Integrazione per sostituzione

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Nel calcolo infinitesimale, l'integrazione per sostituzione costituisce un importante strumento per la determinazione di integrali indefiniti e di integrali definiti. Essa è equivalente alla regola di derivazione della composizione di funzioni.

Il metodo[modifica | modifica sorgente]

Sia f(x) una funzione integrabile su un intervallo [a,b], e \phi(t) una funzione differenziabile con continuità definita sull'intervallo I aperto. Supponiamo che esistano \alpha,\beta \in I tali che \alpha < \beta , \phi([\alpha,\beta])=[a,b] e  \phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b. Allora:


\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta}  f(\phi(t)) \phi'(t) dt

Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz: la relazione x = φ(t) comporta dx/dt = φ'(t) e quindi la conseguenza formale dx = φ'(t) dt, che è precisamente la sostituzione richiesta per dx. In effetti la regola di sostituzione può considerarsi come un ottimo sostegno della bontà del formalismo di Leibniz per gli integrali e le derivate.

La formula è usata per trasformare l'integrale di una funzione nell'integrale di un'altra nella prospettiva che questo nuovo sia più facile da determinare. La formula può essere utilizzata al fine di semplificare un integrale dato, sia "da sinistra verso destra" che "da destra verso sinistra".
La regola di sostituzione può essere usata anche per determinare vari integrali indefiniti. Si sceglie una relazione tra x e t, che determina la relazione corrispondente tra i differenziali dx e dt e consente la sostituzione. Se si riesce a determinare il nuovo integrale indefinito, occorre successivamente effettuare la sostituzione opposta.

Regola di sostituzione per variabili multiple[modifica | modifica sorgente]

Si può anche usare la sostituzione quando si integrano funzioni in diverse variabili. Qui la funzione sostituzione (v1...,vn) = φ(u1...,un) deve essere iniettiva e differenziabile con continuità, e i differenziali si trasformano secondo la formula

dv_1\cdots dv_n = |\det(\operatorname{D}\phi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n

dove det(Dφ) denota il determinante della matrice jacobiana che contiene le derivate parziali di φ. Questa formula esprime il fatto che il valore assoluto del determinante dei vettori dati uguaglia il volume del parallelepipedo formato.

Più precisamente, la formula del cambiamento di variabili è precisata nel seguente enunciato.

Teorema
Siano U, V insiemi aperti in Rn e φ : UV una funzione differenziabile biiettiva con derivate parziali continue. Allora per ogni funzione con valori reali f su V integrabile
 \int_V  f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U  f(\phi(\mathbf{u}))
\left|\det(\operatorname{D}\phi)(\mathbf{u})\right|\, d \mathbf{u}

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo l'integrale


\int_{0}^2  t \cos(t^2+1) dt

Usando la sostituzione x = t2 + 1, otteniamo dx = 2t dt e quindi


\int_{0}^2 t  \cos(t^2+1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^2  \cos(t^2+1) 2t  dt= \frac{1}{2} \int_{1}^{5}  \cos(x) dx
= \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).

Qui usiamo la regola di sostituzione "da destra a sinistra". Si noti come il limite inferiore t = 0 viene trasformato in x = 02 + 1 = 1 e il limite superiore t = 2 in x = 22 + 1 = 5.

Calcolando invece l'integrale indefinito:

\int t  \cos(t^2+1) dt= \frac{1}{2} \int \cos(t^2+1) 2t dt\ =
= \frac{1}{2}\int  \cos(x) dx\, = \frac{1}{2}\sin(x) + C = \frac{1}{2}\sin(t^2+1) + C.

Si noti che nell'ultimo passo abbiamo invertito la sostituzione originale x = t2 + 1.


Per calcolare l'integrale

\int_0^1  \sqrt{1-x^2} dx

occorre usare la formula da sinistra a destra: serve la sostituzione x = sin(t), dx = cos(t) dt, in quanto \sqrt{1-\sin^2(t)} = \cos(t):


\int_0^1  \sqrt{1-x^2} dx= \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cos(t) dt =
\int_0^\frac{\pi}{2}\, \cos^2(t) dt

L'integrale risultante può essere calcolato effettuando una integrazione per parti, oppure più semplicemente osservando con una semplice sostituzione t' = t-π/2 (una traslazione dell'asse t) e usando la parità della funzione:

\int_0^\frac{\pi}{2}  \cos^2(t)dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos^2(t-\frac{\pi}{2})dt =\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin^2(t)dt =\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(t)dt  \qquad \qquad \qquad d(t-\frac{\pi}{2})=dt\;,\;\cos^2(t-\frac{\pi}{2})=\sin^2(t)
\int_0^\frac{\pi}{2} \left[ \cos^2(t)+\sin^2(t) \right ]dt =\int_0^\frac{\pi}{2} dt=\frac{\pi}{2}

da cui:

\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t)dt =\int_0^1  \sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Per una lista di integrali, vedi Tavole di integrali
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