Matrice trasposta coniugata

In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata (o matrice aggiunta) di una matrice $A$ a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato:

$A^{\dagger} = (A^T)^* = (A^{*})^T$

In termini degli elementi vale la relazione:

$(A^{\dagger})_{jk} = A^{*}_{kj}$

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna: $A_{kj}^* = A_{jk}^{\dagger}$

Ad esempio:

$A=\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\ 7-6i&1-3i\end{pmatrix}\quad\rightarrow\quad A^{\dagger}=\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\ 2-i&1+3i\end{pmatrix}$

Proprietà

1. $\left( A^{\dagger} \right)^{\dagger} = A$
2. $\left( A + B \right)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger}$
3. $\left(c A \right)^{\dagger} = c^* \cdot A^{\dagger}$
4. $\left( A \cdot B \right)^{\dagger} = B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}$
5. In generale: $\left( A \cdot B \cdot C \cdot D ... \right)^{\dagger} = ... D^{\dagger} \cdot C^{\dagger} \cdot B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}$
6. $\langle Au,v\rangle = \langle u,A^{\dagger}v\rangle$
7. $\langle u,Av\rangle ^* = \langle v,A^{\dagger}u\rangle$

Nelle proprietà 6. e 7., il simbolo $\langle,\rangle$ indica il prodotto hermitiano standard fra vettori di $\mathbb C^n$.

Matrici hermitiane

Per approfondire, vedi matrice hermitiana.

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

$\phi(u,v) = (u,Av) \$

Ad esempio, dalle proprietà 6) e 7) segue che

$(u,Au) = (u,Au)^* \$

è reale.

Decomposizione in hermitiana e antihermitiana

Ogni matrice quadrata complessa $A$ può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

$A = \frac{1}{2} \left( A + A^{\dagger} \right) + \frac{1}{2} \left( A - A^{\dagger} \right)$

Voci correlate

• Matrice
• Glossario sulle matrici
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Numero complesso

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica