Forma bilineare

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In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano V e W spazi vettoriali e V \times W il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo K è una mappa

 \phi:V\times W \to K

che associa ad ogni coppia di elementi \mathbf v \in V e \mathbf w \in W lo scalare \phi (\mathbf v, \mathbf w) \in K ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:[1]

\phi(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2,\mathbf{w}) = \phi(\mathbf{v}_1,\mathbf{w})+ \phi(\mathbf{v}_2,\mathbf{w})\qquad \forall\ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V \quad \forall\ \mathbf{w} \in W
\phi(\mathbf v, \mathbf w_1 + \mathbf w_2) = \phi(\mathbf v,\mathbf w_1) + \phi (\mathbf v,\mathbf w_2)\qquad \forall\ \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in W \quad \forall\ \mathbf{v} \in V
\phi(a \mathbf v, \mathbf w) = \phi(\mathbf v,a \mathbf w) = a \phi (\mathbf v,\mathbf w)\qquad \forall\ \mathbf{v} \in V \quad \forall\ \mathbf{w} \in W \quad \forall\ a \in K

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se V e W coincidono, la forma si dice bilineare su V (o su W).[2]

Rappresentazione in coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Se V ha dimensione n finita, ogni forma bilineare \phi su V può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n \} per V, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice B è definita per componenti da:

b_{ij} = \phi (\mathbf v_i,\mathbf v_j)

L'azione della forma bilineare su due vettori \mathbf u e \mathbf w di V si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

\phi(\mathbf u,\mathbf w) = \mathbf{\mathbf u}^T \mathbf{B \mathbf w} = \sum_{i,j=1}^{n}b_{ij}u_i w_j

dove u_i e w_j sono le coordinate di \mathbf u e \mathbf w rispetto alla base.

Relazione con lo spazio duale[modifica | modifica wikitesto]

Ogni forma bilineare \phi su V definisce una coppia di mappe lineari da V nel suo spazio duale V^*. Si definiscano nel modo seguente:

\phi_1 : V \to V^* \qquad \phi_1(\mathbf{v})(\mathbf{w}) = \phi(\mathbf{v},\mathbf{w})
\phi_2 : V \to V^* \qquad \phi_2(\mathbf{v})(\mathbf{w}) = \phi(\mathbf{w},\mathbf{v})

In altre parole, \phi_1(\mathbf{v}) è l'elemento di V^* che manda \mathbf w in \phi (\mathbf v, \mathbf w).

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

\phi_1(\mathbf{v}) = \phi(\mathbf{v},\cdot)
\phi_2(\mathbf{v}) = \phi(\cdot,\mathbf{v})

Ogni mappa lineare T : V \to V^* definisce analogamente una funzione bilineare:

 \phi(\mathbf v,\mathbf w) = T(\mathbf v)(\mathbf w) \

Forme simmetriche e antisimmetriche[modifica | modifica wikitesto]

Una forma bilineare \phi : V \times V \to K è detta simmetrica se:[3]

\phi(\mathbf v,\mathbf w)=\phi(\mathbf w,\mathbf v) \

per ogni \mathbf v e \mathbf w in V. È invece detta antisimmetrica o alternante se:

\phi(\mathbf v,\mathbf w)=-\phi(\mathbf w,\mathbf v) \ .

Una forma bilineare \phi è simmetrica se e solo se la matrice associata B (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe \phi_1 e \phi_2 definite sopra coincidono.

Se K non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

\phi(\mathbf v,\mathbf v)=0

per ogni \mathbf v \in V. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

Prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo  \mathbb{R} dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con \phi(\mathbf v,\mathbf v)>0 per ogni \mathbf v diverso da zero, e \phi(\mathbf 0,\mathbf 0)=0.

Forma degenere[modifica | modifica wikitesto]

Una forma bilineare \phi definita su uno spazio V di dimensione finita è degenere se la matrice B che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

  • La forma bilineare \phi è degenere.
  • Esiste un vettore \mathbf v non nullo tale che \phi(\mathbf v,\mathbf w)=0 per ogni \mathbf w.
  • Esiste un vettore \mathbf w non nullo tale che \phi(\mathbf v,\mathbf w)=0 per ogni \mathbf v.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

 \phi(f,g) = \int_0^1 f(x)g(x)dx

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 182
  2. ^ S. Lang, Pag. 183
  3. ^ a b S. Lang, Pag. 185

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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