Matrice dei cofattori

Data una matrice quadrata A di ordine n, la sua matrice dei cofattori (detta anche matrice dei complementi algebrici), è un'altra matrice quadrata di ordine n la cui entrata nella posizione generica $i,j$ è il cofattore o complemento algebrico di A sempre relativo alla posizione $i,j$, così definito:

$\mathrm{cof}(A,i,j) := (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{det}(\mathrm{minore}(A,i,j))$ ;

qui il termine "$\mathrm{det}(\mathrm{minore}(A,i,j))$" rappresenta il determinante del minore di A ottenuto cancellando la riga $i$-esima e la colonna $j$-esima. Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:

$\begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,1,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,1,n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,n,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,n) \\ \end{pmatrix}$

Trasposta

La trasposta della matrice dei cofattori è a volte chiamata matrice aggiunta (benché questo termine indichi normalmente la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore $adj$, dall'inglese adjugate matrix. Quindi:

$\mathrm{adj}\,A = \begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,1,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,1) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,1,n) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,n) \\ \end{pmatrix}$

Proprietà

La matrice dei cofattori trasposta soddisfa le proprietà seguenti.

• $\mathrm{adj}(I) = I$
• $\mathrm{adj}(A\cdot B) = \mathrm{adj}(B)\cdot\mathrm{adj}(A)$
• se $I$ è la matrice identità, vale l'uguaglianza

$A\cdot\mathrm{adj}(A) = \mathrm{adj}(A)\cdot A = \det(A)\cdot I$

conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se $A$ è invertibile, l'inversa è data da

$A^{-1} = \det(A)^{-1}\cdot\mathrm{adj}(A)$

• $\det(\mathrm{adj}(A)) \,=\, \det(A)^{n - 1}$

Esempi

Calcolo di cofattori

Consideriamo la matrice

$\begin{bmatrix}-2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}$

e calcoliamo alcuni cofattori

$\mathrm{cof}(A,1,2)=(-1)^{1+2} \cdot \det \begin{bmatrix}-1&3\\ 2 &-1\end{bmatrix}=(-1)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)= 5$

$\mathrm{cof}(A,2,2)=(-1)^{2+2} \cdot \det \begin{bmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{bmatrix}=1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3))=8.$

Si procede analogamente per gli altri sette cofattori.

Matrice trasposta

Esempio di calcolo di matrice dei cofattori trasposta:

$\operatorname {adj}\begin{pmatrix} 2& 1&1\\ 0&-1&2\\ 0&2&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3&3&3\\ 0&-2&-4\\ 0&-4&-2 \end{pmatrix}$

Più in generale, data

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$,

la sua matrice dei cofattori trasposta è

$\mbox{adj}(A) = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$.

dove

$\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right).$

La matrice dei cofattori trasposta di una matrice 2 per 2

$\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

è invece la seguente:

$\begin{pmatrix} {{d}} & {{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$

Voci correlate

• matrice invertibile

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