Matrice hermitiana

In algebra lineare una matrice hermitiana (dal nome del matematico francese Charles Hermite) o matrice autoaggiunta è una matrice a valori complessi che coincide con la propria trasposta coniugata (o matrice aggiunta). Una matrice hermitiana con elementi nel campo dei numeri reali è dunque una matrice simmetrica.

Le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali.

Definizione

Una matrice $A$ di elementi $a_{i,j}$ è hermitiana se l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna è uguale al complesso coniugato dell'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna (per tutti gli indici i e j), ovvero:

$a_{i,j}={\bar {a}}_{j,i}$

Se i suoi elementi sono tutti reali una matrice hermitiana coincide con la propria trasposta, ed è quindi una matrice simmetrica.

Spesso la matrice trasposta coniugata di $A$ è denotata con $A^{\dagger }$, quindi se $A$ è hermitiana si scrive:

$A=A^{\dagger }$

Si deve notare che, a seconda degli autori, l'asterisco $A^{*}$ è usato per indicare sia la complessa coniugata ${\overline {A}}$ che $A^{\dagger }$.

Un esempio di matrice hermitiana è:

${\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}}$

Proprietà

Ogni matrice hermitiana è una matrice quadrata della forma $A=B+iC$, dove $B$ è una matrice simmetrica (uguale alla propria trasposta) a componenti reali e $C$ è una matrice antisimmetrica (opposta alla propria trasposta) a componenti reali, e viceversa. In particolare, gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana sono reali, ed una matrice a componenti reali è hermitiana se e solo se è simmetrica.

Sono matrici hermitiane la somma di due matrici hermitiane e l'inversa di una matrice hermitiana invertibile. Il prodotto di due matrici hermitiane $A$ e $B$, invece, è una matrice hermitiana se e solo se queste commutano, cioè se $AB=BA$.

L'insieme delle matrici hermitiane di ordine n è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali di dimensione $n^{2}$: gli n elementi sulla diagonale sono reali e gli n(n-1) altri elementi sono coppie di numeri coniugati complessi ($x+iy$ e $x-iy$), quindi a coppie definiti da una coppia di numeri reali. Non è invece uno spazio vettoriale sui numeri complessi, in quanto $iI_{n}$ non è hermitiana (mentre lo è $I_{n}$).

Ogni matrice hermitiana $A$ di ordine finito è normale e per essa vale il teorema spettrale: $A$ è diagonalizzabile tramite una matrice unitaria e possiede solo autovalori reali; in particolare, autovettori relativi a distinti autovalori di $A$ sono tra loro ortogonali (secondo il prodotto hermitiano standard) ed è possibile trovare una base ortonormale di $\mathbb {C} ^{n}$ formata solo da autovettori di $A$. Se n autovettori ortonormali $u_{1},\dots ,u_{n}$ di una matrice hermitiana $A$ sono scritti come colonne di una matrice $U$, allora la decomposizione spettrale di $A$ è data da:

$A=UDU^{\dagger }$

dove $UU^{\dagger }=I=U^{\dagger }U$ e dunque:

$A=\sum _{j}\lambda _{j}u_{j}u_{j}^{\dagger }$

dove $\lambda _{j}$ sono gli autovalori sulla diagonale della matrice diagonale $D$.

Se gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti positivi la matrice è detta definita positiva, mentre se sono tutti non negativi, la matrice si dice semidefinita positiva.

Il determinante di una matrice hermitiana è reale. Infatti, $\det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })$ da cui $\det(A^{\dagger })=\det(A)^{*}$; quindi se $A=A^{\dagger }$ allora $\det(A)=\det(A)^{*}$. In alternativa, si può notare che il determinante è il prodotto degli autovalori, che sono reali.

Bibliografia

• (EN) F.R. Gantmacher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate

• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Matrice trasposta coniugata
• Teorema di Schur-Horn
• Quoziente di Rayleigh

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice hermitiana, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.L. Onishchik, Hermitian matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.

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