Matrice hermitiana

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In algebra lineare una matrice hermitiana o matrice autoaggiunta è una matrice a valori complessi che coincide con la propria trasposta coniugata (o matrice aggiunta). Una matrice hermitiana con elementi nel campo dei numeri reali è dunque una matrice simmetrica.

Le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una matrice A di elementi a_{i,j} è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

a_{i,j} = \bar{a}_{j,i}

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di A è denotata con A^\dagger, quindi se A è hermitiana si scrive:

 A = A^\dagger

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco A^* è usato per indicare sia la complessa coniugata \overline A che A^\dagger.

Un esempio di matrice hermitiana è:

\begin{pmatrix}3&2+i\\
2-i&1\end{pmatrix}

Le matrici hermitiane devono il loro nome al matematico francese Charles Hermite.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma A=B+iC, dove B è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e C è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane A e B, invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se AB=BA.

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione n^2: gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi (x + iy e x - iy), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto iI_n non è hermitiana (mentre lo è I_n).

Ogni matrice hermitiana A di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale: A è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di A sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di \C^n formata solo da autovettori di A. Se n autovettori ortonormali u_1,\dots,u_n di una matrice hermitiana A sono scritti come colonne di una matrice U, allora la decomposizione spettrale di A è data da:

 A = U \Lambda U^\dagger

dove  U U^\dagger = I=U^\dagger U e dunque:

 A = \sum _j \lambda_j u_j u_j ^\dagger

dove \lambda_j sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale \Lambda .

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti,  \det(A) = \det(A^\mathrm{T}) da cui \det(A^\dagger) = \det(A)^* ; quindi se A=A^\dagger allora \det(A) = \det(A)^*. In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
  • (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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