Matrice trasposta coniugata

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In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una matrice A, indicando con A^T la sua trasposta e con l'asterisco * l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata A^{\dagger} è data da:

A^{\dagger} = (A^T)^* = (A^{*})^T

In termini degli elementi vale la relazione:

(A^{\dagger})_{jk} = A^{*}_{kj}

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

A_{kj}^* = A_{jk}^{\dagger}

Ad esempio:

A=\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\
7-6i&1-3i\end{pmatrix}\qquad
A^{\dagger}=\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\
2-i&1+3i\end{pmatrix}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Valgono le seguenti proprietà:

\left( A^{\dagger} \right)^{\dagger} = A \qquad \left( A + B \right)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger} \qquad \left(c A \right)^{\dagger} = c^* \cdot A^{\dagger} \qquad \left( A \cdot B \right)^{\dagger} = B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}

e in generale:

\left( A \cdot B \cdot C \cdot D ... \right)^{\dagger} = ... D^{\dagger} \cdot C^{\dagger} \cdot B^{\dagger} \cdot A^{\dagger}

Denotando con \langle , \rangle il prodotto hermitiano standard fra vettori di  \mathbb C^n :

\langle Au,v\rangle = \langle u,A^{\dagger}v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^* = \langle v,A^{\dagger}u\rangle

Matrici hermitiane[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Matrice hermitiana.

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

 \phi(u,v) = (u,Av)

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

(u,Au) = (u,Au)^*

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa  A può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

A = \frac{1}{2} \left( A + A^{\dagger} \right) + \frac{1}{2} \left( A - A^{\dagger} \right)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
  • (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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