Costante Omega

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Costante Omega
Simbolo Ω
Valore 0,5671432904097838729999686622...
(sequenza A030178 dell'OEIS)
Frazione continua [0, 1, 1, 3, 4, 2, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 7, ...]
(sequenza A019474 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate e

La costante Omega è una costante matematica definita da

\Omega\cdot e^\Omega=1

e la cui espansione decimale inizia con

\Omega=0,5671432904097838729999686622...

È il valore di W(1), dove W è la funzione W di Lambert o funzione omega (da cui il nome della costante).

Ovviamente Ω può essere anche definito come la soluzione di

 e^{-\Omega}=\Omega

o anche di

 \ln (1/\Omega) = \Omega.

La costante \Omega può essere calcolata attraverso un metodo iterativo: partendo da una stima iniziale \Omega_0 e considerando la successione

 \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.

che avrà limite \Omega quando n\to\infty. La convergenza di questa iterazione avviene poiché  \Omega è un punto fisso attrattivo della funzione  e^{-x} .

Ad ogni modo è molto più efficiente utilizzare l'iterazione

\Omega_{n+1} = \frac{1+\Omega_n}{1+e^{\Omega_n}},

poiché la funzione

 f(x) = \frac{1+x}{1+e^x},

ha il medesimo punto fisso ma ha derivata nulla nel suddetto punto, e quindi la convergenza è quadratica (il numero di cifre corrette raddoppia approssimativamente ad ogni iterazione).

Un'identità tramite integrale improprio dovuta a Victor Adamchik è la seguente:

 \Omega=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\,dt}{(e^t-t)^2+\pi^2}}-1 .

Irrazionalità e trascendenza[modifica | modifica wikitesto]

La costante \Omega è un numero trascendente.

Per dimostrare la sua irrazionalità è possibile servirsi del fatto che e è trascendente: se \Omega=\frac{p}{q} (con p e q interi), allora

 1 = \frac{p}{q} e^{p/q}

cioè

 e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}

e quindi e sarebbe algebrico, il che è assurdo.

La trascendenza di \Omega è una conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass: se fosse algebrico, lo sarebbe anche -\Omega, e quindi il numero e^{-\Omega} sarebbe trascendente, così come {\Omega~e^{-\Omega}}, il che è assurdo perché questa quantità è uguale a 1. Quindi \Omega è trascendente.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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