Raggio terrestre

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Terra
The Earth seen from Apollo 17.jpg
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Il raggio della Terra è la distanza del centro della Terra dalla sua superficie al livello medio del mare. La Terra non è una sfera perfetta ma piuttosto un ellissoide appiattito in corrispondenza del Polo Nord e Sud, perciò chiamato anche sferoide oblato o geoide. La forma non perfettamente sferica della Terra comporta che il suo raggio vari a seconda di dove venga misurato.

Raggio equatoriale[modifica | modifica wikitesto]

Il raggio equatoriale (ovvero il raggio della circonferenza immaginaria quale l'equatore) della Terra è approssimativamente pari a 6378,388 chilometri.

Raggio polare[modifica | modifica wikitesto]

Il raggio polare della Terra (distanza del centro della Terra da uno dei due Poli) è approssimativamente pari a 6356,988 chilometri.

Raggio quadratico medio[modifica | modifica wikitesto]

Il raggio quadratico medio (Q_r) di un ellissoide è un metodo più accurato per esprimere il raggio della Terra.

Q_r = \sqrt{\frac{3a^2 + b^2}{4}}

dove a è il raggio equatoriale e b il raggio polare.

Per la Terra:

Q_r = 6\;372{,}795\;477\;598 \ \mathrm{km} \;.

Raggio medio[modifica | modifica wikitesto]

Il raggio medio è approssimativamente pari a 6371,005076123 kilometri. Questo numero è derivato mediando le distanze centro-superficie di tutti i punti del globo. In modo equivalente il raggio medio è

A_r = \sqrt{\frac{a^2+\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln{(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}b)}}{2}}= \sqrt{\frac{A}{4\pi}}

dove A è l'area della superficie terrestre. Questo sarebbe il raggio di una ipotetica sfera perfetta che avesse la stessa area della superficie della Terra.

Calcolo del raggio terrestre[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo di Eratostene[modifica | modifica wikitesto]

Il matematico, geografo ed astronomo Eratostene (III secolo a.C.), era direttore della grande biblioteca di Alessandria d'Egitto quando formulò il metodo per calcolare le dimensioni della Terra nel 240 a.C. - 230 a.C.

Dai suoi studi, era venuto a conoscenza del fatto che a Syene (l'attuale Assuan), a mezzogiorno del solstizio d'estate, il Sole si trovava proprio sullo zenit, tanto che il fondo di un pozzo profondo ne veniva illuminato, perciò un bastone piantato verticalmente in un terreno perfettamente pianeggiante non avrebbe proiettato alcuna ombra in terra.

Invece ad Alessandria questo non succedeva mai, gli obelischi proiettavano comunque la loro ombra sul terreno.

Ciò era già una dimostrazione pratica della rotondità della Terra (come ampiamente dimostrato da Aristotele). L'idea che la Terra dovesse avere una forma sferica era comunque già accettata. Questa convinzione scaturiva dall'osservazione delle eclissi di Luna durante le quali la forma dell'ombra terrestre appariva sempre come un arco di circonferenza.

Eratostene perciò, per procedere con i suoi calcoli, ipotizzò la Terra perfettamente sferica ed il Sole sufficientemente distante da considerare paralleli i raggi che la investono. Inoltre assunse che Alessandria e Syene si trovassero sullo stesso meridiano.

Durante il solstizio d'estate calcolò l'angolo di elevazione del Sole ad Alessandria, misurando l'ombra proiettata proprio da un bastone piantato in terra, ricavando approssimativamente un valore di 1/50 di circonferenza (cioè 7° 12').

La distanza tra le due città, basata sui trasferimenti delle carovane, era stimata in 5.000 stadia (circa 800 km, tuttavia il valore preciso dello stadium, usato a quell'epoca ad Alessandria, non è attualmente conosciuto).

Perciò la circonferenza della Terra doveva essere di 50 * 5.000 = 250.000 stadia (circa 40.000 km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: 40.075 km).
Una volta stabilito un valore per essa, il raggio terrestre si ricavava dalla nota relazione che lega la circonferenza ed il suo raggio.

La figura mostra il procedimento seguito da Eratostene per calcolare la dimensione del raggio della Terra.

In termini matematici, facendo riferimento alla figura, abbiamo:

\tan \alpha = \frac{l}{h} \quad \to \quad \alpha = \arctan{\frac{l}{h}}

dove

  • h :lunghezza del palo
  • l :lunghezza dell'ombra proiettata dal palo sul terreno
  • \alpha :angolo di elevazione del Sole

Poiché

\frac{D}{2\pi R} = \frac{\alpha}{360^o}

dove

  • D :distanza tra Alessandria (punto A) e Syene (punto S), aventi per ipotesi lo stesso meridiano
  • R :raggio della Terra, per ipotesi una sfera perfetta

si ottiene

R = \frac{D}{2\pi} \frac{360^o}{\arctan{\frac{l}{h}}}

I valori ricavati da Eratostene furono: circa 12629 km per il diametro terrestre ovvero un raggio pari a 6314,5 km (incredibilmente prossimo alla stima media condotta con mezzi attuali)

Il metodo elaborato da Eratostene si basa su alcune assunzioni (alcune già enunciate), senza le quali sarebbe necessario introdurre delle correzioni alla procedura di calcolo affinché sia ancora valido:

  • la Terra è perfettamente sferica
  • il Sole è tanto distante da considerare paralleli i raggi su Alessandria e su Syene
  • le due città si trovano sullo stesso meridiano (in realtà esse differiscono in longitudine di 3°)
  • Syene è situata esattamente sul Tropico del Cancro (mentre effettivamente è a 55 km a Nord di esso)
  • la differenza angolare misurata ad Alessandria è di 7° 12' (essa è in realtà di 7° 5')

Cronologia delle misurazioni del raggio terrestre[modifica | modifica wikitesto]

Geodesista Luogo Anno Raggio (metri)
(equatoriale - polare)
Schiacciamento
Eratostene Egitto 230 a.C. 6 314 500
Posidonio Egitto e Rodi 100 a.C. 7 064 055
Abelseda Arabia 827 7 122 910
Al-Biruni Persia 995 6 339 600
Albazen Arabia 1100 6 074 308
Fernal Francia 1528 6 448 480
Snell Olanda 1617 6 099 082
Norwood Inghilterra 1635 6 412 592
Ricolli e Firmaldi Lombardia 1658 6 865 301
Picard Francia 1669-1672 6 369 140
Cassini Francia 1681-1718 6 411 948
Everest 1830 6 377 276 - 6 356 075  1/300,8
Bessel 1841 6 377 397 - 6 356 079 1/299,15
Clarke 1866 6 378 206 - 6 356 584 1/294,98
Clarke 1880 6 378 301 - 6 356 584 1/293,47
Hayford 1909 6 378 388 - 6 356 912 1/297
Fischer 1960 6 378 160 - 6 356 778 1/298,3


dove lo schiacciamento è così definito:

\mbox{Schiacciamento} = \frac{\mbox{Raggio equatoriale - Raggio polare}}{\mbox{Raggio equatoriale}}

Per fare un confronto, pianeti come Giove e Saturno, la cui velocità di rotazione è maggiore di quella della Terra, hanno uno schiacciamento di 1/15 e 1/10 rispettivamente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • I dati da Eratostene a Cassini sono stati tratti da un articolo di David Manthey reperibile qui: http://www.orbitals.com/books/tps/research.html
  • Quelli da Everest a Fischer invece dal seguente libro: Franklyn M. Branley, The Earth: Planet Number Three, 1966, T. Y. Crowell Company.