Rappresentazione di interazione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – "Rappresentazione di Dirac" rimanda qui. Se stai cercando la rappresentazione di Dirac delle matrici gamma, vedi Gamma_di_Dirac#La_rappresentazione_di_Dirac.

In meccanica quantistica, la rappresentazione di interazione o rappresentazione di Dirac (interaction picture, in inglese) è una rappresentazione della meccanica quantistica intermedia rispetto alla rappresentazione di Schrödinger e la rappresentazione di Heisenberg. Nella rappresentazione di interazione sia il vettore di stato che gli operatori evolvono nel tempo (seppure in modo diverso).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Gli operatori e i vettori di stato nella rappresentazione di interazione sono collegati da un cambio di base, dato da una trasformazione unitaria. Per passare alla rappresentazione di interazione si divide l'Hamiltoniana (che è la medesima sia nella rappresentazione di Schrödinger che in quella di Heisenberg, se non c'è una dipendenza esplicita dal tempo) in due parti:

H = H_{0} + H_{1}

la divisione in queste due parti è arbitraria ma è utile scegliere H_{0} in modo tale che sia esattamente risolubile e considerare H_{1} come una perturbazione.

Se l'Hamiltoniana ha una dipendenza temporale esplicita (come nel caso di un sistema che interagisce con un campo elettrico che varia nel tempo) è utile inserire i termini che presentano dipendenza temporale in H_{1}, lasciando H_{0} indipendente dal tempo.

Vettori di stato[modifica | modifica wikitesto]

Un vettore di stato nella rappresentazione di interazione è definito da[1]:

 | \psi (t) \rang_{I} = e^{i H_{0, S} t / \hbar} | \psi(t) \rang_{S}

(dove | \psi(t) \rang_{S} è il vettore di stato nella rappresentazione di Schrödinger.)

Operatori[modifica | modifica wikitesto]

Un operatore nella rappresentazione di interazione è definito da:

A_{I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} A_{S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar}.

Si noti che A_S tipicamente non dipenderà da t (come succede per tutti gli operatori nella rappresentazione di Schrödinger), a meno che non ci sia una esplicita dipendenza dal tempo.

Operatore Hamiltoniano[modifica | modifica wikitesto]

Per l'operatore H_0 le rappresentazioni di Schrödinger e quella di interazione coincidono:

H_{0,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{0,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar} = H_{0,S}

(questo può essere provato usando il fatto che gli operatori commutano tra loro). Questo particolare operatore quindi si può chiamare H_0 senza ambiguità.

Per l'Hamiltoniana perturbata H_{1,I}, abbiamo:

H_{1,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{1,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar}

dove l'Hamiltoniana perturbata nella rappresentazione di interazione diventa dipendente dal tempo (a meno che [H_{1,s},H_{0,s}]=0).

È possibile ottenere la rappresentazione di interazione anche per una Hamiltoniana dipendente dal tempo H_{0,S}(t), ma gli esponenziali devono essere sostituiti con i corrispondenti operatori unitari di evoluzione temporale dati da H_{0,S}(t) ovvero, più esplicitamente, da integrali con esponenziali T-ordinati.

Matrice densità[modifica | modifica wikitesto]

Si può mostrare che la matrice densità si trasforma nella rappresentazione di interazione come ogni altro operatore. In particolare siano \rho_I e \rho_S rispettivamente nella rappresentazione di interazione ed in quella di Schrödinger. Se c'è una probabilità p_n di essere nello stato |\psi_n\rang, allora

\rho_I(t) = \sum_n p_n(t) |\psi_{n,I}(t)\rang \lang \psi_{n,I}(t)| = \sum_n p_n(t) e^{i H_{0, S} t / \hbar}|\psi_{n,S}(t)\rang \lang \psi_{n,S}(t)|e^{-i H_{0, S} t / \hbar}  = e^{i H_{0, S} t / \hbar} \rho_S(t) e^{-i H_{0, S} t / \hbar}

Equazioni di evoluzione temporale nella rappresentazione di interazione[modifica | modifica wikitesto]

Evoluzione temporale degli stati[modifica | modifica wikitesto]

Trasformando l'equazione di Schrödinger nella rappresentazione di interazione si ottiene:

 i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = H_{1, I}(t) | \psi_{I} (t) \rang.

Questa espressione è nota come equazione di Schwinger-Tomonaga.

Evoluzione temporale degli operatori[modifica | modifica wikitesto]

Se l'operatore A_{S} non ha dipendenza esplicita dal tempo, allora l'evoluzione temporale per il corrispondente operatore A_I(t) è data da:

 i\hbar\frac{d}{dt}A_I(t)=\left[A_I(t),H_0\right].\;

nella rappresentazione di interazione gli operatori evolvono nel tempo come nella rappresentazione di Heisenberg con Hamiltoniana H'=H_0.

Evoluzione temporale della matrice densità[modifica | modifica wikitesto]

Trasformando l'equazione di Schwinger-Tomonaga nel linguaggio della matrice densità (o equivalentemente trasformando l'equazione di Von Neumann nella rappresentazione di interazione si ottiene:

 i\hbar \frac{d}{dt} \rho_I(t) = \left[ H_{1,I}(t), \rho_I(t)\right].

Uso della rappresentazione d'interazione[modifica | modifica wikitesto]

Lo scopo della rappresentazione di interazione è di scaricare tutta la dipendenza temporale dovuta ad H0 sugli operatori, lasciando che sia solo H1, I a determinare l'evoluzione temporale dei ket di stato.

La rappresentazione di interazione è conveniente quando si considerano gli effetti di un piccolo termine di interazione, H1, S, che viene aggiunto all'Hamiltoniana di un sistema analiticamente risolubile o del quale si conoscano le soluzioni, H0, S. Passando alla rappresentazione di interazione è possibile usare la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo per trovare gli effetti di H1, I.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • John S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed., Sausalito, CA, University Science Books, 2000, ISBN 1-891389-13-0.
  • Jun John Sakurai, 2.2 in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) The Interaction Picture, note delle lezioni dalla New York University
fisica Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica