Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen (paradosso EPR) è un esperimento mentale che dimostra come una misura eseguita su una parte di un sistema quantistico possa propagare istantaneamente un effetto sul risultato di un'altra misura, eseguita successivamente su un’altra parte dello stesso sistema, indipendentemente dalla distanza che separa le due parti.

Questo effetto, derivante dalla interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica e divenuto poi noto come entanglement quantistico, venne considerato paradossale in quanto, oltre che controintuitivo, ritenuto incompatibile con un postulato della relatività ristretta (che considera la velocità della luce la velocità limite alla quale può viaggiare un qualunque tipo d'informazione) e, più in generale, con il principio di località.

Considerazioni generali[modifica | modifica sorgente]

Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen proposero questo esperimento ideale in un articolo pubblicato nel 1935 intitolato "La descrizione quantistica della realtà fisica può ritenersi completa?", appunto con l’intento di dimostrare che la meccanica quantistica, portando, oltre che a validi risultati, anche a conseguenze paradossali, non è una teoria fisica completa.[1] Cinque mesi dopo, Niels Bohr rispose all'argomento di EPR con un articolo intitolato allo stesso modo.[2] La posizione di Bohr è stata a lungo considerata come ulteriore vittoria del suo scontro con Einstein, benché oggi si riconosca apertamente che la sua posizione era piuttosto oscura e non può essere certo considerata soddisfacente come risposta a EPR. Sempre nello stesso anno, Erwin Schrödinger pubblicò l'articolo in cui descrive il famoso paradosso del gatto, cercando di chiarire l'idea della sovrapposizione di stati nella meccanica quantistica. Si deve a David Bohm, nel 1951, una riformulazione del paradosso in termini più facilmente verificabili sperimentalmente.[3]

Il paradosso EPR descrive un effetto fisico che, come accennato, ha aspetti paradossali nel senso seguente: se in un sistema quantistico ipotizziamo alcune deboli e generali condizioni, come realismo, località e completezza, ritenute ragionevolmente vere per qualunque teoria che descriva la realtà fisica senza contraddire la relatività, giungiamo a una contraddizione. Tuttavia è da notare che "di per sé" la meccanica quantistica non è intrinsecamente contraddittoria, né risulta in contrasto con la relatività.

Benché proposto originariamente per mettere in luce l'incompletezza della meccanica quantistica, ulteriori sviluppi teorici e sperimentali seguiti all'articolo originale (come il teorema di Bell e l'esperimento sulla correlazione quantistica di Aspect[4]) hanno portato una gran parte dei fisici a considerare il paradosso EPR solo un illustre esempio di come la meccanica quantistica contrasti in modo stridente con le esperienze quotidiane del mondo macroscopico, per quanto la questione non sia definitivamente chiusa.

Descrizione del paradosso[modifica | modifica sorgente]

Misure su uno stato correlato o entangled[modifica | modifica sorgente]

Considereremo la versione semplificata dell'esperimento ideale di EPR formulata da David Bohm.
Si supponga di avere una sorgente che emette coppie di elettroni, uno dei quali viene inviato alla destinazione A, dove c'è un'osservatrice di nome Alice, e l'altro viene inviato alla destinazione B, dove c'è un osservatore di nome Bob. Secondo la meccanica quantistica, possiamo sistemare la sorgente in modo che ciascuna coppia di elettroni emessi occupi uno stato quantistico detto singoletto di spin. Questo si può descrivere come sovrapposizione quantistica di due stati, indicati con I e II. Nello stato I, l'elettrone A ha spin parallelo all'asse z (+z) e l'elettrone B ha spin antiparallelo all'asse z (-z). Nello stato II, l'elettrone A ha spin -z e l'elettrone B ha spin +z. È quindi impossibile associare ad uno dei due elettroni nel singoletto di spin uno stato di spin definito: gli elettroni sono quindi detti entangled, cioè intrecciati.

Riproposizione dell'esperimento suggerito da Einstein, Podolsky e Rosen, eseguito con elettroni. Una sorgente invia elettroni verso due osservatori, Alice (a sinistra) e Bob (a destra), i quali sono in grado di eseguire misure della proiezione dello spin degli elettroni lungo un asse.

Alice misura lo spin lungo l'asse ottenendo uno dei due possibili risultati: +z o -z. Supponiamo che ottenga +z; secondo la meccanica quantistica la funzione d'onda che descrive lo stato di singoletto dei due elettroni collassa nello stato I (le diverse interpretazioni della meccanica quantistica dicono questo in diversi modi, ma il risultato alla fine è lo stesso) e tale stato quantistico determina le probabilità dei risultati di qualunque altra misura fatta sul sistema. In questo caso, se Bob successivamente misurasse lo spin lungo l'asse z, otterrebbe -z con una probabilità del 100%. Analogamente, se Alice misurasse -z, Bob otterrebbe +z, sempre con una probabilità del 100%.

Naturalmente non c'è niente di speciale nella scelta dell'asse z. Ad esempio, supponiamo che Alice e Bob decidano di misurare lo spin lungo l'asse x. Secondo la meccanica quantistica, lo stato di singoletto di spin può essere espresso adeguatamente come sovrapposizione di stati di spin lungo la direzione x, stati che chiameremo Ia e IIa. Nello stato Ia l'elettrone di Alice ha spin +x, quello di Bob ha spin -x, invece nello stato IIa l'elettrone di Alice ha spin -x, quello di Bob ha spin +x. Quindi, se Alice misura +x, il sistema collassa in Ia, e Bob misurerà -x, con probabilità del 100%; se Alice misura -x, il sistema collassa in IIa e Bob misurerà +x, con probabilità del 100%.

In meccanica quantistica, la proiezione dello spin lungo x e quella lungo z sono quantità osservabili tra loro incompatibili, per cui gli operatori associati non commutano, cioè uno stato quantistico non può possedere valori definiti per entrambe le variabili (principio di indeterminazione). Supponiamo che Alice misuri lo spin lungo z e ottenga +z, in modo che il sistema collassi nello stato I. Ora, invece di misurare lo spin lungo z, Bob misura lo spin lungo x : secondo la meccanica quantistica, c'è il 50% di probabilità che egli ottenga +x e il 50% di probabilità che ottenga -x. Inoltre, è impossibile predire quale sarà il risultato fino a quando Bob non esegue la misura.

È bene sottolineare che, benché si sia usato lo spin come esempio, si possono considerare molte altre quantità fisiche (osservabili), tra loro entangled. L'articolo originale di EPR, per esempio, usava l'impulso come quantità osservabile. Gli esperimenti odierni usano spesso la polarizzazione dei fotoni, perché più facile da preparare e quindi misurare.

Realismo e completezza[modifica | modifica sorgente]

Introdurremo ora due concetti usati da Einstein, Podolsky e Rosen, fondamentali per il loro attacco alla meccanica quantistica: il realismo o oggettivismo realistico e la completezza di una teoria fisica.

Gli autori non si sono riferiti direttamente al significato filosofico di un "elemento fisico di realtà". Piuttosto essi assunsero che se il valore di ogni quantità fisica di un sistema può essere predetto con assoluta certezza prima di fare una misura o prima di intervenire in qualche modo sul sistema medesimo, allora tale quantità esprime un elemento fisico di realtà. Notare che l'opposto, cioè la negazione dell'affermazione precedente, non porta necessariamente ad un assunto vero; possono esserci altre espressioni di elementi fisici di realtà, ma questo fatto non ha influenza sul resto dell'argomentazione.

In aggiunta, EPR definiscono una teoria fisica completa come una teoria in cui ogni elemento fisico di realtà sia preso in considerazione. Lo scopo del loro articolo è mostrare, usando queste due definizioni, che la meccanica quantistica non è una teoria fisica completa.

Vediamo come questi concetti si applicano all'esperimento pensato di cui sopra. Supponiamo che Alice decida di misurare lo spin lungo z (lo chiameremo z-spin). Dopo che Alice esegue la misura, lo z-spin dell'elettrone di Bob è noto, quindi è un elemento fisico di realtà. Analogamente, se Alice decidesse di misurare lo spin lungo x, l'x-spin di Bob sarebbe un elemento fisico di realtà dopo la sua misura.

Uno stato quantistico non può possedere contemporaneamente un valore definito per lo x-spin e lo z-spin. Se la meccanica quantistica è una teoria fisica completa nel senso dato sopra, l'x-spin e lo z-spin non possono essere elementi fisici di realtà allo stesso tempo. Questo significa che la decisione di Alice di eseguire la misura lungo l'asse x o lungo l'asse z ha un effetto istantaneo sugli elementi fisici di realtà nel luogo in cui si trova Bob ad operare con le sue misure. Tuttavia, questa è una violazione del principio di località o principio di separazione.

Località nel paradosso EPR[modifica | modifica sorgente]

Il principio di località afferma che i processi fisici non possono avere effetto immediato su elementi fisici di realtà in un altro luogo separato da quello in cui avvengono. A prima vista questa appare un'assunzione ragionevole (infatti a livello macroscopico lo è), in quanto conseguenza della relatività speciale, la quale afferma che le informazioni non si possono mai trasmettere a una velocità maggiore di quella della luce senza violare la causalità. Generalmente si crede che ogni teoria che violi la causalità sia anche internamente inconsistente, e quindi del tutto insoddisfacente.

Si trova che la meccanica quantistica viola il principio di località senza violare la causalità. La causalità è preservata perché non c'è alcun modo per Alice di trasmettere un messaggio (cioè informazioni) a Bob variando l'asse lungo cui fa la misura. Qualunque asse lei scelga, ha sempre il 50% di probabilità di ottenere "+" e il 50% di ottenere "-", cioè è del tutto impossibile per lei influire sul risultato che otterrà. Inoltre Bob può fare la sua misura una sola volta, in quanto il collasso della funzione d'onda provocato dalla misura perturba in maniera irreversibile lo stato misurato: c'è una proprietà basilare della meccanica quantistica, nota come "no cloning theorem", che rende impossibile per l'osservatore fare, diciamo, un milione di copie dell'elettrone che riceve, eseguire misure sullo spin di ciascuno e poi analizzare la distribuzione statistica dei risultati. Quindi, nell'unica misura che gli è permesso fare, c'è il 50% di probabilità di ottenere "+" e il 50% di ottenere "-", indipendentemente dal fatto che il suo asse sia allineato o meno con quello di Alice.

Tuttavia il principio di località si richiama fortemente all'intuizione fisica di livello macroscopico, ed Einstein, Podolsky e Rosen non volevano abbandonarlo. Einstein derise le predizioni della meccanica quantistica come "spaventosa azione a distanza". La conclusione che trassero fu che la meccanica quantistica non è una teoria completa.

Si deve far notare che la parola località ha diversi significati in fisica. Per esempio, in teoria quantistica dei campi "località" significa che campi in punti diversi dello spazio non interagiscono l'uno con l'altro. Tuttavia, le teorie di campo quantistiche che sono "locali" in questo senso violano il principio di località come definito da EPR.

Risoluzione del paradosso[modifica | modifica sorgente]

Variabili nascoste[modifica | modifica sorgente]

Esistono parecchi possibili modi per risolvere il paradosso. Quello ipotizzato da EPR è che la meccanica quantistica, nonostante il successo in una ampia e vasta varietà di scenari sperimentali, sia in realtà una teoria incompleta. In altre parole esisterebbe qualche teoria della natura ancora non scoperta, rispetto alla quale la meccanica quantistica gioca il ruolo di approssimazione statistica. Questa teoria più completa conterrebbe variabili che tengono conto di tutti gli "elementi fisici di realtà" e che danno origine agli effetti che la meccanica quantistica è in grado di predire solo a livello probabilistico. Una teoria con tali caratteristiche prende il nome di teoria delle variabili nascoste.

Disuguaglianze di Bell[modifica | modifica sorgente]

Nel 1964, John Bell ha dimostrato con il suo teorema come le predizioni della meccanica quantistica nell'esperimento mentale EPR siano in realtà leggermente differenti dalle predizioni di una classe molto vasta di teorie delle variabili nascoste: grosso modo, la meccanica quantistica predice correlazioni statistiche molto più forti tra i risultati di misure eseguite su differenti assi. Queste differenze, espresse adoperando relazioni di disuguaglianza note come Disuguaglianze di Bell, sono in linea di principio verificabili sperimentalmente, per cui sono stati approntati allo scopo tutta una serie di esperimenti, che, come detto sopra, in generale trattano misure di polarizzazione di fotoni. Tutti i risultati hanno indicato un comportamento in linea con le predizioni della meccanica quantistica standard.

Tuttavia questi fatti non chiudono il discorso in modo definitivo. Anzitutto il teorema di Bell non si applica a tutte le possibili teorie "realiste": è possibile infatti costruire teorie che eludono le sue implicazioni diventando indistinguibili dalla meccanica quantistica, per quanto risultino più marcatamente non-locali. Si reputa in proposito che vengano violate sia la causalità, sia i teoremi della relatività ristretta ai sistemi inerziali. Alcuni ricercatori hanno inoltre tentato di formulare teorie di variabili nascoste che sfruttino "scappatoie" in esperimenti concreti, come per esempio le assunzioni fatte nell'interpretare i dati sperimentali, ma nessuno è stato finora in grado di formulare una teoria realista locale capace di riprodurre tutti i risultati della meccanica quantistica.

Implicazioni per la meccanica quantistica[modifica | modifica sorgente]

Attualmente la maggior parte dei fisici ritiene che la meccanica quantistica sia corretta e che il paradosso EPR sia appunto solo un "paradosso" per il fatto che le intuizioni classiche (di livello macroscopico) non corrispondano alla realtà. Si possono trarre da ciò parecchie diverse conclusioni, che dipendono da quale interpretazione della meccanica quantistica si usi. Nella vecchia interpretazione di Copenaghen, prodotta da Niels Bohr, Werner Karl Heisenberg, Pascual Jordan e Max Born, si conclude che il principio di località (o di separazione) non debba valere e che avvenga effettivamente il collasso della funzione d'onda istantaneo. Nell'interpretazione a molti-universi, di Hugh Everett III, la località è mantenuta e gli effetti delle misure sorgono dal suddividersi e ramificarsi delle "storie" o linee d'universo degli osservatori.

Il paradosso EPR ha reso più profonda la comprensione della meccanica quantistica mettendo in evidenza le caratteristiche fondamentalmente non classiche del processo di misura. Prima della pubblicazione dell'articolo di Einstein-Podolsky-Rosen, una misura era abitualmente vista come un processo fisico di perturbazione inflitto direttamente al sistema sotto misura. In altri termini, se si fosse misurata la posizione di un elettrone, ad es. illuminandolo con luce, cioè con un fiotto di fotoni, l'urto dei fotoni con l'elettrone, necessario per illuminarlo e "vedere" dov'è, avrebbe disturbato lo stato quantomeccanico dell'elettrone, per esempio modificandone la velocità e producendo così incertezza sulla velocità; questa descrizione viene adoperata per esemplificare l'indeterminazione quantomeccanica su posizione e velocità, grandezze meccaniche necessarie a determinare l'evoluzione dello stato meccanico (grandezze coniugate). Tali spiegazioni, che ancora si incontrano in esposizioni non specialistiche, scolastiche e divulgative della meccanica quantistica, sono completamente demistificate dall'analisi di Einstein-Podolsky-Rosen, che mostra chiaramente come possa effettuarsi una "misura" su una particella senza disturbarla direttamente, eseguendo una misura su un'altra particella distante, ma entangled (intrecciata) con la prima.

Sono state sviluppate e stanno progredendo tecnologie che si basano sull'entanglement quantistico (intreccio di stati quantistici). Nella crittografia quantistica, si usano particelle entangled per trasmettere segnali che non possono essere intercettati senza lasciare traccia dell'intercettazione avvenuta. Nella computazione quantistica, si usano stati quantistici intrecciati (entangled) per eseguire calcoli in parallelo, che permettono elaborazioni con velocità che non si possono raggiungere con i computer classici.

Teorema del multiverso[modifica | modifica sorgente]

Esiste una spiegazione che riguarda gli universi multipli molto più complicata, per quanto abbastanza verosimile. Essa stabilisce che ogni volta che qualcosa è incerto, l'"Albero dell'Universo" (come talvolta è chiamato il fenomeno di tutte le ramificazioni possibili di eventi) produce un altro ramo ovvero si ramifica. Ciascuna ramificazione, appena prodotta, è un diverso universo simile al precedente, perché l'incertezza generalmente è piccola, all'inizio. Ogni possibilità è un accadimento che capita da qualche parte. Si tratta di una visualizzazione intuitiva. La teoria è molto più ampia, ma a causa della grande astrattezza di questi concetti non può essere affrontata in questa sede con maggior dettaglio.

Formulazione matematica[modifica | modifica sorgente]

Si può esprimere matematicamente la discussione di cui sopra adoperando il formalismo quantomeccanico di spin. Il grado di libertà di spin di un elettrone è associabile con uno spazio di Hilbert bidimensionale H, in cui ogni vettore dello spazio corrisponde ad uno stato quantico di spin. Gli operatori quantistici che corrispondono allo spin lungo le direzioni x, y e z, designati rispettivamente Sx, Sy e Sz, possono essere associati a loro volta alle matrici di Pauli:

 S_x = \frac{\hbar}{2}
\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad
S_y = \frac{\hbar}{2}
\begin{bmatrix} 0&-i\\i&0\end{bmatrix}, \quad
S_z = \frac{\hbar}{2}
\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}

dove \hbar rappresenta la costante d'azione di Planck divisa per .

Gli autostati di Sz sono espressi da


\left|+z\right\rang \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad
\left|-z\right\rang \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

mentre gli autostati di Sx sono espressi da


\left|+x\right\rang \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad
\left|-x\right\rang \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}

Lo spazio di Hilbert per una coppia di elettroni è  H \otimes H , cioè il prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert dei due singoli elettroni. Lo stato di spin di singoletto è


\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang -
\left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg)

dove i due termini nel membro a destra stanno per ciò che più sopra è stato chiamato stato I e stato II. A partire da queste equazioni, si può mostrare che lo spin di singoletto è scrivibile come


\left|\psi\right\rang = \frac{-1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+x\right\rang \otimes \left|-x\right\rang -
\left|-x\right\rang \otimes \left|+x\right\rang \bigg)

dove i termini del membro a destra sono quello che è stato chiamato stato Ia e stato IIa.

Per illustrare come questo comporti la violazione del realismo locale, è necessario mostrare che dopo la misura effettuata da Alice di Sz (o di Sx), il valore misurato da Bob di Sz (o di Sx) è determinato univocamente e per questo corrisponde ad un "elemento fisico di realtà". Questo fatto discende dalla teoria della misura adottata in meccanica quantistica. Quando viene effettuata la misura Sz, lo stato ψ del sistema collassa dentro un autovettore di Sz. Se il risultato della misura è +z, ciò significa che immediatamente subito dopo la misurazione lo stato ψ del sistema viene sottoposto ad una proiezione ortogonale nello spazio degli stati della forma

 \left| +z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in H

Per il singoletto di spin, il nuovo stato è

 \left| +z \right\rangle \otimes \left| -z \right\rangle.

Analogamente, se la misura di Alice dà -z, il sistema viene sottoposto ad una proiezione ortogonale su

 \left| -z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in H

che significa che il nuovo stato è

 \left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle

Questo implica che ora la misura di Sz dell'elettrone di Bob è determinata. Sarà -z nel primo caso e +z nel secondo caso.

Resta solo da mostrare che Sx e Sz non possono possedere contemporaneamente, per la meccanica quantistica, valori definiti. Si potrebbe mostrare in maniera diretta che non esiste nessun vettore che possa essere un autovettore di entrambe le matrici. Più in generale, si può usare il fatto che gli operatori non commutano,


\left[ S_x, S_z\right] = - i\hbar S_y \ne 0

secondo la relazione di incertezza di Heisenberg


\lang (\Delta S_x)^2 \rang \lang (\Delta S_z)^2 \rang \ge 
\frac{1}{4} \left|\lang \left[ S_x, S_z\right] \rang \right|^2

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A Einstein, B Podolsky, N Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? in Physical Review, vol. 47, n. 10, 15 maggio 1935, pp. 777–80. DOI: 10.1103/PhysRev.47.777 10.1103/PhysRev.47.777. URL consultato il 19 agosto 2010.
  2. ^ N. Bohr, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Physical Review, 48 (1935), pag. 700.
  3. ^ Bohm David. (1951). Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, page 29, and Chapter 5 section 3, and Chapter 22 Section 19.
  4. ^ Proposed experiment to test the non-separability of quantum mechanics, A. Aspect, Phys. Rev. D 14, 1944–1951 (1976)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Articoli selezionati[modifica | modifica sorgente]

  • A. Aspect, Bell's inequality test: more ideal than ever, Nature 398 189 (1999). [1]
  • J.S. Bell On the Einstein-Poldolsky-Rosen paradox, Physics 1 195 (1964).
  • J.S. Bell, Bertlmann's Socks and the Nature of Reality. Journal de Physique 42 (1981).
  • P.H. Eberhard, Bell's theorem without hidden variables. Nuovo Cimento 38B1 75 (1977).
  • P.H. Eberhard, Bell's theorem and the different concepts of locality. Nuovo Cimento 46B 392 (1978).
  • A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47 777 (1935). [2]
  • A. Fine, Hidden Variables, Joint Probability, and the Bell Inequalities. Phys. Rev. Lett 48, 291 (1982).
  • A. Fine, Do Correlations need to be explained?, in Philosophical Consequences of Quantum Theory: Reflections on Bell's Theorem, edited by Cushing & McMullin (University of Notre Dame Press, 1986).
  • L. Hardy, Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. Phys. Rev. Lett. 71 1665 (1993).
  • M. Mizuki, A classical interpretation of Bell's inequality. Annales de la Fondation Louis de Broglie 26 683 (2001).

Libri[modifica | modifica sorgente]

  • Bell, John S, Dicibile e indicibile in meccanica quantisica , Milano, Adelphi, 2010.
  • J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1994), pp. 174–187, 223-232. ISBN 0-201-53929-2
  • F. Selleri, Quantum Mechanics Versus Local Realism: The Einstein-Podolsky-Rosen Paradox (Plenum Press, New York, 1988)
  • A. Zeilinger, Il velo di Einstein - Il nuovo mondo della fisica quantistica (Einaudi, 2005). ISBN 88-06-17078-3
  • M. Kumar, Quantum. Da Einstein a Bohr, la teoria dei quanti, una nuova idea della realtà (Mondadori 2010).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

meccanica quantistica Portale Meccanica quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica quantistica