Operatore impulso

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L'operatore impulso in meccanica quantistica è un operatore con spettro continuo di autovalori che rappresenta l'osservabile impulso.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Per una singola particella priva di carica e spin si definisce l'osservabile impulso, scritto nella base delle coordinate, come

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla

dove:

In una dimensione spaziale:

\mathbf{p}={\hbar\over i}{\partial \over \partial x}=-i\hbar{\partial \over \partial x}.

Tale operatore è hermitiano purché se ne specifichi opportunamente il dominio[1].

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Noether per la lagrangiana afferma che per ogni simmetria della lagrangiana vi è una quantità conservata, che nel caso di una traslazione spaziale è

Q = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \dot{q}} dq = \varepsilon p = pdx

Identificando dx con \varepsilon, si osserva che l'impulso è la quantità conservata sotto traslazione.[2]
Si consideri ora di applicare l'operatore di traslazione T(\varepsilon) per una trasformazione infinitesima, dove \varepsilon rappresenta la lunghezza di tale traslazione, allora

 T(\varepsilon) | \psi \rangle =  \int dx T(\varepsilon) | x \rangle \langle x | \psi \rangle = \int dx | x + \varepsilon \rangle \langle x | \psi \rangle = \int dx | x \rangle \langle x - \varepsilon | \psi \rangle = \int dx | x \rangle  \psi(x - \varepsilon)

Se T(\varepsilon) è una funzione analitica, o semplicemente una differenziabile, allora è possibile sviluppare in serie di Taylor la funzione \psi(x+\varepsilon) attorno a x:

\psi(x+\varepsilon) = T(\varepsilon)\psi(x) = \psi(x) + \varepsilon {d \over dx}\psi(x) = exp\left(\varepsilon {d \over dx}\right)\psi(x)

Matematicamente, l'oggetto esponenziando il quale si ottiene una trasformazione è il generatore della trasformazione, dunque d/dx genera la traslazione infinitesima T(\varepsilon). Inoltre l'operatore impulso deve essere anche hermitiano, e a tal proposito vi è un teorema che afferma che se è possibile scrivere l'operatore T come

T = e^{iK} \

allora se T è unitario allora K è hermitiano, e se K è hermitiano allora T è unitario.
Uguagliando gli esponenziali delle ultime due espressioni si evince che il generatore delle traslazioni K, che è hermitiano, deve avere la forma

K = {d \over idx} = -i{d \over dx}

essendo 1/i = -i.
L'operatore K differisce dimensionalmente da p per una costante, la costante di Planck ridotta \hbar: è possibile quindi definire l'operatore impulso nella meccanica quantistica come:

 \hat{p} = - i \hbar { d \over dx }

Si ha di conseguenza:

p |\alpha \rangle = \int dx' \, |x' \rangle \left(- i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |\alpha \rangle \right)

oppure anche:

\langle x' |p |\alpha \rangle = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |\alpha \rangle

Queste sono le rappresentazioni dell'operatore impulso nella rappresentazione delle coordinate. Gli elementi di matrice dell'operatore impulso in termini di vettori d'onda |\alpha \rangle e |\beta \rangle o di funzioni d'onda:

\langle \beta |p |\alpha \rangle = \int dx' \, \langle \beta |x' \rangle \left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \right) \langle x' |\alpha \rangle = \int dx' \, \psi_{\beta}^{*}(x') \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \right) \psi_{\alpha} (x')

Nella rappresentazione delle coordinate l'operatore impulso in una dimensione si scrive:

p_x = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}

e nel caso tridimensionale:

\vec p = - i \hbar \vec \nabla

L'operatore impulso come trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformata di Fourier.

A questo punto è possibile mostrare come la trasformata di Fourier dell'osservabile impulso, in meccanica quantistica, è l'operatore posizione. La trasformata, infatti, tramuta le basi dell'impulso nelle basi delle coordinate, cioè dell'operatore posizione:

 \langle  x | \hat{p} | \psi \rangle = - i \hbar {d \over dx} \psi ( x )

e viceversa:

 \langle  p | \hat{x} | \psi \rangle =  i \hbar {d \over dp} \psi ( p )

È inoltre utile la seguente relazione:

 \langle p | \hat{x} | p' \rangle = i \hbar {d \over dp} \delta (p - p')

dove \delta è la delta di Dirac.

Equazione agli autovalori per l'operatore impulso[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione agli autovalori dell'operatore impulso nella rappresentazione degli impulsi è:

\hat p|p' \rangle = p' |p' \rangle

dove al solito \hat p è l'operatore impulso, -\infty \le p' \le \infty è l'autovalore che può prendere valori continui e |p' \rangle è l'autovettore associato. Le autofunzioni dell'operatore impulso ottenute considerando al posto di |\alpha \rangle l'autovettore |p' \rangle:

\langle x' |p |p' \rangle = p' \langle x' |p' \rangle = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |p' \rangle

che si può scrivere in termini di funzioni d'onda come:

\langle x' |p |p' \rangle = p' \phi_{p'} (x') = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \phi_{p'} (x')

La soluzione di questa equazione differenziale fornisce l'autofunzione dell'impulso che si può scrivere:

\psi_{p'} (x') = \langle x'| p' \rangle = C e^{\frac{i}{\hbar} p' x'}

dove C è una costante di normalizzazione. In accordo con l'interpretazione della funzione d'onda come ampiezza di probabilità, il significato fisico della precedente espressione è che la probabilità di trovare una particella con un valore determinato dell'impulso p' nella regione compresa tra x' e x' + dx' è pari a:

P(x', x' + dx') = |\psi_{p'} (x') |^2 dx = |N|^2 dx \

purché la probabilità totale sia normalizzata a uno.

Normalizzazione degli autostati dell'impulso[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto riguarda la normalizzazione degli autostati |p' \rangle dell'impulso bisogna risolvere:

\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{p'}^{*} (x') \psi_{p'} (x'') dp' = 1

cioè:

|N|^2 \int dp' \, e^{\frac{i}{\hbar} p' (x' - x'')} = 2 \pi \hbar |N|^2 \delta (x'- x'')

da cui:

N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}

quindi le autofunzioni normalizzate dell'impulso sono:

\psi_{p'} (x') = \langle x'| p' \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i}{\hbar} p' x'}

dove appare la funzione delta di Dirac analoga al caso dell'operatore posizione. Con l'introduzione della funzione delta di Dirac gli autostati dell'impulso sono normalizzati semplicemente:

\langle p'' |p' \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi_{p''}^{*} (x') \phi_{p'}(x') dx' = \delta (p'' - p')

Funzioni d'onda nello spazio degli impulsi[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo lo sviluppo di un generico vettore di stato |\alpha \rangle in autostati dell'impulso:

|\alpha \rangle = \int dp' \, |p' \rangle \langle p' |\alpha \rangle

dove l'espressione che in qualche modo ricorda i coefficienti dello sviluppo in serie di autofunzioni:

\langle p' |\alpha \rangle = \phi_{\alpha} (p')

è chiamata funzione d'onda nella rappresentazione degli impulsi. Le rappresentazioni delle coordinate e dell'impulso sono legate dalla trasformata di Fourier. Il significato fisico della funzione d'onda nella rappresentazione degli impulsi è quella di ampiezza di probabilità in modo tale che:

P(p', p'+dp') = |\langle p' |\alpha \rangle|^2 dp' = |\phi_{\alpha} (p')|^2 dp'

rappresenti la probabilità che la particella abbia impulso compreso nell'intervallo dp', se tale probabilità è correttamente normalizzata:

\langle \alpha |\alpha \rangle = \int dp' \, \langle \alpha |p' \rangle \langle p' |\alpha \rangle = \int dp' \, |\langle p' |\alpha \rangle|^2 = \int dp' \, |\phi_{\alpha}(p')|^2 = 1

La funzione d'onda unidimensionale rappresentativa dello stato |\alpha \rangle nello spazio degli impulsi è la trasformata di Fourier della funzione d'onda \psi (x):

\langle p' |\alpha \rangle = \phi_{\alpha} (p') = \int dx' \langle p' |x' \rangle \langle x' |\alpha \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx' \, e^{-i p' x' /\hbar} \psi_{\alpha} (x')

Operatore posizione nello spazio degli impulsi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore posizione.

Analogamente allo spazio delle posizioni quando rappresentiamo la funzione d'onda nello spazio delle posizioni possiamo descrivere completamente tutte le grandezze fisiche del sistema in tale spazio, anche nello spazio degli impulsi possiamo descrivere tutte le grandezze fisiche. Il valore medio dell'operatore impulso (in una dimensione per semplicità) si può trovare nell'insieme delle autofunzioni dell'operatore impulso:

\langle p \rangle = \int dp \, \phi^* (p,t) p \phi (p,t)

Cerchiamo il valore medio dell'operatore posizione nello spazio delle coordinate, utilizzando la relazione

\langle x \rangle  = \int dx' \, \psi^*(x',t) x \psi (x',t)

Sostituamo a \psi(x',t) la sua espressione esplicita:

\psi(x') = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int d p' e^{i p' \cdot x' / \hbar} \phi (p')

quindi

\langle x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx' \, \int dp' \phi^* (p',t) i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \phi(p',t)

cioè:

\langle \beta |x |\alpha \rangle = \int dx' \langle \beta |p' \rangle \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \langle p' |\alpha \rangle \right) = \int dp' \, \phi_{\beta}^{*} (p') i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \phi_{\alpha}(p')

proiettando su un autostato dell'impulso:

\langle p' |x |\alpha \rangle  = i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \langle p' |\alpha \rangle

ossia:

x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p}

nel caso unidimensionale e

\vec x = i \hbar \vec \nabla_p

nel caso tridimensionale. In generale qualsiasi funzione della posizione nello spazio degli impulsi ha valore medio calcolabile come:

\langle f(x) \rangle = \int dp' \, \phi^* (p',t) f \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \right) \phi(p',t)

Caso tridimensionale[modifica | modifica wikitesto]

Il caso tridimensionale è un'estensione dei concetti visti sopra. l'equazione agli autovalori per l'operatore impulso nella rappresentazione dell'impulsi:

\vec p |\vec p' \rangle = p' |\vec p' \rangle

Ogni vettore di stato è rappresentabile nel caso tridimensionale come:

|\alpha \rangle = \int d^3 \vec p' \, |\vec p' \rangle \langle \vec p' |\alpha \rangle

con un integrale esteso al volume d^3 \vec p'. Le componenti dell'impulso commutano:

[p_i , p_j] = 0

sono quindi simultaneamente misurabili.

Le condizioni di normalizzazione degli autostati della posizione sono rappresentati:

\langle \vec p' |\vec p'' \rangle = \delta^3 (\vec p' - \vec p'')

dove si introduce la delta di Dirac formalmente come:

\delta^3 (\vec p' - \vec p'') = \delta (p_x' - p_x'') \delta (p_y'-p_y'') \delta (p_z'-p_z'')

La funzione d'onda rappresentativa di uno stato |\alpha \rangle può essere scritta:

\phi_{\alpha} (\vec p') = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi \hbar)^3}} \int d^3 \vec x' e^{-i \vec p' \cdot \vec x' / \hbar} \psi_{\alpha} (\vec x')

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Si veda Lecture notes 1 by Robert Littlejohn per una trattazione matematica rigorosa del caso spin nullo. Si veda Lecture notes 4 by Robert Littlejohn per il caso generale.
  2. ^ La stessa conclusione si può dedurre osservando che l'espressione di T(\varepsilon)
     T(dx) =  1 + \varepsilon {d \over dx}
    è formalmente identica all'espressione della funzione generatrice
     \mathcal{F}(x,p') = xp' + pdx
    della trasformazione canonica
     x' = x + dx \
     p' = p \
    che rappresenta la traslazione infinitesima, essendo x,p' la funzione generatrice della trasformazione identica, dove x, p sono rispettivamente posizione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna.
  • L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

fisica Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica