Matrice dei cofattori

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In matematica, in particolare in algebra lineare, la matrice dei cofattori di una matrice quadrata A di ordine n, detta anche matrice dei complementi algebrici, è un'altra matrice quadrata di ordine n il cui elemento nella posizione generica i,j è il cofattore (o complemento algebrico) di A relativo alla posizione i,j, così definito:

\mathrm{cof}(A,i,j) := (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{minore}(A,i,j)

qui il termine \mathrm{minore}(A,i,j) rappresenta il determinante della sottomatrice quadrata di A ottenuta cancellando la riga  i -esima e la colonna  j -esima. Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:

\mathrm{cof}\,A=\begin{pmatrix}
\mathrm{cof}(A,1,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,1,n) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\mathrm{cof}(A,n,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,n) \\
\end{pmatrix}

Matrice aggiunta[modifica | modifica sorgente]

La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore adj, dall'inglese adjoint matrix. Quindi:

\mathrm{adj}\,A =(\mathrm{cof}\,A)^T=  \begin{pmatrix}
\mathrm{cof}(A,1,1) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,1) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\mathrm{cof}(A,1,n) & \ldots & \mathrm{cof}(A,n,n) \\
\end{pmatrix}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:

A\cdot\mathrm{adj}(A) = \mathrm{adj}(A)\cdot A = \det(A)\cdot I

conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se  A è invertibile, l'inversa è data da:

A^{-1} = \det(A)^{-1}\cdot\mathrm{adj}(A)
  • \det(\mathrm{adj}(A)) \,=\, \det(A)^{n - 1}

Esempi[modifica | modifica sorgente]

matrice 2 × 2[modifica | modifica sorgente]

L'aggiunta della matrice:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}

è:

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}.

e si nota che \det \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \det(A) e \operatorname{adj}( \operatorname{adj}(A)) = A.

matrice 3 × 3[modifica | modifica sorgente]

Data la matrice 3\times 3:


\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}

La sua aggiunta è la trasposta della matrice dei cofattori:


\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

e quindi si ha:


\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

dove:

\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left( \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right).

Quindi C, la matrice dei cofattori di A, è:


\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{pmatrix}

Esempio numerico[modifica | modifica sorgente]

Esempio di calcolo di matrice aggiunta:

\operatorname {adj}\begin{pmatrix} 2& 1&1\\ 0&-1&2\\ 0&2&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3&3&3\\ 0&-2&-4\\ 0&-4&-2 \end{pmatrix}

Più in generale, data:


A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}

la sua matrice aggiunta è:

 \mbox{adj}(A) = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & 
-\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

dove:

\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right)

La matrice aggiunta di una matrice 2 per 2:

\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}

è invece la seguente:

\begin{pmatrix} {{d}} & {{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} 
 \end{pmatrix}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Gilbert Strang, Section 4.4: Applications of determinants in Linear Algebra and its Applications, 3rd, Harcourt Brace Jovanovich, 1988, pp. 231–232, ISBN 0-15-551005-3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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