Ampiezza di probabilità

In meccanica quantistica, l'ampiezza di probabilità è una funzione complessa il cui modulo quadro rappresenta la funzione densità di probabilità. Ad ogni particella è associata una ampiezza di probabilità che descrive la sua posizione, in accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg: essa coincide con la funzione d'onda in tal punto.

Per una funzione d'onda $\psi$ la funzione di densità di probabilità associata è $\psi \cdot \psi$, che equivale a $\vert \psi \vert ^{2}$. Questa è talvolta definita semplicemente densità di probabilità e può essere normalizzata o non normalizzata.

Descrizione

Se $|\psi |^{2}$possiede un integrale finito all'interno dello spazio tridimensionale, è quindi possibile scegliere una costante di normalizzazione $c$ tale che rimpiazzando $\psi$ con $c\psi$ l'integrale assume valore unitario. Quindi la probabilità che una particella si trovi all'interno di una particolare regione $V$ dell'universo è data dall'integrale esteso in $V$ di $|\psi |^{2}$. Il che significa, secondo l'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, che se qualche osservatore prova a misurare la quantità associata a questa ampiezza di probabilità, il risultato di questa misura rientrerà all'interno di $\varepsilon$ con una probabilità $P(\varepsilon )$ data da:

$P(\varepsilon )=\int _{\varepsilon }^{}|\psi (x)|^{2}\,dx.$

Ampiezze di probabilità che non sono quadrati integrabili sono solitamente assunte come il limite di una serie di funzioni che sono a quadrato integrabile. Il cambiamento della probabilità in funzione del tempo viene espresso in termini di $\psi$ stesso, non in termini di funzione di probabilità $|\psi ^{2}|$. A tal proposito si rimanda all'equazione di Schrödinger.

Variazione nel tempo

Per descrivere il cambiamento nel tempo della densità di probabilità occorre definire la corrente di probabilità (o flusso di probabilità) j:

$\mathbf {j} ={\hbar \over m}\cdot {1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right)=\mathrm {Re} \left(\psi ^{*}{\frac {\hbar }{im}}\nabla \psi \right)$

e misurato in unità (probabilità)/(area × tempo) = $r^{-2}$ $t^{-1}$.

Il flusso di probabilità soddisfa una equazione di continuità quantistica, ad esempio:

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}P({\vec {x}},t)=0$

dove $P(x,t)$ è la funzione densità di probabilità ed è misurata in unità (probabilità)/(volume) = $r^{-3}$. Questa equazione è l'equivalente matematico della legge di conservazione della probabilità.

Per un'onda piana si dimostra facilmente che

$\langle x|\psi \rangle =A\exp {\left(ikx-i\omega t\right)}$

con flusso di probabilità dato da

$j(x,t)=|A|^{2}{k\hbar \over m}.$