Rappresentazione di Schrödinger

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In meccanica quantistica, uno stato è dato da una combinazione lineare (o sovrapposizione) di autostati. Nella rappresentazione di Schrödinger (in inglese Schrödinger picture) gli stati del sistema evolvono nel tempo. L'evoluzione per un sistema quantistico chiuso è data da un operatore unitario chiamato operatore di evoluzione temporale.

Rappresentazioni alternative sono la rappresentazione di Heisenberg e la rappresentazione di interazione.

L'operatore di evoluzione temporale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore di evoluzione temporale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore U(t,t_0) è definito come:

 | \psi(t) \rangle = U(t,t_0) | \psi(t_0) \rangle

Ossia, quando l'operatore agisce sullo stato ket al tempo t_0 restituisce il ket evoluto al tempo successivo t. Per i bra, invece vale:

 \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0)

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Unitarietà[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Questo perché la norma dello stato non deve cambiare con il tempo essendo legata alla probabilità, che si deve conservare. Quindi:

 \langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle  = \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle

allora:

 U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)=I(U(t,t_0)).

Riduzione all'identità[modifica | modifica wikitesto]

U(t_0, t_0) = I dove I è l'operatore identità. Quindi:

 | \psi(t_0) \rangle = U(t_0,t_0) | \psi(t_0) \rangle

Composizione[modifica | modifica wikitesto]

L'evoluzione temporale da t_0 a t può essere vista come l'evoluzione da t_0 a t_1 e quindi da t_1 a t. Pertanto:

U(t,t_0) = U(t,t_1)U(t_1,t_0)

Equazione differenziale per l'operatore di evoluzione temporale[modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito si assumerà che t_0=0 e U(0 t) = U(t). L'equazione di Schrödinger si può scrivere come:

 i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) | \psi_e (0) \rangle = H U(t)| \psi_e (0)\rangle

Con H Hamiltoniana del sistema. Sia |\psi(0)\rangle lo stato al tempo t=0 abbiamo che vale:

 i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) = H U(t)

ovvero abbiamo scritto che l'operatore di evoluzione temporale rispetta l'equazione di Schrödinger, una soluzione di questa equazione è:

 U(t) = e^{-iHt / \hbar}.

Dove abbiamo usato anche che il fatto che a t=0, U(t) = I si riduce all'identità. Quindi otteniamo:

| \psi(t) \rangle = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rangle \, .

Si noti che |\psi(0)\rangle è un ket arbitrario. Tuttavia, se partiamo con un ket che sia autostato dell'Hamiltoniana, con autovolare E, abbiamo:

| \psi(t) \rangle = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rangle \, .

Quindi vediamo che gli autostati dell'Hamiltoniana sono stati stazionari, essi ricevono solamente un fattore di fase quando evolvono nel tempo quindi un sistema che si trovi al tempo t=0 in un autostato, rimane in quell'autostato.

Se l'Hamiltoniana dipende dal tempo ma Hamiltoniane a tempi diversi commutano allora l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere:

 U(t) = T\exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t^')\, dt^'}\right) \, .

con T operatore di ordinamento temporale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
  • Jun John Sakurai, 2.2 in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.