Spin

In fisica, lo spin (giro (vorticoso) in inglese) è il momento angolare intrinseco di un corpo, al contrario del momento angolare orbitale, che è legato al moto del centro di massa attorno ad un punto. In meccanica classica, il momento angolare di spin di un corpo è associato alla rotazione del corpo attorno al proprio centro di massa. Per esempio lo spin della Terra è associato alla sua rotazione giornaliera attorno al proprio asse. Dall'altra parte il suo momento angolare orbitale è associato alla sua rivoluzione attorno al Sole.

Padre e Madre della serie Famiglia Spin (2009) dello scultore ed ex fisico Julian Voss-Andreae. I due oggetti raffigurati illustrano le geometrie di un oggetto con spin 5/2 (il “maschio” blu sulla sinistra) e di un oggetto con spin 2 (la “femmina” rosa sulla destra). La Famiglia Spin, in mostra nell'esposizione d'arte "Quantum Objects", paragona in modo scherzoso i fermioni al genere maschile e i bosoni al genere femminile, immaginando i primi oggetti con spin 1/2, 1, 3/2, 2 e 5/2 come una famiglia di cinque persone.

In meccanica quantistica lo spin è il momento angolare intrinseco associato alle particelle. Diversamente dagli oggetti rotanti della meccanica classica, che derivano il loro momento angolare dalla rotazione delle parti costituenti, lo spin non è associato con alcuna massa interna. Ad esempio, le particelle elementari, come gli elettroni, possiedono uno spin, anche se sono (allo stato attuale delle conoscenze) considerate particelle puntiformi. Inoltre, contrariamente alla rotazione classica, lo spin non viene descritto da un vettore, ma da un oggetto a due componenti (per particelle con spin semi-intero): esiste una differenza osservabile di come quest'ultimo si trasforma ruotando le coordinate.

Anche altre particelle subatomiche, come i neutroni, che non dispongono di carica elettrica, possiedono uno spin non nullo.

Lo spin non è previsto dalla meccanica quantistica non relativistica ed è introdotto come postulato. Esso è invece previsto dalla meccanica quantistica relativistica (equazione di Dirac).

Storia

Lo spin venne scoperto per la prima volta nel contesto dell'emissione spettrale dei metalli alcalini. Nel 1924, Wolfgang Pauli (probabilmente il più influente fisico nella teoria dello spin) introdusse ciò che chiamò un "grado di libertà quantico a due valori" associato con gli elettroni del guscio esterno. Questo permise di formulare il principio di esclusione di Pauli, che stabiliva che due elettroni non possono condividere gli stessi valori quantici.

L'interpretazione fisica del "grado di libertà" di Pauli era inizialmente sconosciuta. Ralph Kronig, uno degli assistenti di Alfred Landé, suggeri, agli inizi del 1925, che venisse prodotto dall'auto-rotazione degli elettroni. Quando Pauli venne a conoscenza dell'idea, la criticò severamente, notando che l'ipotetica superficie dell'elettrone avrebbe dovuto muoversi più velocemente della velocità della luce per poter ruotare abbastanza rapidamente da produrre il necessario momento angolare, contravvenendo così alla teoria della Relatività.

Nell'autunno dello stesso anno, lo stesso pensiero venne a due giovani fisici olandesi, George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit. Su consiglio di Paul Ehrenfest, pubblicarono i loro risultati, che incontrarono una risposta favorevole, specialmente dopo che L.H. Thomas riuscì a risolvere una discrepanza tra i risultati sperimentali e i calcoli di Uhlenbeck e Goudsmit (e quelli non pubblicati di Kronig). Questa discrepanza era dovuta alla necessità di prendere in considerazione l'orientamento della microstruttura tangente all'elettrone, in aggiunta alla sua posizione. L'effetto aggiunto dalla tangente è additivo e relativistico (ovvero svanisce se c va all'infinito); è pari a un mezzo del valore ottenuto se non si considera l'orientamento dello spazio tangente, ma con segno opposto. Quindi l'effetto combinato differisce da quest'ultimo per un fattore due (precessione di Thomas).

Nonostante le sue obiezioni iniziali, Pauli formalizzò la teoria dello spin nel 1927, usando la moderna teoria della meccanica quantistica, proposta da Erwin Schrödinger e Werner Karl Heisenberg. Egli introdusse l'uso delle matrici di Pauli come rappresentazione degli operatori di spin, e una funzione d'onda a due componenti (spinore).

La teoria di Pauli era non-relativistica. Comunque, nel 1928, Paul Dirac pubblicò l'equazione di Dirac, che descriveva l'elettrone relativistico. Nell'equazione di Dirac, uno spinore a quattro componenti, conosciuto come spinore di Dirac, veniva usato per la funzione d'onda dell'elettrone.

Nel 1940, Pauli provò il teorema spin-statistica, che enuncia che i fermioni hanno spin semi-intero e i bosoni spin intero.

Spin e funzione d'onda

Lo spin posseduto da ogni particella ha un valore s fissato che dipende solo dal tipo di particella e che non può essere alterato in nessun modo. Inoltre, il teorema dello spin statistico enuncia che le particelle con spin intero (i fotoni con spin=1 o l'ipotetico gravitone con spin=2) corrispondono ai bosoni, e le particelle con spin semi-intero (spin=1/2 per elettroni, neutrini, quark) corrispondono ai fermioni.

Per le particelle che possiedono spin la descrizione dello stato attraverso la funzione d'onda deve poter determinare anche la probabilità che lo spin della particella abbia un valore determinato se viene misurato, cioè abbia una direzione stabilita nello spazio. La funzione d'onda che descrive uno stato $|\psi \rangle$ comprende sia le variabili spaziali che di spin e si scrive:

$\psi (\vec x, \sigma) = \langle \vec x, \sigma |\psi \rangle = \begin{pmatrix} \psi_1 (\vec x) \\ \psi_2 (\vec x) \\ \vdots \\ \psi_{2s+1} (\vec x) \end{pmatrix}$

In accordo con l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda, il modulo quadro della funzione d'onda:

$|\psi (\vec x, \sigma )|^2$

rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione $\vec x$ con valore determinato dello spin σ. Pertanto

$\int d \vec x \, |\psi (\vec x, \sigma)|^2$

rappresenta la probabilità che la particella abbia posizione $\vec x$ con spin determinato. La condizione di normalizzazione si scrive:

$\sum_{\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} d \vec x \, |\psi_\sigma (\vec x, \sigma)|^2 = 1$

Spin come momento angolare

Per approfondire, vedi la voce momento angolare orbitale.

Quando vengono applicati alla rotazione spaziale, i principi della meccanica quantistica enunciano che i valori osservati del momento angolare (autovalori dell'operatore del momento angolare) sono ristretti a multipli interi o semi-interi di ħ (costante di Planck ridotta). Questo vale anche per lo spin: essendo un momento angolare, esso possiede tutte le proprietà del momento angolare, e la trattazione matematica sarà analoga.

L'operatore di spin viene indicato con il simbolo $\hat S$, e le relazioni di commutazione fondamentali sono:

$[\hat S_i , \hat S_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat S_k$

$[\hat S^2 , \hat S_i] = 0 \quad i = x, y, z$

dove $\hat S^2 = \hat S_{x}^{2} + \hat S_{y}^{2} + \hat S_{z}^{2}$.

Dal momento che $\hat S^2$ e $\hat S_i$ commutano, essi hanno gli stessi autostati, che indichiamo con $|s, s_z \rangle$, dove si è scelta la componente lungo z perché possiamo sempre scegliere di porci con il sistema di riferimento in modo opportuno. È possibile quindi scrivere le equazioni agli autovalori:

$\hat S^2 |s, s_z \rangle = \hbar^2 s (s+1) |s, s_z \rangle$

$\hat S_z |s, s_z \rangle = \hbar s_z |s, s_z \rangle$

Dove s è un numero non negativo intero o semi-intero che può assumere i valori 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ecc. e:s_z i valori -s, - s+ 1, ..., s-1, s, cioè ha 2s+1 valori.

Caso di spin 1/2

Per approfondire, vedi la voce matrici di Pauli.

Il caso più importante è quello in cui il numero quantico di spin è 1/2, caratteristico di tutti i fermioni conosciuti: una interpretazione intuitiva e semplicistica dello spin 1/2 è immaginare l'elettrone in rotazione su un nastro di Möbius e che quindi ritrova la sua posizione dopo una rotazione di 720 gradi. Con spin 0 l'elettrone manterrà sempre la stessa direzione di rotazione mentre con spin 1 la ritroverà dopo 360 gradi. Analogamente spin 3/2 dopo 240 gradi e spin 2 dopo 180 gradi.

Nel caso di spin 1/2 gli autovalori s e s_z valgono rispettivamente 1/2 e ±1/2, e dall'equazione agli autovalori si trovano immediatamente le espressioni dei relativi operatori $\hat S^2$ e $\hat S_z$:

$\hat S^2 = \hbar^2 s (s+1) = \hbar^2 \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}+1\right) = \frac{3}{4} \hbar^2$

$\hat S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}= \frac{\hbar}{2} \sigma_z$

Per costruire le altre componenti si introducono, in analogia col momento angolare, gli operatori di innalzamento e abbassamento:

$\hat S_{\pm} = \hat S_x \pm i \hat S_y$

che hanno espressione matriciale:

$\hat S_+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \hat S_- = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

i quali innalzano o abbassano di $\hbar$ l'autovalore di $\hat S_z$. Dalla definizione di $\hat S_{\pm}$ si ottengono le espressioni di $\hat S_x$ e $\hat S_y$:

$\hat S_x = \frac{\hat S_+ + \hat S_-}{2} = \frac{\hbar}{2} \left[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right] = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}= \frac{\hbar}{2} \sigma_x$

$\hat S_y = \frac{\hat S_+ - \hat S_-}{2i} = \frac{\hbar}{2i} \left[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right] = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}= \frac{\hbar}{2} \sigma_y$

Si ottiene quindi che gli operatori di spin si scrivono:

$\hat S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i$

dove $\vec \sigma$ sono le matrici di Pauli.

Formalismo a due componenti di Pauli

Scelti come vettori di base nel caso di spin 1 / 2 i vettori

$|+ \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \chi_+$

$|- \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \chi_-$

con i rispettivi bra di base:

$\langle + |= \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \chi_{+}^{\dagger}$

$\langle - |= \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \chi_{-}^{\dagger}$

per un vettore di stato arbitrario $|\alpha \rangle$ si ha:

$|\alpha \rangle = |+ \rangle \langle + |\alpha \rangle + |- \rangle \langle - |\alpha \rangle = \begin{pmatrix} \langle + |\alpha \rangle \\ \langle - |\alpha \rangle \end{pmatrix}$

$\langle \alpha | = \langle \alpha |+ \rangle \langle + | + \langle \alpha |- \rangle \langle -| = \begin{pmatrix} \langle \alpha | + \rangle & \langle \alpha |- \rangle \end{pmatrix}$

Si possono introdurre gli spinori di rango 2 come:

$\chi = \begin{pmatrix} \langle + |\alpha \rangle \\ \langle - |\alpha \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} = c_+ \chi_+ + c_- \chi_-$

$\chi^{\dagger} = \begin{pmatrix} \langle \alpha | + \rangle & \langle \alpha |- \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{+}^{*} & c_{-}^{*} \end{pmatrix}$

Composizione di due spin 1/2

Per approfondire, vedi la voce Composizione di momenti angolari.

Se si vogliono combinare due momenti angolari di spin si definisce il momento di spin totale:

$\hat{\mathbf{S}} = \hat{\mathbf{S}}_{1} + \hat{\mathbf{S}}_{2},$

Vi sono quattro configurazioni possibili per la coppia di spin, una con S = 0 e M_S = 0, detta singoletto, e tre con S = 1 e componenti lungo l'asse z rispettivamente M_S = − 1,0,1, dette tripletto. Il sigoletto è caratterizzato da una funzione d'onda antisimmetrica e corrisponde allo stato:

$\left| 0, 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| +; - \right\rangle - \left| -; + \right\rangle \right).$

Il tripletto è caratterizzato da una funzione d'onda simmetrica e corrisponde agli stati:

$\left| 1, 1 \right\rangle = \left| +; + \right\rangle$

$\left| 1, 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| +; - \right\rangle + \left| -; + \right\rangle \right)$

$\left| 1, -1 \right\rangle = \left| -; - \right\rangle.$

Applicazioni

In generale l'introduzione dello spin non agisce sulle variabili spaziali e quindi tutte le informazioni relative ai moti unidimensionali e tridimensionali non vengono modificate: semmai lo spin introduce una variabile interna al sistema e questa informazione in più si aggiunge alle informazioni sugli stati.
L'effetto dello spin tuttavia si fa sentire notevolmente quando si vogliono trattare i casi più realistici: nella struttura fine l'interazione di spin-orbita mette in evidenza l'accoppiamento tra il momento magnetico del momento angolare e quello legato allo spin.

Gli effetti dello spin sono legati a molti fenomeni quali:

• l'effetto Stark, nel quale la dipendenza dallo spin è legata alla modifica dei livelli energetici degli atomi per opera di un campo elettrico uniforme
• l'effetto Zeeman, soprattutto quello denominato anomalo per gli effetti sui livelli energetici degli atomi quando sono sottoposti ad un campo magnetico uniforme; qui la dipendenza dallo spin è notevole essendo esso legato alle proprietà magnetiche degli atomi
• l'effetto Paschen-Back, per campi magnetici molto intensi.

Un'altra possibile applicazione dello spin è quella di portatore di informazione binaria in uno spin transistor. L'elettronica basata sugli spin transistor è chiamata spintronica.

Anche l'informatica quantistica, in alcune sue versioni, potrebbe basarsi sullo spin per realizzare un qubit.

Bibliografia

• Luigi Rolla, Chimica e mineralogia. Per le Scuole superiori, 29^a ed., Dante Alighieri, 1987.

Voci correlate

• Matrici di Pauli
• Molteplicità di spin
• Momento angolare totale
• Momento angolare orbitale
• Composizione di momenti angolari
• Bosoni
• Fermioni

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