Spin

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In fisica, lo spin (trottola in inglese) è il momento angolare intrinseco di un corpo, al contrario del momento angolare orbitale, che è legato al moto del centro di massa attorno ad un punto. In meccanica classica, il momento angolare di spin di un corpo è associato alla rotazione del corpo attorno al proprio centro di massa. Per esempio lo spin della Terra è associato alla sua rotazione giornaliera attorno al proprio asse. Dall'altra parte il suo momento angolare orbitale è associato alla sua rivoluzione attorno al Sole.

In meccanica quantistica lo spin è il momento angolare intrinseco associato alle particelle. Diversamente dagli oggetti rotanti della meccanica classica, che derivano il loro momento angolare dalla rotazione delle parti costituenti, lo spin non è associato con alcuna massa interna. Ad esempio, le particelle elementari, come gli elettroni, possiedono uno spin, anche se sono (allo stato attuale delle conoscenze) considerate particelle puntiformi[1]. Inoltre, contrariamente alla rotazione classica, lo spin non viene descritto da un vettore, ma da un oggetto a due componenti (per particelle con spin semi-intero): esiste una differenza osservabile di come quest'ultimo si trasforma ruotando le coordinate.

Altre particelle subatomiche, come i neutroni, che hanno carica elettrica nulla, possiedono uno spin non nullo.

Lo spin non è previsto dalla meccanica quantistica non relativistica ed è introdotto come postulato. Esso è invece previsto dalla meccanica quantistica relativistica (equazione di Dirac).

Indice

[modifica] Regole di commutazione per lo spin

Quando vengono applicati alla rotazione spaziale, i principi della meccanica quantistica enunciano che i valori osservati del momento angolare (autovalori dell'operatore del momento angolare) sono ristretti a multipli interi o semi-interi di ħ (costante di Planck ridotta). Questo vale anche per lo spin: essendo un momento angolare, esso possiede tutte le proprietà del momento angolare. In particolare lo spin viene indicato con la variabile S e vale la regola fondamentale di commutazione per le componenti dello spin:

[S_i , S_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k

Si introduce l'operatore quadrato del momento angolare di spin S^2 = S_{x}^{2} + S_{y}^{2} + S_{z}^{2} e per analogia con il momento angolare esso può assumere esclusivamente i valori

\hbar^2 s (s+1)

dove s è un numero non negativo intero o semi-intero (0, 1/2, 1, 3/2, 2, ecc.). L'operatore proiezione dello spin Sz come gli altri operatori di proiezione commutano con S2:

[S^2 , S_i] = 0, \quad i = x, y, z

per cui possiamo diagonalizzare simultaneamente S2 con uno qualsiasi degli operatori proiezione Si: in genere si sceglie Sz perché possiamo sempre scegliere di porci con il sistema di riferimento in modo opportuno.

Sempre in analogia con il momento angolare, per un dato s l'operatore proiezione dello spin Sz può assumere gli autovalori:

s_z = m_s \hbar

che sono:

-s, - s+ 1, \dots, s-1, s

cioè assume (2s + 1) valori.

Lo spin posseduto da ogni particella ha un valore s fissato che dipende solo dal tipo di particella e che non può essere alterato in nessun modo. Inoltre, il teorema dello spin statistico enuncia che le particelle con spin intero (i fotoni con spin=1 o l'ipotetico gravitone con spin=2) corrispondono ai bosoni, e le particelle con spin semi-intero (spin=1/2 per elettroni, neutrini, quark) corrispondono ai fermioni.

Per esempio, ci sono solo due possibili valori per le particelle di spin 1/2: sz = +1/2 e sz = -1/2.

Per le particelle che possiedono spin la descrizione dello stato attraverso la funzione d'onda deve poter determinare anche la probabilità che lo spin della particella abbia un valore determinato se viene misurato, cioè abbia una direzione stabilita nello spazio. La funzione d'onda che descrive uno stato |\alpha \rangle comprende sia le variabili spaziali che di spin e si scrive:

\psi_{\alpha} (\vec x, \sigma) = \langle \vec x, \sigma |\alpha \rangle

In modo più esplicito si usa la notazione:

\begin{pmatrix} \psi_{\sigma_1} (\vec x) \\ \psi_{\sigma_2} (\vec x) \\ \vdots \\ \psi_{\sigma_{2s+1}} (\vec x) \end{pmatrix}

dove si mettono in evidenza le varie componenti dello spin. In accordo con l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda il modulo quadro della funzione d'onda:

|\psi (\vec x, \sigma )|^2

rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione \vec x con valore determinato dello spin σ. Pertanto

\int d \vec x \, |\psi_{\sigma} (\vec x, \sigma)|^2

rappresenta la probabilità che la particella abbia posizione \vec x con spin determinato. La condizione di normalizzazione si scrive:

\sum_{\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} d \vec x \, |\psi_{\sigma} (\vec x, \sigma)|^2 = 1

[modifica] Operatori di spin e matrici di Pauli

Gli operatori di spin si rappresentano come matrici di dimensione (2s + 1) nella base in cui S2 ed Sz sono diagonali: indichiamo questi stati con |s, s_z \rangle. Allora le equazioni agli autovalori sono:

S^2 |s, s_z \rangle = \hbar^2 s (s+1) |s, s_z \rangle
S_z |s, s_z \rangle = \hbar s_z |s, s_z \rangle

Nel caso più importante in cui lo spin è uguale a \frac{1}{2} (elettroni, protoni, neutroni,...) gli operatori di spin hanno dimensione due e si scrivono:

\vec S = \frac{\hbar}{2} \vec \sigma

dove \vec \sigma sono le matrici di Pauli:

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, \, , \, \, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \, \, , \, \, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

e in accordo con la commutazione dello spin:

[σi,σj] = 2iεijkσk

L'operatore S2 in questa base diventa:

S^2 = S_{x}^{2} + S_{y}^{2} + S_{z}^{2} = \frac{\hbar^2}{4} \left(\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} + \sigma_{z}^{2} \right) = \frac{3}{4} \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{3}{4} \hbar^2

infatti gli autovalori di S2 nel caso di spin 1 / 2 sono \hbar^2 s (s+1) = \hbar^2 \frac{3}{4}, e gli autovalori di S_z = s_z \hbar = \pm \frac{1}{2} \hbar che vengono indicati spesso con |+ \rangle e |- \rangle e corrispondano a spin su e spin giù.

[modifica] Formalismo a due componenti di Pauli

Scelti come vettori di base nel caso di spin 1 / 2 i vettori

|+ \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \chi_+
|- \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \chi_-

con i rispettivi bra di base:

\langle + |= \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \chi_{+}^{\dagger}
\langle - |= \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \chi_{-}^{\dagger}

per un vettore di stato arbitrario |\alpha \rangle si ha:

|\alpha \rangle = |+ \rangle \langle + |\alpha \rangle + |- \rangle \langle - |\alpha \rangle = \begin{pmatrix} \langle + |\alpha \rangle \\ \langle - |\alpha \rangle \end{pmatrix}
\langle \alpha | = \langle \alpha |+ \rangle \langle + | + \langle \alpha |- \rangle \langle -| = \begin{pmatrix} \langle \alpha | + \rangle & \langle \alpha |- \rangle \end{pmatrix}

Si possono introdurre gli spinori di rango 2 come:

\chi = \begin{pmatrix} \langle + |\alpha \rangle \\ \langle - |\alpha \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_+ \\ c_- \end{pmatrix} = c_+ \chi_+ + c_- \chi_-
\chi^{\dagger} = \begin{pmatrix} \langle \alpha | + \rangle & \langle \alpha |- \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{+}^{*} & c_{-}^{*} \end{pmatrix}

[modifica] Storia

Lo spin venne scoperto per la prima volta nel contesto dell'emissione spettrale dei metalli alcalini. Nel 1924, Wolfgang Pauli (probabilmente il più influente fisico nella teoria dello spin) introdusse ciò che chiamò un "grado di libertà quantico a due valori" associato con gli elettroni del guscio esterno. Questo permise di formulare il principio di esclusione di Pauli, che stabiliva che due elettroni non possono condividere gli stessi valori quantici.

L'interpretazione fisica del "grado di libertà" di Pauli era inizialmente sconosciuta. Ralph Kronig, uno degli assistenti di Alfred Landé, suggeri, agli inizi del 1925, che venisse prodotto dall'auto-rotazione degli elettroni. Quando Pauli venne a conoscenza dell'idea, la criticò severamente, notando che l'ipotetica superficie dell'elettrone avrebbe dovuto muoversi più velocemente della velocità della luce per poter ruotare abbastanza rapidamente da produrre il necessario momento angolare, contravvenendo così alla teoria della Relatività.

Nell'autunno dello stesso anno, lo stesso pensiero venne a due giovani fisici olandesi, George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit. Su consiglio di Paul Ehrenfest, pubblicarono i loro risultati, che incontrarono una risposta favorevole, specialmente dopo che L.H. Thomas riuscì a risolvere una discrepanza tra i risultati sperimentali e i calcoli di Uhlenbeck e Goudsmit (e quelli non pubblicati di Kronig). Questa discrepanza era dovuta alla necessità di prendere in considerazione l'orientamento della microstruttura tangente all'elettrone, in aggiunta alla sua posizione. L'effetto aggiunto dalla tangente è additivo e relativistico (ovvero svanisce se c va all'infinito); è pari a un mezzo del valore ottenuto se non si considera l'orientamento dello spazio tangente, ma con segno opposto. Quindi l'effetto combinato differisce da quest'ultimo per un fattore due (precessione di Thomas).

Nonostante le sue obiezioni iniziali, Pauli formalizzò la teoria dello spin nel 1927, usando la moderna teoria della meccanica quantistica, proposta da Erwin Schrödinger e Werner Karl Heisenberg. Egli introdusse l'uso delle matrici di Pauli come rappresentazione degli operatori di spin, e una funzione d'onda a due componenti (spinore).

La teoria di Pauli era non-relativistica. Comunque, nel 1928, Paul Dirac pubblicò l'equazione di Dirac, che descriveva l'elettrone relativistico. Nell'equazione di Dirac, uno spinore a quattro componenti (conosciuto come "spinore di Dirac") veniva usato per la funzione d'onda dell'elettrone.

Nel 1940, Pauli provò il teorema dello spin statistico, che enuncia che i fermioni hanno spin semi-intero e i bosoni spin intero.

Una interpretazione intuitiva e semplicistica dello spin 1/2 è immaginare l'elettrone in rotazione su un nastro di Möbius e che quindi ritrova la sua posizione dopo una rotazione di 720 gradi. Con spin 0 l'elettrone manterrà sempre la stessa direzione di rotazione mentre con spin 1 la ritroverà dopo 360 gradi. Analogamente spin 3/2 dopo 240 gradi e spin 2 dopo 180 gradi.

[modifica] Applicazioni

In generale l'introduzione dello spin non agisce sulle variabili spaziali e quindi tutte le informazioni relative ai moti unidimensionali e tridimensionali non vengono modificate: semmai lo spin introduce una variabile interna al sistema e questa informazione in più si aggiunge alle informazioni sugli stati. L'effetto dello spin tuttavia si fa sentire notevolmente quando si vogliono trattare i casi più realistici: nella struttura fine l'interazione di spin-orbita mette in evidenza l'accoppiamento tra il momento magnetico del momento angolare e quello legato allo spin. Gli effetti dello spin sono legati a molti fenomeni quali l'effetto Stark nel quale la dipendenza dallo spin è legata alla modifica dei livelli energetici degli atomi per opera di un campo elettrico uniforme, l'effetto Zeeman soprattutto quello denominato anomalo per gli effetti sui livelli energetici degli atomi quando sono sottoposti ad un campo magnetico uniforme e qui la dipendenza dallo spin è notevole essendo esso legato alle proprietà magnetiche degli atomi e per campi magnetici molto intensi anche l'effetto Paschen-Back.

Un'altra possibile applicazione dello spin è quella di portatore di informazione binaria in uno spin transistor. L'elettronica basata sugli spin transistor è chiamata spintronica.

Anche l'Informatica quantistica, in alcune sue versioni, potrebbe basarsi sullo spin per realizzare un qubit.

[modifica] Note

  1. ^ Questo nel modello quantistico classico. Quando alle particelle elementari viene attribuita un'estensione, come in teoria delle stringhe, il concetto di spin diventa più intuitivo.

[modifica] Voci correlate

Numeri quantici
Numero quantico principale | Numero quantico azimutale e magnetico | Numero quantico di spin | Numero quantico rotazionale | Momento angolare totale
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