Operatore normale

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto.[1] Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato uno spazio di Hilbert H definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo N:H\to H si dice normale se:[2]

  N\,N^* = N^*N

In modo equivalente, N è normale se e solo se:

  \| N (v) \| =  \| N^* (v) \| \quad \forall v \in H

Si ha inoltre che:

\textrm{Ker}(N^*) = \textrm{Ker}(N)
\textrm{Im}(N^*) = \textrm{Im}(N)

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

Il teorema spettrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema spettrale.

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia T un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso V di dimensione finita n, dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che T è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T.[3] L'endomorfismo T è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale H esistono una matrice unitaria U ed una diagonale D per cui:

 D = U^{-1}HU =\, ^t\!\bar UHU

I vettori colonna di U sono gli autovettori di A e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che se e solo se l'operatore T è autoaggiunto la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se T è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Decomposizione spettrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Caso finito-dimensionale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di T sono ortogonali e in somma diretta:

 V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k}

Equivalentemente, se P_\lambda è la proiezione ortogonale su V_\lambda, si ha:

 A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_k P_{\lambda_k} \qquad P_\lambda  P_\mu=0 \quad \lambda \neq \mu

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura a valori di proiettore e Diagonalizzabilità.

Sia A un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert H. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore P^A tale per cui:

A = \int_{\sigma(A)} z dP^A(x,y) \qquad z := (x,y) \to x+iy \in \C \quad (x,y) \in \R^2

dove \sigma(A) = \mbox{supp}(P^A) è lo spettro di A. Si dice che P^A è la misura a valori di proiettore associata ad A.

In particolare, se A è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

P^A(\Omega) = \chi_\Omega(A)

definita sullo spettro \sigma(A) di A, in cui \chi_\Omega è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad A nel seguente modo:

 (\phi, f(A) \psi) := \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d (\phi, P^A (\lambda) \psi) \quad \forall \phi,\psi \in H

per ogni funzione misurabile limitata f, e in tal caso si ha:

A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A \qquad f(A) = \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d P^A

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di A.[4]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) A a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare A tramite una misura a valori di proiettore limitata P^A allora P^A è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad A. Ogni operatore limitato autoaggiunto A può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata P^A.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A. Tatone - Corso di matematica applicata
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 252
  3. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 251
  4. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 234

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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