Funzione polidroma

Questa corrispondenza è una funzione polidroma poiché 3 viene mandato sia in b che in c

In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una funzione che può avere più valori. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa.

Definizione

Siano $X$ e $Y$ due insiemi. Una funzione polidroma da $X$ in $Y$ è una funzione

$f:X\to P(Y)$

che associa ad ogni elemento di $X$ un sottoinsieme non vuoto di $Y$ (qui $P(Y)$ è l'insieme delle parti di $Y$).

Una definizione equivalente vede una funzione polidroma come un sottoinsieme R del prodotto cartesiano $X\times Y$ tale che per ogni x in X esiste almeno un y in Y per cui $(x,y) \in R$ (cioè una relazione binaria tra X e Y "totale a sinistra").

Nel contesto delle funzioni polidrome, una funzione nel senso usuale del termine viene detta monodroma. In questo caso, $f(x)$ è formato da un elemento solo per ogni $x$. Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una e una sola immagine, associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del codominio.

Funzione a valori vettoriali?

È bene sottolineare la differenza tra funzioni polidrome e funzioni vettoriali, cioè a valori nel prodotto cartesiano di n copie di Y, distinguendo due differenze fondamentali:

• una funzione vettoriale ha immagini con un numero di componenti sempre fisso ad n poiché sono vettori di $Y^n$; al contrario, una funzione polidroma ha valori di cardinalità variabile, poiché sono sottoinsiemi arbitrari di Y
• una funzione vettoriale ha come immagini ennuple ordinate, mentre le funzioni polidrome danno come immagini degli insiemi, che notoriamente sono indipendenti dall'ordine in cui si enumerano i suoi elementi.

Analisi complessa

Radice ennesima

Per approfondire, vedi Radice dell'unità.

La più semplice e immediata funzione polidroma è la radice ennesima di una variabile complessa:

$\sqrt[n]{z} \; \; \; n \in \mathbb{Z}$

intesa come inversa della funzione monodroma $z^n$. Usando la rappresentazione polare $z = \rho e^{i \theta}$ e ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento $0 \le \theta < 2 \pi$ affinché il numero sia ben definito abbiamo:

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \cdot \sqrt[n]{e^{i \theta + i 2 k \pi}}= \sqrt[n]{\rho} \left(e^{\frac{i \theta + i 2 k \pi}{n}} \right)$

Si vede chiaramente che $\sqrt[n]{\rho}$ è ben definito (ovviamente $\rho > 0$), ma al contrario l'argomento della funzione radice ennesima:

$arg(\sqrt[n]{z}) = \frac{ \theta + 2 k \pi}{n}$

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se $z^n$ è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno $n$ valori, in corrispondenza degli $n$ valori dell'argomento di $\sqrt[n]{z}$. Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire $n$ giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra $n$ ed $n+1$.

Logaritmo

Per approfondire, vedi Logaritmo complesso.

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

$Log z = log |z| + i \theta + i k 2 \pi$

cioè la branca principale del logaritmo, dove $\theta$ è la fase per $0 < \theta < 2\pi$ che assume gli infiniti valori: $log z = Log z + n \cdot 2\pi i$. Ovviamente questo discorso vale anche per il logaritmo naturale e il logaritmo su qualsiasi base.

A partire dal logaritmo si può definire anche in campo l'esponenziazione a qualsiasi base come la funzione polidroma

$z^{\alpha} = e^{\alpha ln z}$

Argomento

L'ultima funzione polidroma che analizziamo è l'argomento di un numero complesso, definito come

$arg(z)=\{y \in \R : e^{iy}=\frac{z}{|z|}\}$

per ogni numero complesso non nullo $z$. Ricordiamo che questa definizione ha senso poiché l'esponenziale complesso ristretto ai numeri puramente immaginari, cioè del tipo $i \cdot y$, assume valori nella sfera unitaria $S^1$.

Sempre dalle proprietà dell'esponenziale si ricava che risulta, se $y_0$ è un particolare valore dell'argomento di $z$,

$arg(z)=\{y_0+2k\pi, k \in \mathbb Z \}.$

Altre caratteristiche della polidromia

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di singolarità non isolate che sono detti punti di diramazione di ordine $n$, se compiendo $n + 1$ giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; si dice invece un punto di diramazione di ordine infinito, se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è analitica. Ciò significa che si può sviluppare in serie di Taylor entro un cerchio di convergenza di centro $z_0$ di raggio $|z_0|$:

$log z = log z_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac {\left[\frac {z-z_0}{z} \right]^n}{n}$

Funzioni polidrome reali

Tipiche e molto usate funzioni polidrome a valori reali sono le inverse delle funzioni trigonometriche: esse sono periodiche, quindi similmente al logaritmo complesso, le loro inverse assumono una quantità numerabile di valori.

Rami e valori principali

Tutti questi esempi condividono una proprietà comune: essi possono essere visti come funzioni inverse di qualche altra applicazione (la potenza per le radici, l'esponenziale per il logaritmo). Infatti la funzione inversa è la multifunzione più facile da incontrare, poiché a priori la corrispondenza $y\mapsto f^{-1}(y)$ non genera un elemento, ma un insieme: esso è vuoto se y non è parte dell'immagine di f, è un singleton per i valori in cui essa è iniettiva, è un insieme con più elementi altrimenti.

In ognuno di questi casi, per giungere da una funzione multivoca ad una monodroma e utilizzare gli strumenti usuali della matematica, si è scelta per convenzione (o per altri motivi) una singola controimmagine da associare a y: nel caso della radice reale, la scelta cade su $+\sqrt x$; nel logaritmo complesso viene scelto il valore $\log z$ tale che $0 < arg(z)< 2\pi$; nell'arcoseno l'angolo scelto è sempre quello compreso tra 0 e $2\pi$ e così via.

Ognuna delle funzioni monodrome che si potrebbero definire al variare della scelta all'interno dell'insieme $f^{-1}(y)$ viene detto ramo dell'inversa; il valore effettivamente scelto dalla convenzione si dice il ramo principale e il valore che esso assume valore principale. Ad esempio, sempre per il seno: i rami di $f^{-1}(y)$ sono $x=\arcsin y$, $x=\arcsin y + 2\pi$, $x=\arcsin y + 4\pi$, eccetera, e il valore principale di $f^{-1}(1)$ è $\pi/2$, mentre gli altri suoi valori non principali sono ${5\pi \over 2}, {9\pi \over 2}, {13\pi \over 2},...$.

Esistono teoremi che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la continuità di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è condizione necessaria e sufficiente all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Serie complessa
• Superficie di Riemann
• Funzione inversa

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