Funzione polidroma

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Questa corrispondenza è una funzione polidroma poiché 3 viene mandato sia in b che in c

In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una funzione che può avere più valori. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano  X e  Y due insiemi. Una funzione polidroma da  X in  Y è una funzione

f:X\to P(Y)

che associa ad ogni elemento di X un sottoinsieme non vuoto di  Y (qui  P(Y) è l'insieme delle parti di Y).

Una definizione equivalente vede una funzione polidroma come un sottoinsieme R del prodotto cartesiano X\times Y tale che per ogni x in X esiste almeno un y in Y per cui (x,y) \in R (cioè una relazione binaria tra X e Y "totale a sinistra").

Nel contesto delle funzioni polidrome, una funzione nel senso usuale del termine viene detta monodroma. In questo caso, f(x) è formato da un elemento solo per ogni x. Utilizzando l'insieme delle parti viene infatti aggirato il problema di avere per ogni input una e una sola immagine, associando all'elemento di partenza un intero insieme, che è un unico elemento se considerato all'interno dell'insieme delle parti del codominio.

Funzione a valori vettoriali?[modifica | modifica wikitesto]

È bene sottolineare la differenza tra funzioni polidrome e funzioni vettoriali, cioè a valori nel prodotto cartesiano di n copie di Y, distinguendo due differenze fondamentali:

  • una funzione vettoriale ha immagini con un numero di componenti sempre fisso ad n poiché sono vettori di Y^n; al contrario, una funzione polidroma ha valori di cardinalità variabile, poiché sono sottoinsiemi arbitrari di Y.
  • una funzione vettoriale ha come immagini ennuple ordinate, mentre le funzioni polidrome danno come immagini degli insiemi, che notoriamente sono indipendenti dall'ordine in cui si enumerano i suoi elementi.

Analisi complessa[modifica | modifica wikitesto]

Radice ennesima[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Radice dell'unità.

La più semplice e immediata funzione polidroma è la radice ennesima di una variabile complessa:

\sqrt[n]{z} \; \; \; n \in \mathbb{Z}

intesa come inversa della funzione monodroma z^n. Usando la rappresentazione polare z = \rho e^{i \theta} e ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento 0 \le \theta < 2 \pi affinché il numero sia ben definito abbiamo:

\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \cdot \sqrt[n]{e^{i \theta + i 2 k \pi}}= \sqrt[n]{\rho} \left(e^{\frac{i \theta + i 2 k \pi}{n}} \right)

Si vede chiaramente che \sqrt[n]{\rho} è ben definito (ovviamente \rho > 0), ma al contrario l'argomento della funzione radice ennesima:

arg(\sqrt[n]{z}) = \frac{ \theta +  2 k \pi}{n}

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se z^n è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno n valori, in corrispondenza degli n valori dell'argomento di \sqrt[n]{z}. Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire n giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra n ed n+1.

Logaritmo[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Logaritmo complesso.

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

Log z = log |z| + i \theta + i k 2 \pi

cioè la branca principale del logaritmo, dove \theta è la fase per 0 < \theta < 2\pi che assume gli infiniti valori: log z = Log z + n \cdot 2\pi i. Ovviamente questo discorso vale anche per il logaritmo naturale e il logaritmo su qualsiasi base.

A partire dal logaritmo si può definire anche in campo l'esponenziazione a qualsiasi base come la funzione polidroma

z^{\alpha} = e^{\alpha ln z}

Argomento[modifica | modifica wikitesto]

L'ultima funzione polidroma che analizziamo è l'argomento di un numero complesso, definito come

arg(z)=\{y \in \R : e^{iy}=\frac{z}{|z|}\}

per ogni numero complesso non nullo z. Ricordiamo che questa definizione ha senso poiché l'esponenziale complesso ristretto ai numeri puramente immaginari, cioè del tipo i \cdot y, assume valori nella sfera unitaria S^1.

Sempre dalle proprietà dell'esponenziale si ricava che risulta, se y_0 è un particolare valore dell'argomento di z,

arg(z)=\{y_0+2k\pi, k \in \mathbb Z \}.

Altre caratteristiche della polidromia[modifica | modifica wikitesto]

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di singolarità non isolate che sono detti punti di diramazione di ordine n, se compiendo n + 1 giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale; si dice invece un punto di diramazione di ordine infinito, se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è analitica. Ciò significa che si può sviluppare in serie di Taylor entro un cerchio di convergenza di centro z_0 di raggio |z_0|:

log z = log z_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac {\left[\frac {z-z_0}{z} \right]^n}{n}

Funzioni polidrome reali[modifica | modifica wikitesto]

Tipiche e molto usate funzioni polidrome a valori reali sono le inverse delle funzioni trigonometriche: esse sono periodiche, quindi similmente al logaritmo complesso, le loro inverse assumono una quantità numerabile di valori.

Rami e valori principali[modifica | modifica wikitesto]

Tutti questi esempi condividono una proprietà comune: essi possono essere visti come funzioni inverse di qualche altra applicazione (la potenza per le radici, l'esponenziale per il logaritmo). Infatti la funzione inversa è la multifunzione più facile da incontrare, poiché a priori la corrispondenza y\mapsto f^{-1}(y) non genera un elemento, ma un insieme: esso è vuoto se y non è parte dell'immagine di f, è un singleton per i valori in cui essa è iniettiva, è un insieme con più elementi altrimenti.

In ognuno di questi casi, per giungere da una funzione multivoca ad una monodroma e utilizzare gli strumenti usuali della matematica, si è scelta per convenzione (o per altri motivi) una singola controimmagine da associare a y: nel caso della radice reale, la scelta cade su +\sqrt x; nel logaritmo complesso viene scelto il valore \log z tale che 0 < arg(z)< 2\pi; nell'arcoseno l'angolo scelto è sempre quello compreso tra 0 e 2\pi e così via.

Ognuna delle funzioni monodrome che si potrebbero definire al variare della scelta all'interno dell'insieme f^{-1}(y) viene detto ramo dell'inversa; il valore effettivamente scelto dalla convenzione si dice il ramo principale e il valore che esso assume valore principale. Ad esempio, sempre per il seno: i rami di f^{-1}(y) sono x=\arcsin y, x=\arcsin y + 2\pi, x=\arcsin y + 4\pi, eccetera, e il valore principale di f^{-1}(1) è \pi/2, mentre gli altri suoi valori non principali sono {5\pi \over 2}, {9\pi \over 2}, {13\pi \over 2},....

Esistono teoremi che assicurano, a seconda delle varie geometrie del dominio, la continuità di tali rami e la relazione tra essi: si verifica ad esempio che l'esistenza di un ramo continuo dell'argomento è condizione necessaria e sufficiente all'esistenza di un ramo continuo del logaritmo.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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