Operatore hamiltoniano

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L'operatore hamiltoniano $\hat{H}$ è l'operatore associato all'energia totale di un sistema. E' definito come la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale del sitema.
Esso è una matrice hermitiana che, se moltiplicata per il vettore colonna rappresentante lo stato del sistema, fornisce un vettore dell'energia totale del sistema. Come in tutte le osservabili fisiche, gli autostati dell'operatotre sono l'insieme dei possibili risultati della misura dell'energia totale che può assumere il sistema.

[modifica] Definizione

Se l'energia totale (classica) è la somma di tutte le energie, cinetiche T e potenziali V (come spesso avviene in meccanica classica), allora l'operatore $\hat{H}$ è la somma di tutti gli operatori hamiltoniani relativi alle singole energie cinetiche e potenziali.

$\hat{H} = \hat{E}_p + \hat{E}_c$

Nelle situazioni più semplici (per esempio il caso di una particella libera o quello di una particella carica vincolata da un potenziale) l'operatore Hamiltoniano si ottiene sostituendo opportunamente le variabili classiche presenti nell'Hamiltoniana classica con gli operatori quantistici, seguendo il tipico schema:

$x \to \hat x ;$

$p_x \to -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} ;$

$p_y \to -i\hbar\frac{\partial}{\partial y} ;$

$p_z \to -i\hbar\frac{\partial}{\partial z}$

Prendendo, per esempio, l'energia cinetica nel limite non relativistico, classicamente essa ha la forma:

$E_c = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}$

Passando agli operatori, secondo il procedimento sopra indicato, si avrà:

$\hat E_c = -\frac{\nabla^2}{2m}$

dove l'operatore nabla $\nabla^2$ è l'operatore di derivazione Laplaciano

$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

In modo analogo possiamo costruire l'operatore associato all'energia potenziale per ottenere infine l'operatore Hamiltoniano completo che risulterà essere la somma di tutte le energie.

[modifica] Separabilità dell'operatore hamiltoniano

Se occorre descrivere un sistema composto da più sotto-sistemi, generalmente non è possibile considerare i sotto-sistemi come indipendenti l'uno dall'altro: l'enegia cinetica totale è la somma delle singole energie cinetiche, ma nell'energia potenziale rientrano termini di mutua interazione.

Se $\hat{H}$ fosse separabile, allora l'operatore hamiltoniano totale sarebbe la somma aritmetica degli operatori hamiltoniani di ciascun sottosistema. Di conseguenza la funzione d'onda totale del sistema sarebbe la produttoria di tutte le funzioni d'onda, e l'energia totale la sommatoria delle energie. In prima approssimazione è possibile considerare un hamiltoniano composto da parti indipendenti e perciò separabili, ma questo nella realtà non avviene, poiché nella stragrande maggioranza dei casi i termini di interazione hanno una fondamentale importanza. D'altra parte è possibile condurre una trattazione approssimata, detta teoria perturbativa.

L'obiettivo è quello di arrivare a questo:

$\hat{H} = \sum_i^n \hat{h}_i$

ovvero una somma di termini completamente indipendenti. Nello specifico, in un sistema composto da nuclei e da elettroni che orbitano intorno ad essi, la massa dei nuclei è molto maggiore rispetto alla massa degli elettroni e, per questo motivo, a parità di quantità di moto, hanno una velocità pressoché nulla rispetto agli elettroni, e per questo si possono considerare fermi.

Stabilendo convenzionalmente:

massa dell'elettrone = 1
momento angolare = 1
carica elettrone = 1

Sulla base di questa ipotesi, solo gli elettroni hanno un proprio moto. A questo punto si calcola $\hat{H}$ :

$\hat{H} = \hat{E}_{cN} + \hat{E}_{cE} + \hat{E}_{p(N-N)} + \hat{E}_{p(N-E)} + \hat{E}_{p(E-E)}$

Innanzitutto è possibile tralasciare l'energia cinetica dei nuclei e l'energia potenziale tra coppie di nuclei. Per il resto abbiamo:

$\hat{E}_{cE} = \sum_{i}^n-{{ \nabla_i^2} \over {2}}$

$\hat{E}_{p(N-E)} = \sum_{i,A}^n{{q_A} \over {r_{Ai}}}$

$\hat{E}_{p(E-E)} = \sum_{i<j}^n{{1} \over {r_{ij}}}$

Alla fine si ottiene:

$\hat{H} = \sum_{i} \left(-{{ \nabla_i^2} \over {2}} - \sum_{A}{{q_A} \over {r_{Ai}}}\right) + \sum_{i<j}^n{{1} \over {r_{ij}}}$

L'operatore hamiltoniano (l’energia) è il generatore dell’evoluzione temporale, nel senso che se F è una funzione delle posizioni e dei momenti, una traslazione infinitesima nel tempo $\partial t$ genera una proporzionale traslazione infinitesima $\partial F$ della funzione, secondo:

$\partial F = [H,F] \cdot \partial t$

ove le parentesi sono di Poisson nel caso della meccanica hamiltoniana e sono commutatori (fratto $i\hbar$ ) in meccanica quantistica.

Equivalentemente, l'evoluzione infinitesima indietro nel tempo ha come generatore meno-l’hamiltoniana (il che non equivale a invertire le equazioni del moto. Quindi abbiamo inversione del tempo come inversione dello spettro dell’energia. Se definiamo t’ = -t il tempo crescente, la dinamica nella sua direzione è generata da -H:

$\partial F = [-H,F] \partial (-t)$ .

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