta sommando un numero infinito di valori medi costanti  kT è infinita. L'attributo ultravioletta è dovuto al fatto che sono le frequenze più alte quelle responsabili del valore di fuga.

Il problema, nella sua sconcertante semplicità, rimase aperto per molti anni senza che si avessero idee riguardo a possibili soluzioni. La via d'uscita venne trovata da Planck, e fu un semplice artificio algebrico.

Per illustrarlo mostriamo brevemente per esteso i passaggi della vecchia soluzione degli integrali:

\frac{\int E e^{-\frac{E}{kT}} \,dE}{\int e^{-\frac{E}{kT}} \,dE} = \frac{-\frac{\partial}{\partial (1/kT)}\int e^{-\frac{E}{kT}} \,dE}{\int e^{-\frac{E}{kT}} \,dE} = -\frac{\partial}{\partial (1/kT)}\ln \int_0^{\infty} e^{-\frac{E}{kT}} \,dE = -\frac{\partial}{\partial (1/kT)}\ln kT = kT

L'artificio usato da Max Planck è stato semplicemente la sostituzione dell'integrale con una sommatoria discreta:

\int e^{-\frac{E}{kT}}\,dE \mapsto \sum e^{-\frac{\varepsilon}{kT}},

a cui segue \sum_0^\infty e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} = \frac{1}{1-e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}} (è stata usata la formula per sommare i termini delle serie geometriche: \sum_0^N x^{n} = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}). Con questo il calcolo diventa:

\langle E \rangle  =  \frac{\partial}{\partial (1/kT)}\ln\left( 1-e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} \right) = \frac{\varepsilon e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}}{1-e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}} = \frac{\varepsilon}{e^{\frac{\varepsilon}{kT}}-1}

Alla quantità costante \varepsilon venne attribuito un valore proporzionale alla frequenza \nu , \varepsilon = h\nu.

Adesso il valore dell'energia media che compete al grado di libertà non è più una costante, ma decresce all'aumentare della frequenza della radiazione che la contiene, permettendo di avere un valore finito dell'energia totale.

Precisiamo che all'epoca non esisteva nessuna giustificazione teorica per questa scelta di discretizzazione; semplicemente permetteva di risolvere il problema in modo elementare, lasciava inalterato il modello, e riproduceva esattamente i dati sperimentali. Lo stesso Planck era perplesso al riguardo. I fisici familiarizzarono poco a poco con l'idea di quanto di energia; la teoria divenne certezza con la spiegazione dell'effetto fotoelettrico, da parte di Einstein, e poi la comprensione teorica del funzionamento dell'atomo tramite la meccanica quantistica esplose.

Conseguenze della legge di Planck[modifica | modifica wikitesto]

La legge di Planck permetteva di risolvere due conseguenze paradossali della fisica classica: lo spettro di radiazione del corpo nero e il collasso degli elettroni nel nucleo atomico.

All'epoca si credeva che una massa irradiasse la stessa quantità di energia su tutto lo spettro di frequenze: ciò voleva dire che l'energia irradiata era indipendente dalla frequenza e, potendo la frequenza aumentare all'infinito, implicava che un corpo avesse un'energia infinita da irradiare. La teoria dei quanti introduceva una relazione fra frequenza ed energia, e mostrava che particelle identiche se vibrano a frequenze diverse possiedono una quantità minima di energia diversa.

Secondo la relatività generale, la massa si converte in energia e irradia una certa quantità in varie forme come onde luminose e calore. Questa proprietà comporterebbe una graduale perdita di energia da parte della materia e una graduale tendenza degli elettroni a collassare nel nucleo dell'atomo. Ad analoghe conclusioni porta anche la visione per la quale una massa irradia una quantità di energia distribuita in modo uniforme su tutte le frequenze.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 1998, pp. 645-648.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]