Angolo solido

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In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette passanti per uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su di una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l’angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide), determinato da una superficie che giace sull'unione di un numero finito di piani. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Misura dell'angolo solido[modifica | modifica wikitesto]

Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

La misura in steradianti dell'angolo solido \Omega è definita come A/R^2, dove A è l'area della porzione di superficie sferica di raggio R vista sotto l'angolo \Omega. Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano \theta in radianti come s/r, dove s è la lunghezza dell'arco di cerchio di raggio r sotteso da \theta. L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto ad un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.

Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura 4π. Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per (180/π)2, ovvero per 3282.8 (circa). Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel caso di un cono di apertura α, la misura dell'angolo solido Ω rispetto al vertice è pari a:
\Omega = 2 \pi \cdot(1 - \cos (\alpha/2)).

Questa formula può essere facilmente verificata calcolando l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a π. La formula diventa:

\Omega = 2 \pi \cdot(1 - \cos (\pi/2)) = 2 \pi \cdot(1 - 0) = 2 \pi che è pari alla meta' di 4π che è l'intero angolo solido.
  • Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici R1, R2 e R3 e visto dall'origine è stata formulata da Oosterom e Strackee:

\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right)  =  \frac{[ {\mathbf R}_{1}{\mathbf R}_{2}{\mathbf R}_{3}]}{ R_{1}R_{2}R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{2})R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{2} + ( {\mathbf R}_{2} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{1}}

dove:

[R1R2R3] è il prodotto misto dei tre vettori, ovvero il determinante della matrice Mij=Rj(i) le cui righe sono i vettori Ri;
Ri denota la distanza del punto i dall'origine e Ri è la rappresentazione vettoriale del punto i;
Ri·Rj denota il prodotto scalare.

Il sole e la luna sono visti dalla Terra all'incirca sotto lo stesso angolo solido, che corrisponde più o meno a 1/100000 della volta celeste.

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