Operatore di evoluzione temporale

L'operatore di evoluzione temporale in meccanica quantistica è un operatore, che agisce su uno stato del sistema e opera l'evoluzione di questo stato negli istanti successivi. Dobbiamo chiarire che in meccanica quantistica (non relativistica) non esiste un operatore tempo, cioè il tempo non è una osservabile ma un parametro.

Definizione

Consideriamo una particella quantistica o un sistema fisico descritto all'istante $t_0$ da un vettore di stato $|\vec \alpha, t_0 \rangle$ e consideriamo il vettore di stato al tempo $t$ identificato con $|\alpha, t \rangle$. L'evoluzione è operata dall'operatore di evoluzione temporale:

(1)$|\alpha, t \rangle = U(t,t_0) |\alpha, t_0 \rangle$

perché $|\alpha, t \rangle$ deve potersi determinare da $|\alpha, t_0 \rangle$.

Vediamo le proprietà di questo operatore. Per la conservazione della probabilità, lo stato al tempo $|\alpha, t \rangle$ deve essere normalizzato a 1, quindi:

$\langle \alpha,t |\alpha,t \rangle = \langle \alpha,t_0 |U^{\dagger}(t,t_0) U(t,t_0 ) |\alpha, t_0 \rangle = \langle \alpha, t_0 |\alpha, t_0 \rangle = 1$

e questo implica che

(2)$U^{\dagger}(t,t_0) U(t,t_0) = \mathbf{1}$

cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Inoltre per $t \to t_0$ il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:

$\lim_{t \to t_0} U(t, t_0) = \mathbf{1}$

Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni temporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:

$U(t_2, t_1) U(t_1, t_0) = U(t_2, t_0) \$

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:

(3)$U(t_0 + dt, t_0) = \mathbf{1} - i \Omega \cdot dt$

dove $\mathbf{1}$ è l'operatore identità e $\Omega$ è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:

$U^{\dagger} U = \left(\mathbf{1} +i \Omega^{\dagger} \cdot dt \right) \left(\mathbf{1} - i \Omega \cdot dt \right) = \mathbf{1} + i (\Omega^{\dagger} - \Omega) dt + O((dt)^2) \simeq \mathbf{1}$

ossia:

$\Omega = \Omega^{\dagger}$

e questo prova anche che l'operatore $U(t,t_0)$ è un operatore unitario.

Per vedere quale sia il generatore dell'evoluzione temporale infinitesimo possiamo utilizzare l'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica temporale infinitesima delle coordinate generalizzate e degli impulsi:

$Q_i = q_i + \dot q_i dt \, , \, \, \, \, \, P_i = p_i + \dot p_i dt$

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

(4)$\Phi = \sum_i q_i \cdot P_i + H dt$

dove $\sum_i q_i \cdot P_i$ genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che $\Omega$ coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la costante di Planck razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:

(5)$U(t_0 + dt, t_0) = \mathbf{1} - \frac{i H dt}{\hbar}$

Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore U dipende unicamente dall'intervallo $t-t_0$ e non dall'istante iniziale $t_0$, che si può porre uguale a 0. In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come

(6)$U(t) \equiv U(t,0) = e^{-i H t / \hbar}.$

Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del Teorema di Stone.

Equazione di Schrödinger

Per approfondire, vedi Equazione di Schrödinger.

L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:

$U(t+dt, t_0) - U(t,t_0) = U(t+dt, t) U(t,t_0) - U(t,t_0) = \left(\mathbf{1} - \frac{i H dt}{\hbar} \right) U(t,t_0) - U(t,t_0) = - \frac{i}{\hbar} H dt U (t,t_0)$

dividendo per $dt$ e nel limite $dt \to 0$:

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0) = H U(t,t_0)$

Applicato ad un generico vettore di stato $|\alpha, t_0 \rangle$:

$i \hbar \left( \frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0) \right) |\alpha, t_0 \rangle = H U(t,t_0) |\alpha, t_0 \rangle \, \, \rightarrow \, \, i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\alpha, t \rangle = H |\alpha ,t \rangle$

dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.

Stati stazionari

L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. È lecito quindi porre $t_{0} = 0$ e scrivere $U(t) = U(t,0)$ senza perdere in generalità. Dall'equazione di Schrödinger si ricava

$U(t) = e^{- i H t / \hbar}$

e per i vettori di stato:

$|\alpha, t \rangle = e^{- i H t /\hbar} |\alpha, 0 \rangle$.

Si definiscono stati stazionari quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire $|\alpha, t \rangle$ e $|\alpha, 0 \rangle$ rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè

$|\alpha, t \rangle = c(t) |\alpha, 0 \rangle$.

Si dimostra che

uno stato è stazionario se e solo se è autostato di H.

Ad esempio, se $H |\alpha, 0 \rangle = E |\alpha, 0 \rangle$ si ha che

$U(t) |\alpha, 0 \rangle = e^{- i H t /\hbar} |\alpha, 0 \rangle = e^{- i E t /\hbar} |\alpha, 0 \rangle$.

Si vede così che la costante di proporzionalità c(t) è $e^{- i E t /\hbar}$.

Se lo stato di partenza non è un autostato di H, ma questa ha un insieme completo di autovettori $|n \rangle$, è possibile effettuare uno sviluppo in serie:

$|\alpha, 0 \rangle = \sum_n |n \rangle \langle n |\alpha, 0 \rangle = \sum_n c_n (0) |n \rangle$

al tempo $t$ l'evoluzione del vettore di stato è:

$|\alpha ,t \rangle = U(t,0) |\alpha ,0 \rangle = \sum_n c_n (0) e^{-i H t /\hbar} |n \rangle = \sum_n c_n (0) e^{-i E_n t / \hbar} |n \rangle$

cioè il coefficiente generico dello sviluppo varia nel tempo come:

$c_n (0) \, \, \, \Rightarrow \, \, \, c_n (t) = e^{-i E_n t / \hbar} c_n (0)$

I moduli quadri $|c_n (t)|^2$ dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo t, sono come sempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema: e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.

Se H ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà

$|\alpha , t \rangle = \int c(E) e^{-i E t / \hbar} |E \rangle dE$.

Nel caso in cui H abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.

Osservabili e costanti del moto

A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile A:

$\langle A \rangle_t = \langle \alpha , t |A| \alpha , t \rangle$

ed è chiaro che il valor medio di A è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione $\langle x \rangle = cost.$ e per l'impulso si ha

$\langle p \rangle = m \frac{d}{dx} \langle x \rangle = 0$.

Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono costanti del moto. Si dimostra che

tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con H, ovvero [A,H]=0.

Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con H.

Rappresentazione di Heisenberg

Per determinare il valor medio di A abbiamo scritto $\langle A \rangle_t = \langle \alpha , t |A| \alpha , t \rangle$ e introducendo l'operatore U si ha

$\langle A \rangle_t = \langle \alpha , 0 |U(t)^{\dagger} A U(t)| \alpha , 0 \rangle$

e posto $A(t) \equiv U(t)^{\dagger} A U(t)$, si ha

$\langle A \rangle_t = \langle \alpha , 0 |A(t)| \alpha , 0 \rangle$.

Questa scrittura significa che stiamo tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre sono le osservabili a dipendere dal tempo. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se $U(t) = e^{-i H t / \hbar}$, si trova l'equazione di Heisenberg

$\dot{A}(t) = \frac{i}{\hbar}[H, A(t)]$

che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di parentesi di Poisson.

Per una hamiltoniana nella forma $H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ si trovano due equazioni per q e p formalmente uguali alle equazioni di Hamilton:

$\dot{q}(t) = \frac{p(t)}{m}$

$\dot{p}(t) = - \frac{\partial}{\partial q} V[q(t)]$

Bibliografia

• J.J Sakuray - Meccanica quantistica moderna

• L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica

• L.E. Picasso, Lezioni di Meccanica quantistica

Voci correlate

• Osservabile
• Operatore posizione
• Operatore impulso
• Operatore hamiltoniano
• Operatore di inversione temporale
• Operatore di traslazione spaziale

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