Rappresentazione di Heisenberg

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In fisica, la rappresentazione di Heisenberg è una formulazione della meccanica quantistica in cui gli operatori (osservabili e altri) sono dipendenti dal tempo, mentre gli stati quantici ne sono indipendenti. Questa formulazione contrasta con la rappresentazione di Schrödinger nella quale gli operatori sono costanti e gli stati evolvono nel tempo. I due modelli differiscono solo per un cambio di base rispetto alla dipendenza temporale. La rappresentazione di Heisenberg è la formulazione della meccanica delle matrici in una base arbitraria, nella quale l'operatore hamiltoniano non è necessariamente diagonale.

Dettagli matematici[modifica | modifica wikitesto]

Nella rappresentazione di Heisenberg della meccanica quantistica lo stato quantico |\psi \rang non cambia con il tempo, mentre un osservabile A è tale da soddisfare

\frac{d}{dt}A_H(t)={i \over \hbar}[H,A_H(t)]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)

dove H è un operatore hamiltoniano e [·,·] è un commutatore di H e AH. In qualche senso, la rappresentazione di Heisenberg è più naturale e fondamentale di quella di Schrödinger, specialmente per quanto riguarda le teorie relativistiche.

Quest'approccio ha una similarità nella fisica classica: sostituendo il commutatore della formula con le parentesi di Poisson, l'equazione di Heisenberg diviene una formulazione generale dell'equazione Hamiltoniana.

Per il teorema di Stone-von Neumann, la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schrödinger sono unitariamente equivalenti

Derivazione dell'equazione di Heisenberg[modifica | modifica wikitesto]

Il valore atteso di un osservabile A (che è un operatore lineare hermitiano) per uno stato |\psi(t)\rang è dato da:

 \lang A \rang (t) = \lang \psi (t) | A | \psi(t) \rang

Dall'equazione di Schrödinger

 | \psi (t) \rang = e^{-iHt / \hbar} | \psi (0) \rang ,

dove H è un operatore hamiltoniano dipendente dal tempo ed ħ è la costante di Planck divisa per π, segue:

 \lang A \rang (t) = \lang \psi (0) | e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang,

Definendo,

 A_H(t) := e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar}.

segue (differenziando seguendo la regola di Leibnitz):

 {d \over dt} A_H(t) = {i \over \hbar} H e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_H + {i \over \hbar}e^{iHt / \hbar} A \cdot (-H) e^{-iHt / \hbar}

Si noti che \frac{\partial A}{\partial t} è la derivata parziale rispetto al tempo di A e non di A(t).

 = {i \over \hbar } e^{iHt / \hbar} \left( H A - A H  \right) e^{-iHt / \hbar}  + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_H = {i \over \hbar } \left( H A_H(t) - A_H(t) H \right)   + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_H

L'ultimo passaggio è valido in quanto  e^{-iHt/ \hbar} commuta con H. Da questa relazione si ha l'equazione di Heisenberg:

 {d \over dt} A_H(t) = {i \over \hbar } [ H  , A_H(t) ]  + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_H ,

dove [XY] è il commutatore dei due operatori ed è definito come [XY] := XY − YX.

Relazioni dei commutatori[modifica | modifica wikitesto]

Naturalmente, le relazioni che esplicitano i commutatori sono differenti dalla rappresentazione di Schrödinger a causa della dipendenza del tempo degli operatori. Ad esempio, si considerino gli operatori x(t_{1}), x(t_{2}), p(t_{1}) e p(t_{2}). L'evoluzione temporale di questi operatori dipende dall'operatore hamiltoniano del sistema. Per l'oscillatore armonico monodimensionale si ha:

H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2}

L'evoluzione degli operatori di posizione e momento è data da:

{d \over dt} x(t) = {i \over \hbar } [ H  , x(t) ]=\frac {p}{m}
{d \over dt} p(t) = {i \over \hbar } [ H  , p(t) ]= -m \omega^{2} x

Risolvendo rispetto alle seguenti condizioni iniziali:

\dot{p}(0)=-m\omega^{2} x_0
\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}

si ha:

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{\omega m}\sin(\omega t)
p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega\!x_{0}\sin(\omega t)

Ora si possono esplicitare i commutatori:

[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})
[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})
[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})

Per t_{1}=t_{2}, si ottengono le relazioni di commutazione canoniche (0;0;i\hbar).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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