Funzione W di Lambert

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Il grafico di W(x) con W > −4 e x < 6. Il ramo superiore con W ≥ −1 è la funzione W0 (il ramo principale), il ramo inferiore con W ≤ −1 è la funzione W−1.

In matematica, la funzione W di Lambert, anche detta funzione Omega, è un insieme di funzioni, esplicitamente i rami della funzione inversa della funzione f(w) = wew, dove ew è la funzione esponenziale e w è un qualsiasi numero complesso. In altre parole l'equazione che definisce W(z) è

z = W(z)e^{W(z)}

per qualsiasi numero complesso z.

Poiché la funzione ƒ non è iniettiva, la funzione W è una funzione polidroma (tranne che in 0). Restringendo l'attenzione al caso in cui W assuma solo valori reali allora la relazione è definita solo per x ≥ −1/e, ed assume due valori distinti nell'intervallo (−1/e, 0); la condizione aggiuntiva W ≥ −1 definisce una funzione univoca W0(x). Si ha W0(0) = 0 e W0(−1/e) = −1. Allo stesso tempo, il ramo inferiore ha W ≤ −1 e viene indicato con la notazione W−1(x). Esso decresce da W−1(−1/e) = −1 a W−1(0) = −∞.

La funzione W non può essere espressa in termini di funzioni elementari. Essa trova applicazioni in combinatoria, ad esempio nell'enumerazione degli alberi. Può essere utilizzata nella risoluzione di equazioni che includono funzioni esponenziali (ad esempio i massimi delle distribuzioni di Planck, Bose-Einstein, e Fermi-Dirac) ed è inoltre necessaria nella risoluzione di equazioni differenziali del tipo y'(t) = a y(t − 1).

Ramo principale della funzione W nel piano complesso. La tonalità rappresenta l'argomento della funzione, mentre l'intensità rappresenta il modulo.

Storia e terminologia[modifica | modifica wikitesto]

La funzione W prende il nome dal matematico Johann Heinrich Lambert. Lambert studiò l'eponima Equazione trascendentale di Lambert nel 1758, a cui seguì uno studio da parte di Eulero nel 1783, che considerò il caso speciale wew. Ad ogni modo, la funzione inversa di wew venne descritta per la prima volta da Pólya e Szegő nel 1925. La funzione W di Lambert fu "riscoperta" all'incirca ogni decennio in applicazioni specialistiche ma non se ne notò l'importanza fino alla fine degli anni '90.

Il ramo principale W0 è indicato con Wp nella Digital Library of Mathematical Functions mentre il ramo W−1 è ivi indicato con Wm. La notazione usata in questo articolo (con W0 e W−1) concorda con quella usata da Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey e Knuth.

Analisi[modifica | modifica wikitesto]

Derivata[modifica | modifica wikitesto]

Tramite derivazione implicita, si puà mostrare che tutti i rami di W soddisfano l'equazione differenziale

z(1+W)\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=W,\quad z\neq -1/e.

(W non è derivabile in z=−1/e). Come conseguenza, otteniamo la seguente formula per la derivata di W:

\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))},\quad z\not\in\{0,-1/e\}.

Inoltre si ha

\left.\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}\right|_{z=0}=1.

Primitiva[modifica | modifica wikitesto]

La funzione W(x), e molte espressioni che includono W(x), possono essere integrate applicando la sostituzione w = W(x), cioè x = w ew:

\int W(x)\,{\rm d}x = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.

Serie di Maclaurin[modifica | modifica wikitesto]

La serie di Maclaurin di W_0 può essere trovata usando il teorema di Lagrange ed è data da

W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots

Il raggio di convergenza è 1/e, come si può notare applicando il criterio della radice. La funzione definita da questa serie può essere estesa ad una funzione olomorfa definita per ogni numero complesso. Questa funzione definisce il ramo principale della funzione W di Lambert.

Interi e potenze complesse[modifica | modifica wikitesto]

Potenze intere di W_0 ammettono un'espansione in serie di Taylor (o di Laurent) centrata in 0

W_0(x)^2 = \sum_{n=2}^\infty \frac{-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}\ x^n = x^2-2x^3+4x^4-\frac{25}{3}x^5+18x^6- \cdots

Più generalmente, per r\in\Z,, la formula di inversione di Lagrange permette di ottenere

W_0(x)^r = \sum_{n=r}^\infty \frac{-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}\ x^n,

che è, generalmente, una serie di Laurent di ordine r. Equivalentemente, quest'ultima può essere scritta come serie di Taylor di W_0(x)/x

\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)^r = e^{-r W_0(x)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{r(n+r)^{n-1}}{n!}\ (-x)^n,

valida per ogni r\in\C e |x|<e^{-1}.

Valori notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni x algebrico non nullo W(x) è un numero trascendente. Questa proprietà può essere dimostrata per assurdo: se W(x) fosse algebrico e non nullo (si noti che se x è non nullo anche W(x) lo deve essere) allora per il teorema di Lindemann-Weierstrass eW(x) dovrebbe essere trascendente, implicando che anche x=W(x)eW(x) lo sia, contraddicendo l'ipotesi che x sia algebrico.

W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}{\rm{i}}
W\left(-1\right) \approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}
W\left(-\frac{1}{e}\right) = -1
W\left(0\right) = 0
W\left(1\right) = \Omega\approx 0.56714329\dots
dove \Omega indica la costante Omega
W\left(e\right) = 1
W(x\ln x)= \ln x \quad \left(\frac{1}{e}\le x\le e\right)
W'\left(0\right) = 1

Altre proprietà integrali[modifica | modifica wikitesto]

\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}
\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}
\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Molte equazioni che includono esponenziazioni possono essere risolte utilizzando la funzione W. La strategia generale è di spostare tutte le occorrenze dell'incognita ad un membro per ottenere una forma del tipo Y = XeX, punto in cui la funzione W fornisce il valore della variabile in X.

In altre parole:

 Y = X e ^ X \; \Longleftrightarrow \; X = W(Y)

Esempio 1[modifica | modifica wikitesto]

2^t = 5 t
\Rightarrow 1 = \frac{5 t}{2^t}
\Rightarrow 1 = 5 t \, e^{-t \ln 2}
\Rightarrow \frac{1}{5} = t \, e^{-t \ln 2}
\Rightarrow \frac{- \, \ln 2}{5} = ( - \, t \, \ln 2 ) \, e^{( -t \ln 2 )}
\Rightarrow W \left ( \frac{- \ln 2}{5} \right ) = -t \ln 2
\Rightarrow t = - \frac{1}{\ln 2 } W \left ( \frac{- \ln 2}{5} \right )

Più generalmente, l'equazione

 ~p^{a x + b} = c x + d

dove

 p > 0 \text{ e } c,a \neq 0

può essere trasformata tramite la sostituzione

 -t = a x + \frac{a d}{c}

in

 t p^t = R = -\frac{a}{c} p^{b-\frac{a d}{c}}

ottenendo

 t = \frac{W(R\ln p)}{\ln p}

che fornisce la soluzione finale

 x = - \frac{d}{c} -\frac{1}{a\ln p}W\left(-\frac{a}{c}\,p^{b-\frac{a d}{c}}\ln p\right)

Similmente si deriva che l'equazione

 p^{ax+b}\,(cx+d)=q

ha per soluzione

 x=-\frac{d}{c}+\frac{1}{a\ln p }W\left(q\,\frac{a}{c}\,p^{\frac{ad}{c}-b}\ln p\right)

Esempio 2[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione

x^x=z\, ,

può essere risolta con due tecniche differenti:

\Rightarrow x \ln x = \ln z
\Rightarrow \ln x \, e^{\ln x } = \ln z
\Rightarrow \ln x = W(\ln z )
\Rightarrow x = e^{W(\ln z)}

o, equivalentemente,

\Rightarrow x = z^{\frac{1}{x}}
\Rightarrow 1 = {\frac{1}{x}} e^{\frac{\ln z }{x}}
\Rightarrow \ln z = {\frac{\ln z }{x}} e^{\frac{\ln z }{x}}
\Rightarrow W(\ln z ) = {\frac{\ln z }{x}}
\Rightarrow x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}

Si noti che le due forme sono equivalenti in quanto per la definizione stessa di W

 e^{W(x)}=\frac{x}{W(x)} .

Esempio 3[modifica | modifica wikitesto]

La tetrazione infinita

x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}

converge per ee ≤ x ≤ e1/e (un teorema dimostrato da Eulero) e la funzione W ne fornisce il valore limite

\ell=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}=e^{-W(-\ln x)}.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La funzione W di Lambert fornisce soluzioni reali per le equazioni algebrico-trascendenti (in x) della forma:

 e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)

dove a0, c e r sono costanti reali. La soluzione è  x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c . Le generalizzazioni della funzione W di Lambert[1][2][3] includono:

 e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
dove il membro destro di (1) è un polinomio quadratico in x, e r1 e r2 sono costanti reali distinte, le radici del polinomio quadratico. In questo caso, la soluzione è una funzione di un solo argomento x, e i termini ri e ao sono parametri di tale funzione. Da questo punto di vista, la generalizzazione ricorda la funzione ipergeometriche e la funzione G di Meijer ma appartiene ad una diversa classe di funzioni. Quando r1 = r2, entrambi i membri di (2) possono essere fattorizzati e ridotti al caso (1); la soluzione, quindi, è quella della funzione W standard. L'equazione (2) descrive il campo di dilatone, dal quale deriva la metrica del problema di gravità a due corpi R=T o lineale in 1+1 dimensioni (una dimensione spaziale e una dimensione temporale) per il caso di masse a riposo diverse, come anche le energie nel modello quantistico unidimensionale di una doppia buca di potenziale, con potenziali a delta di Dirac, per cariche diverse.
  • Soluzioni analitiche delle energie di un caso particolare del problema quantistico dei tre corpi, più precisamente la molecola di idrogeno ionizzata una volta [5]. In questo caso il membro destro di (1) (o (2)) è un quoziente di polinomi in x di grado infinito:
 e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
dove ri e si sono costanti reali distinti e x è una funzione dell'energia e della distanza internucleare R. L'equazione (3), con i casi particolari (1) e (2), ha un ruolo in un'ampia classe di equazioni differenziali con ritardo.

Le applicazioni della funzione W di Lambert ai problemi di fisica fondamentale non sono esaurite neppure per il caso standard (1), come si è visto recentemente in fisica atomica, molecolare e ottica[6].

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ T.C. Scott e R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (avril 2006), pp.41-47, [1]; articolo Arxiv[2]
  2. ^ T.C. Scott, G. Fee e J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (settembre 2013), pp. 75-83
  3. ^ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst e W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 48, no. 2, (giugno 2014), pp. 42-56
  4. ^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, e T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrˆdinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; articolo Arxiv [4]
  5. ^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon e J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; articolo Arxiv[6]
  6. ^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini e J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]

Valori numerici[modifica | modifica wikitesto]

La funzione W può essere approssimata utilizzando il metodo delle tangenti, con approssimazione successiva di w=W(z) (in modo che z=we^w) tramite

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+w_j e^{w_j}}.

La funzione W può anche essere approssimata utilizzando il metodo di Halley,

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}
{2w_j+2}}.

Grafici[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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