Stato quantico

In meccanica quantistica uno stato quantico o stato quantistico è un oggetto matematico che rappresenta un sistema quantistico.

Definizione

Uno stato quantico è un vettore definito in uno spazio di Hilbert. Data una base dello spazio formata dagli autostati di un'osservabile, uno stato può essere uno stato puro, cioè un vettore di base, oppure uno stato misto, cioè una combinazione lineare dei vettori di base. L'applicazione dell'operatore relativo all'osservabile su uno stato puro fornisce un risultato univoco, l'autovalore corrispondente, mentre l'applicazione dell'operatore su uno stato misto fornisce una distribuzione di probabilità nello spazio delle fasi, usata per descrivere un ensemble di sistemi di cui non si conosce lo stato singolarmente.

Secondo la meccanica ondulatoria uno stato quantistico è rappresentato, nella base delle coordinate, da una particolare funzione complessa detta funzione d'onda, questa funzione riassume tutte le informazioni circa uno stato quantistico di una particella. Essa è una funzione particolare perché deve soddisfare alcune proprietà matematiche che le danno corrispondenti proprietà fisiche: in particolare essa è una funzione definita in uno spazio vettoriale infinito dimensionale e complesso detto spazio di Hilbert $\mathcal{H}$, inoltre appartiene alla categoria delle funzioni a quadrato sommabili cioè tali che:

$|\psi|^2 \in \mathcal{H}$

oppure essa può rappresentarsi come un vettore in uno spazio complesso infinito dimensionale, secondo la notazione di Dirac ogni stato quantistico è rappresentabile come $|\alpha \rangle$. Le due rappresentazioni sono identiche, alla base di tutto c'è la definizione delle funzioni d'onda nello spazio vettoriale di Hilbert.

La funzione d'onda così come un vettore di stato descrive lo stato completamente e questo è anche uno dei postulati fondamentali della meccanica quantistica. Le sue proprietà permettono di calcolare la probabilità che una particella si trovi in un certo intervallo, cioè abbia un valore definito (nel senso probabilistico): $dP = |\psi(q,t)|^2 \, dq$, dove q rappresentano le coordinate nello spazio delle fasi. In base alla definizione stessa di probabilità lo stato quantistico e quindi la sua funzione d'onda deve permettere di prevedere la posizione della particella anche a istanti di tempo successivi una volta nota la configurazione iniziale al tempo t = 0 e questa informazione implica che ci deve essere un'equazione lineare nel tempo che permetta di trovare la soluzione al tempo t (l'equazione di Schrödinger), in ogni caso deve valere la condizione di normalizzazione:

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(q,t)|^2 \, dq = 1$

che assicura di trovare la particella con la sua probabilità rispettiva in qualche punto dello spazio. Ogni funzione per la quale l'integrale $||\psi||^2 = \int |\psi(q,t)|^2 \, dq$ converge è una funzione a quadrato sommabile (o integrabile) e quindi rappresenta uno stato quantistico.

Inoltre si postula che due stati ψ e $c \cdot \psi$ , dove c è una costante complessa, rappresentino fisicamente lo stesso stato quantistico: qualora non venga espresso, in generale ogni stato è definito a meno di una costante arbitraria, che però al fine di rappresentare uno stato quantistico è ininfluente e spesso viene sottintesa. In base a questo e al fatto che se ψ₁ e ψ₂ sono due stati quantistici per il sistema, anche lo stato c₁ψ₁ + c₂ψ₂ è uno stato possibile per il sistema: cioè alla base della teoria quantistica si pone il principio di sovrapposizione: ogni stato quantistico è in generale dato dalla sovrapposizione di un numero infinito di stati $|\phi_i\rangle$:

$| \alpha \rangle = \sum_{i = 0}^{\infty} c_i |\phi_i \rangle$

dove gli c_i sono costanti complesse.

Voci correlate

• Osservabile
• Meccanica quantistica
• Notazione bra-ket

Portale Meccanica quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica quantistica